高考数学大题突破训练理科(9-12)难度较大

突破6类解答题一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名 三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于公式多,性质繁,不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1　在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.35(1)求b 和sin A 的值;(2)求sin 的值.(2A +π4)解析　(1)在△ABC 中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,得3545b 2=a 2+c 2-2accos B=13,所以b=.13由=,得sin A==.(变式)a sin A bsin B a sin B b 31313所以,b 的值为,sin A 的值为.1331313(2)由(1)及a<c,得cos A=,21313所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin 2A=-.(变名)1213513故sin=sin 2Acos +cos 2Asin =.(变角)(2A +π4)π4π47226变式:利用恒等变换变为sin A=.a sin Bb 变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.变角:把2A+的三角函数表示为2A 和的三角函数.π4π4▲破解策略　求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的要诀.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.跟踪集训　(2018天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos.(B -π6)(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.二、数列问题重在“归”——化归、归纳 等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2　(2017课标全国Ⅲ文,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n2n +1}解析　(1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).(归纳)两式相减得(2n-1)a n =2(n ≥2).所以a n =(n ≥2).22n -1又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =(n ∈N *).22n -1(2)记的前n 项和为S n .{a n2n +1}由(1)知==-.(化归)a n2n +12(2n +1)(2n -1)12n -112n +1则S n =-+-+…+-=.1113131512n -112n +12n2n +1归纳:通过条件归纳出a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1)(n ≥2),进而得出{a n }的通项公式.化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.▲破解策略　“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.跟踪集训　已知数列{a n }的前n 项和S n =,n ∈N *.n 2+n2(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =+(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.2an三、立体几何问题重在“建”——建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例3　(2018课标全国Ⅲ,19,12分)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M 是上异于C,D 的点.⏜CD⏜CD(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值. 解析　(1)证明:由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC ⊥CD,BC ⊂平面ABCD,所以BC ⊥平面CMD,故BC ⊥DM.因为M 为上异于C,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM.⏜CD又BC ∩CM=C,所以DM ⊥平面BMC.(建模)而DM ⊂平面AMD,故平面AMD ⊥平面BMC.(建模)(2)以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-DA xyz.(建系)当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为的中点.由题设得⏜CDD(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),则=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).AM AB DA 设n=(x,y,z)是平面MAB 的法向量,则即{n ·AM =0,n ·AB =0,{-2x +y +z =0,2y =0,可取n=(1,0,2).是平面MCD 的法向量,因此DA cos<n,>==,DA ·DA|n ||DA|5sin<n,>=.DA 255所以面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值是.25建模:构建线面垂直、面面垂直的模型.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.▲破解策略　立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.跟踪集训　(2018合肥第一次教学质量检测)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.(1)求证:平面BDM∥平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型 概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4　(2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保　费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概　率0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析　(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.(辨型2)P (AB )P (A )P (B )P (A )0.150.55311因此所求概率为.311(3)记续保人本年度的保费为X 元,则X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.200.200.100.05 EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.辨析1:判断事件A 发生,在一年内出险次数为2,3,4或≥5.辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B 发生,在一年内出险次数为4或≥5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.▲破解策略　概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.跟踪集训　(2018湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下2×2列联表:男女总计爱好40不爱好25总计45100(1)将题中的2×2列联表补充完整;(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关?请说明理由;(3)如果按性别进行分层抽样,从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”,现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛,记选出3人中的女大学生人数为X,求X 的分布列和数学期望.附:P(K 2≥k 0)0.0500.0100.001k 03.8416.63510.828K 2=.n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )五、解析几何问题重在“设”——设点、设线 解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的形式出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5　(2018课标全国Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN. 解析　(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=x+1或y=-x-1.1212(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),(设线)M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.(设点)由{y =k (x -2),y 2=2x得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=,y 1y 2=-4.2k 直线BM,BN 的斜率之和为k BM +k BN =+=.①y 1x 1+2y 2x 2+2x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)将x 1=+2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=y 1k y 2k ==0.2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k-8+8k 所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.设线:斜率存在时,设直线l 方程为y=k(x-2)(k ≠0).设点:由直线l 交抛物线于M,N 两点,可设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).▲破解策略　解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b 、x=my+n 及两点式、点斜式等形式,还有曲线系方程、参数方程等.跟踪集训　(2018福州质量检测)在三角形MAB 中,点A(-1,0),B(1,0),且它的周长为6,记点M 的轨迹为曲线E.(1)求E 的方程;(2)设点D(-2,0),过B 的直线与E 交于P,Q 两点,求证:∠PDQ 不可能为直角.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解 以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6　(2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax 2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x 0,且e -2< f(x 0)<2-2.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), (分离)f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.1x 若a=1,则g'(x)=1-.1x 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x 2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,(分解)则h'(x)=2-.当x ∈时,h'(x)<0;1x (0,12)当x ∈时,h'(x)>0,(12,+∞)所以h(x)在上单调递减,在上单调递增.(0,12)(12,+∞)又h(e -2)>0,h <0,h(1)=0,所以h(x)在上有唯一零点x 0,在上有唯一零点1,且(12)(0,12)[12,+∞)当x ∈(0,x 0)时,h(x)>0;当x ∈(x 0,1)时,h(x)<0;当x ∈(1,+∞)时,h(x)>0.因为f '(x)=h(x),所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点.由f '(x 0)=0得ln x 0=2(x 0-1),故f(x 0)=x 0(1-x 0).由x 0∈(0,1)得f(x 0)<.14因为x=x 0是f(x)在(0,1)上的最大值点,由e -1∈(0,1), f '(e -1)≠0得f(x 0)>f(e -1)=e -2,所以e -2<f(x0)<2-2.分离:把函数f(x)分离为x 与g(x)的积.分解:构造h(x)=2x-2-ln x.▲破解策略　函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.跟踪集训　(2018贵阳摸底考试)已知函数f(x)=kx-ln x(k>0).(1)若k=1,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值.答案全解全析一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名跟踪集训　解析　(1)在△ABC 中,由=,可得bsin A=asin B.asin A bsin B 又由bsin A=acos ,得asin B=acos ,(B -π6)(B -π6)即sin B=cos ,所以sin B=cos Bcos +sin Bsin ,(B -π6)π6π6所以tan B=.3又因为B ∈(0,π),所以B=.π3(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,π3得b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=.7由bsin A=acos ,可得sin A=.(B -π6)37因为a<c,所以cos A=.27因此sin 2A=2sin Acos A=,437cos 2A=2cos 2A-1=.17所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B =×-×=.4371217323314二、数列问题重在“归”——化归、归纳跟踪集训　解析　(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=-=n.n 2+n 2(n -1)2+(n -1)2a 1=1也满足a n =n,故数列{a n }的通项公式为a n =n,n ∈N *.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n,记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n ,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,2(1-22n)1-2B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.三、立体几何问题重在“建”——建模、建系跟踪集训　解析　(1)证明:连接AC,交BD 于点N,连接MN,则N 为AC 的中点,又M 为AE 的中点,∴MN ∥EC.∵MN ⊄平面EFC,EC ⊂平面EFC,∴MN ∥平面EFC.∵BF,DE 都垂直底面ABCD,∴BF ∥DE.∵BF=DE,∴四边形BDEF 为平行四边形,∴BD ∥EF.∵BD ⊄平面EFC,EF ⊂平面EFC.∴BD ∥平面EFC.又MN ∩BD=N,MN,BD ⊂平面BDM,∴平面BDM ∥平面EFC.(2)∵DE ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是正方形,∴DA,DC,DE 两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=2,则DE=4,从而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),∴=(2,2,0),=(1,0,2),DB DM 设平面BDM 的法向量为n=(x,y,z),则得{n ·DB =0,n ·DM =0,{2x +2y =0,x +2z =0.令x=2,则y=-2,z=-1,从而n=(2,-2,-1)为平面BDM 的一个法向量.∵=(-2,0,4),设直线AE 与AE 平面BDM 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==,AE |·AE|n ||AE ||4515∴直线AE 与平面BDM所成角的正弦值为.4515四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型跟踪集训　解析　(1)2×2列联表补充如下:男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100(2)由(1)知K 2=≈8.25>6.635,100×(40×25-20×15)255×45×60×40所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.(3)由题意,抽取的6人包括4名男生,2名女生,X 的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,C 34C3615P(X=1)==,C 24C 12C3635P(X=2)==,C 14C 22C3615故X 的分布列为X 012P153515E(X)=0×+1×+2×=1.153515五、解析几何问题重在“设”——设点、设线跟踪集训　解析　(1)依题意得,|MA|+|MB|+|AB|=6,所以|MA|+|MB|=4>|AB|,所以点M 的轨迹E 是以A(-1,0),B(1,0)为焦点且长轴长为4的椭圆,由于M,A,B 三点不共线,所以y ≠0,所以E的方程为+=1(y ≠0).x 24y23(2)证明:设直线PQ 的方程为x=my+1,代入+=1,得x 24y23(3m 2+4)y 2+6my-9=0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则{y 1+y 2=-6m3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4.所以·=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2DP DQ =(my 1+1)(my 2+1)+2(my 1+1+my 2+1)+4+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=-+9-9(m 2+1)3m 2+418m23m 2+4=>0.273m 2+4所以∠PDQ 不可能为直角.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解跟踪集训　解析　(1)k=1,f(x)=x-ln x,定义域为(0,+∞),则f '(x)=1-,由f '(x)>0得x>1,由f '(x)<0得1x 0<x<1,∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)解法一:函数f(x)有且只有一个零点等价于方程f(x)=0,即kx-ln x=0仅有一个实根,由kx-ln x=0得k=(x>0),ln xx 令g(x)=(x>0),则g'(x)=,ln xx 1-ln xx2当x=e 时,g'(x)=0;当0<x<e 时,g'(x)>0;当x>e 时,g'(x)<0.∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max =g(e)=.1e 当x →+∞时,g(x)→0.又k>0,∴要使f(x)仅有一个零点,则k=.1e 解法二:f(x)=kx-ln x,f '(x)=k-=(x>0,k>0).1x kx -1x 当x=时,f '(x)=0;当0<x<时,f '(x)<0;当x>时,f '(x)>0.1k 1k 1k ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,(0,1k )(1k ,+∞)∴f(x)min=f =1-ln ,(1k )1k ∵f(x)有且只有一个零点,∴1-ln =0,即k=.1k 1e。

3套高难解答突破训练 高难解答突破训练(一)1. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP→＝OA →＋OB → (其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．解 (1)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)， 由题意可知a ＝2，且e ＝c a ＝12，∴c ＝1， 则b ＝a 2－c 2＝3，因此，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，∵OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3， 即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3，由于点P 在椭圆E 上，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋32·14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6m 4k 2＋32·13＝1，化简得4m 2＝4k 2＋3，联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x ＝－4，得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝m －4k ，则点Q (－4，m －4k )， 设在x 轴上存在一点T (t,0)， 使得OP →·TQ→为定值， TQ→＝(－4－t ，m －4k )， OP →·TQ→＝8km (t ＋4)＋6m (m －4k )4k 2＋3＝8ktm ＋8km ＋6m 24m 2＝2k (t ＋1)m ＋32为定值，则t ＋1＝0，得t ＝－1，因此，在x 轴上存在定点T (－1,0)，使得OP →·TQ →为定值．2．已知函数f (x )＝e x －1－a sin x (a ∈R )．(1)当x ∈[0，π]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，数列{a n }满足0<a n <1，a n ＋1＝f (a n )，求证：{a n }是递减数列． (参考数据：sin1≈0.84)解 (1)因为x ∈[0，π]，f ′(x )＝e x －a cos x ，f ″(x )＝e x ＋a sin x . ①当a ≤0时，即－a ≥0，∵sin x ≥0，∴－a sin x ≥0， 又e x －1≥0，∴e x －1－a sin x ≥0， 即f (x )≥0恒成立，符合题意； ②当0<a ≤1时，f ″(x )＝e x ＋a sin x ≥0， ∴f ′(x )在区间[0，π]上单调递增， ∵f ′(0)＝1－a ≥0，∴f ′(x )≥f ′(0)≥0， ∴f (x )在区间[0，π]上单调递增， ∵f (0)＝0，∴f (x )≥f (0)＝0，符合题意；③当a >1时，f ″(x )＝e x ＋a sin x ≥0， ∴f ′(x )在区间[0，π]上单调递增， ∵f ′(0)＝1－a <0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2>0，∴∃x 0∈(0，π)，f ′(x 0)＝0，且当0<x <x 0时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x 0<x <π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x 0)<f (0)＝0，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．(2)证明：由题意，a ＝1，f (x )＝e x －1－sin x ，x ∈(0,1)， 令g (x )＝f (x )－x ＝e x －1－sin x －x ， g ′(x )＝e x －cos x －1， g ″(x )＝e x ＋sin x ≥0，∴g ′(x )在区间(0,1)上单调递增，∴g ′(0)＝－1<0，g ′(1)＝e －cos1－1>0， ∴∃x 1∈(0,1)，g ′(x 1)＝0， 0<x <x 1，g ′(x )<0，g (x )单调递减， x 1<x <1，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∵g (0)＝0，g (1)＝e －1－sin1－1≈e －2－0.84<0， ∴g (x )<0，即当x ∈(0,1)，f (x )<x ，由(1)知f (x )＝e x －1－sin x ，x ∈(0,1)单调递增， ∵0<a n <1，∴0＝f (0)<a n ＋1＝f (a n )<f (1)＝e －1－sin1<1， 而a n ＋1－a n ＝f (a n )－a n <0，即a n ＋1<a n ，故{a n }是递减数列．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c,0)，下顶点为P ，过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 平行于x 轴时，P ，F ，A 三点共线，且P A ＝332，求椭圆C 的方程；(2)当椭圆C 的离心率为何值时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB? 解 (1)当直线l 与x 轴平行时，即l ：y ＝12b ， 如图，作AD ⊥x 轴交x 轴于点D ，则根据AD OP ＝FD OF ＝AF PF ＝12，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12b ，且P A ＝32PF ＝32c 2＋b 2＝32a ＝332，解得a ＝3， 又因为A 在椭圆上，所以94c 2a 2＋14b2b 2＝1， 解得c 2＝13a 2＝1，所以b 2＝3－1＝2， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)①当直线l 平行于x 轴时，由P A ⊥PB ，得k P A ·k PB ＝32b 32a ·32b－32a ＝－1，∴a 2＝3b 2，又a 2＝b 2＋c 2，∴2a 2＝3c 2，∴e 2＝23， ∵e ∈(0,1)，∴e ＝63.②当直线l 不平行于x 轴时，下面证明当e ＝63时， 总有P A ⊥PB ，事实上，由①知椭圆可化为x 23b 2＋y 2b 2＝1， ∴x 2＋3y 2＝3b 2，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b 2，x 2＋3y 2＝3b 2，得(1＋3k 2)x 2＋3kbx －94b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－3kb 1＋3k 2，x 1x 2＝－94b21＋3k 2，∵P A →＝(x 1，y 1＋b )，PB →＝(x 2，y 2＋b )，∴P A →·PB →＝x 1x 2＋(y 1＋b )(y 2＋b ) ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋3b 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋3kb 2(x 1＋x 2)＋94b 2＝(1＋k 2)·－94b 21＋3k 2＋3kb 2·－3kb 1＋3k 2＋94b 2＝－94b 2(1＋3k 2)1＋3k 2＋94b 2＝－94b 2＋94b 2＝0.∴P A ⊥PB .综上，当椭圆C 的离心率为63时，对任意的动直线l ， 总有P A ⊥PB .4．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)证明：当x ＞0时，f (x )＞0；(2)证明：g (x )＝(1－sin x )[x e x －f ′(x )＋2]－2在(－π，π)上有且只有3个零点． 证明 (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋1， 令k (x )＝(x －1)e x ＋1，则k ′(x )＝x e x ，当x >0时，k ′(x )>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0.(2)g (x )＝(1－sin x )[x e x －f ′(x )＋2]－2＝(1－sin x )e x －sin x －1，令g (x )＝0，得(1－sin x )e x－sin x －1＝0，即e x－1e x ＋1－sin x ＝0，令h (x )＝e x －1e x ＋1－sin x ，则h (－x )＝e －x －1e －x ＋1－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x＋1－sin x ＝－h (x )， 所以y ＝h (x )是奇函数，且h (0)＝0，即0是h (x )的一个零点； 令t (x )＝e x －1e x ＋1，则t ′(x )＝2e x(e x ＋1)2，当x ∈(0，π)时，t ′(x )>0，所以t (x )在(0，π)上单调递增， 令r (x )＝sin x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．由(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，(x －2)e x ＋x ＋2>0，即e x－1e x ＋1<x 2，令m (x )＝sin x －x 2，则m ′(x )＝cos x －12， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，m ′(x )>0，m (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，m ′(x )<0，m (x )单调递减，又m (0)＝0，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π4>0，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，m (x )>0恒成立，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x 2<sin x 恒成立，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x －1e x ＋1<x 2<sin x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h (x )<0恒成立，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，h ′(x )＝2e x (e x ＋1)2－cos x >0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1<0，h (π)＝e π－1e π＋1>0，所以h (x )在(0，π)上有且只有一个零点，设为x 0， 所以h (x 0)＝0，因为h (x )是奇函数，所以h (－x 0)＝－h (x 0)＝0， 所以h (x )在(－π，0)上的零点为－x 0， 所以h (x )在(－π，π)上的零点为－x 0,0，x 0， 所以h (x )在(－π，π)上有且只有3个零点． 所以g (x )在(－π，π)上有且只有3个零点．。

压轴大题突破练1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1.当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2，求得切线方程为y ＝2x －1.(2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e－(a ＋1)． ∴当e －(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e . 当e －(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min ＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e－(a ＋1))＝－e －(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1)＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0， g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1) ＝ln x －12x ＋12. 设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x 2x>0恒成立， ∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立．而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )单调递增，∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．2．设函数f (x )＝e x －|x －a |，其中a 是实数．(1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x ＋a ，x ≥a ，e x ＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x ≥a ，e x ＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0.此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0，f (x )单调递增，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a ，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a －a －1≥ka 对任意a <0恒成立，设g (a )＝e a －(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a －(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减，又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意． 综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围；(3)求函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)，由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)，由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1,1]．(3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值．设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)， 所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0， 极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0， 故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3<x <－a . 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )．因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0，两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0，即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2， 所以x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0. 解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)，即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2.又因为a >0，所以0<a <2.因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数． 又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335.。

高三理科数学小题狂做（9）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，则复数12iz i +=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、若集合{}1381x x A =≤≤，(){}22log 1x xx B =->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-3、如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，点P 是面1111C D A B 内一点，则三棱锥CD P -B 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．2:3D ．3:2 4、已知过定点()2,0P 的直线l 与曲线22y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A ．150B ．135C ．120D ．不存在5、已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12-6、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B =，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．53B ．107C ．57D ．52147、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C的离心率为（）A．2或3B．2或233C．233D．28、如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9、给出下列命题：①若()523450123451x a a x a x a x a x a x-=+++++，则1234532a a a a a++++=②α，β，γ是三个不同的平面，则“γα⊥，γβ⊥”是“//αβ”的充分条件③已知1sin63πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则7cos239πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．310、如图，(),x yM MM，(),x yN NN分别是函数()()sinf x xωϕ=A+（0A>，0ω>）的图象与两条直线1:l y m=，2:l y m=-（0mA≥≥）的两个交点，记S x xN M=-，则()S m图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 11、设无穷数列{}n a ，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有n a ε-A <成立，就称数列{}n a 的极限为A ．则四个无穷数列：①(){}12n-⨯；②()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭；③231111112222n -⎧⎫++++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭；④{}231222322n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，其极限为2共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12、设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是． 14、已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为．15、已知三角形C AB 中，C AB =A ，C 4B =，C 120∠BA =，3C BE =E ，若P 是C B 边上的动点，则AP ⋅AE 的取值范围是．16、已知函数(),01lg ,0ax f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为．高三理科数学小题狂做（9）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只13、34 14、4π 15、210,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16、()()1,00,-+∞高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝03．(·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)4．(·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋16．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．17．(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．8．(·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．9．(·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π22．(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五)A 级1．A2.B3.D4.A5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．解：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a||b|＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12．解：由题意可得kOA ＝tan45°＝1， kOB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)， 所以kAB ＝kAP ＝33－1＝3＋32， 所以lAB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级1．选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为 x－2y＋4＝0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。

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数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。

〔第3题〕 智才艺州攀枝花市创界学校基地2021年高考数学密卷〔9〕理第一卷〔必做题，一共160分〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分． 1．设集合A ={1，x }，B ={2，3，4}，假设A ∩B ={4}，那么x的值是▲． 2．假设复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，那么z 2＝▲．3．对一批产品的长度〔单位：毫米〕进展抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品HY ，单件产品长度在区间[25，30〕的为一等品，在区间[20，25〕和[30，35〕的为二等品，其余均为三等品，那么样本中三等品的件数为▲．4．执行如下列图的流程图，会输出一列数，那么这列数中的第3个数为▲． 5．为活泼气氛，某同学微信群进展了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久〞随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为3元，9元，1元， 0.73元，3元，那么身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲．6．函数22log (32)y x x =--的值域为▲．7．P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的外表积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，那么三棱锥的体积为▲．8．双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为32，过A作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，假设AN NM=，那么k 的值是▲．9．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，假设2()6f α=，那么cos(2)4πα-的值是▲．10．{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++〔2,n n *∈N ≥〕，假设(28)2018m m a b +-=，那么m 的值是▲．〔第4题〕11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，那么a b -的最大值为▲．12．在△ABC 中，假设352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，那么cos C 的值是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221xy +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，那么正实数a 的取值范围是▲． 14．偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，假设存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，那么n x 最小值为▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分． 15．〔本小题总分值是14分〕函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M π． 〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值． 16．〔本小题总分值是14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．〔1〕求证：平面PAD⊥平面ABCD ；〔2〕假设E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 17．〔本小题总分值是14分〕有一块以点O 为圆心，半径为2头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民漫步，同时修建小路OA ，OB ，B C 〔第16题〕其中小路的宽度忽略不计．〔1〕假设要使修建的小路的费用最，试求小路的最短长度；〔2〕假设要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳舞，试求这块圆形的最大面积．(结果保存根号和π)18．〔本小题总分值是16分〕如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214nn n b b S ++=点n *∈N 的直线{}n a 〔异于{}n b 轴〕交椭圆C 于点{}n b ，nn c a b =+〔1〕假设3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的间隔为5，求椭圆C 的方程；〔2〕直线()rs t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍．①求椭圆C 的离心率；②假设椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．〔本小题总分值是16分〕函数2()ln f x x x ax =+．〔1〕假设曲线()y f x =在1x =处的切线过点①务实数a 的值； ②设函数()()f x g x x =，当0s >〔2〕假设函数()f x 有两个极值点1x ，2x 〔12x x <20．〔本小题总分值是16分〕设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-〞的数列{}n a 为“好〞数列．〔1〕试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好〞数列，其中21na n =-，12n nb -=，*n ∈N ，并给出证明；〔2〕数列{}n c 为“好〞数列．①假设20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；②假设1c p =，且对任意给定正整数p s ，〔1s >〕，有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2021年高考模拟试卷〔9〕数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内答题．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]〔本小题总分值是10分〕如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，假设BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2ABAE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换]〔本小题总分值是10分〕点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到点B ．假设点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值是10分〕在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数〕，假设直线l 与圆C 恒有公一共点，务实数a 的取值范围． D ．[选修4－5：不等式选讲]〔本小题总分值是10分〕正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值． 【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．答题． 22．直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M=，连接11,,A M AC CM，假设190MA C ︒∠=．DA〔第21-A 〕MC 1B 1A 1BA〔1〕求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值； 〔2〕求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．〔本小题总分值是10分〕〔1〕求证：11()kk n kn k kC n k C ----=-；〔2〕求证：100820170(1)120172017n n nn C n-=-=-∑． 2021年高考模拟试卷〔9〕参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·＝5，得＝＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30 【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；那么这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：〔3，9〕〔3，1〕〔3，0.73〕〔3，3〕〔9，1〕〔9，0.73〕〔9，3〕〔1，0.73〕〔1，3〕〔0.73，3〕，一共10种可能，其中金额不低于5元的事件有〔3，1〕〔1，3〕，一共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，那么由球的外表积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R △ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝R ＝，OO ′＝＝1，PO ′＝OO ′＋OP △ABC 中，O ′B ＝××2a ＝，所以a ＝，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝××329348．【答案】23【解析】对于椭圆，显然31,2c b a ==所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，那么由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,32x y ==，故直线l 的斜率23k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－＝sin x cos x ＋cos 2x －＝sin2x ＋－＝sin2x ＋cos2x ＝sin ，因为2()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

解答题压轴题突破练(建议用时：30分钟)2 21. 已知椭圆E: /+/二1(a>b >o ),A 为椭圆E 的右顶点,B, C 分别为椭圆E 的上.下顶点.(1) 若N 为AC 的中点,ABAN 的而积为\/2,椭圆的离心率为2 ,求椭圆E 的方程.\CM\_(2) F 为椭圆E 的右焦点，线段CF 的延长线与线段AB 交于点斗与椭圆E 交于点P,求I CP I 的最小值.1 1 1[解析】⑴因为 S.M=2sgc 二2 x 2 x 2bX a=\2cQ所以 ab 二2\2 又a 二 2 , a-b 2=c :,所以可解得 a=2, c 二b=\22 2 x y(2)直线 AB ：y=b-Qx,直线 CF ：y-b+Cx,联立方程解得+ c a + c(lac ab 一 be- _ ------ , ------- + b 设CM“CPa>o ),P (“),则W + c a + c2ac lab - Ab (a + c)所以沪久⑺+ c), y =久(a + c).4c 2[2a-A(a + c)]2把上式代入椭圆方程得几2(a + c)2+ zl 2(a + c)2二1, 即 4c ：+[2a-X (a+c)] =X 2(a +c)2.a 2 + c 2 1+ e 2 2所以 x=a(a + c)二 1 + e 二 @+i )+e + 1-2.因为0<e<l,所以l<e+l<2,所以X 22\E-2,当且仅当e+l=j2即e^'2-1时，等号成立，此所以椭圆E 的方程为4 + 2二1.bb2ac ab - bC=X (x, y+b),时X取到最小值27'2-2,\CM\_「即|CP|的最小值为㊁-2.2.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率等于2 ,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4\'§.直线,：y二kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A, B两个点.⑴求椭圆E的方程.(2)若AP二3PB,求的取值范围.2 2n【解析】⑴根据已知设椭圆E的方程为*+b〈i(a>b>0),焦距为2c,口R 2由已知得0= 2，所以c二2 a> b==a:-c==4因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4寸5所以椭圆E的方程为£+4二1.(2)根据已知得P (0, m),设A (x x, kxi+m), B (x2, kx s+m),‘ y = kx + 讥,2 2由14无+ y - 4 = °得，k+4)x：+2mkx+m'-4二0・由已知得A =4m：k-4 (k2+4) (m-4) >0,即k"-m'+4>0,・ 2 km m2一4且XI+XF/ + 4, X1X2=fc2 + 4由AP二3PB得Xi=-3x：.2 2所以3 (xx+xo) C+4X1X：=12X2-12X2=0.12/<2m2 4(m2 - 4)所以(以 + 4) 2+ k2 + 4 =0,即m¥+m-k-4=o.4- m22 当m c=l 时,m:kW-k^4=0 不成立，所以k2=m - 1.因为k:~m2+4>0,4 - m2(4 - m2)7?i22 2“所以m - l-m2+4>o,即rn - 1 >o.所以l<m：<4.所以的取值范围为(1,4).3.已知椭圆C的焦点坐标是几(-1, 0),F=(l, 0),过点F：垂直于长轴的直线1交椭圆C于B,D两点，且BD|=3.⑴求椭圆C的方程.5⑵是否存在过点P(2,1)的直线厶与椭圆C相交于不同的两点M, N,且满足PM・PN二4?若存在,求岀直线厶的方程;若不存在,请说明理由.2 2【解析】(1)设椭圆的方程是Q =l(a>b>0),由题可知c二1,因为BD =3,所以Q二3,又a:-b:=l,所以a=2, b』3,2 2所以椭圆c的方程为4 + 3二1.(2)假设存在直线厶且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k(x-2)+l.y = k(x -2) + 1,由I 4 3 得(3+4k:)x c-8k (2k-l) x+16k:-16k-8=0.因为直线厶与椭圆C 相交于不同的两点见N, 设 M (xi, yi), N(xs, y ：),所以 A = [-8k (2k-l)]M (3+4k s ) (16k 3-16k-8) >0,1所以k>-2,8fc(2/c - 1) 16以-16k - 8X1+x ；= 3 + 4/c 2, X1X;= 3 + 4以， 5—> f因为PM・ PN 二&厂力(x=-2) + (y-l) (y 厂 1)=4,5所以 *-2) (x :-2) (1+F)二4,5即[xiX s -2 (X I +X 3)+4] (1+k 3)二4,1 1 1解得k=±2.因为k>-2,所以k 二2,1故存在宜线厶满足条件，其方程为y=2x.2X4. 已知函数f (x)二apX-3 (x >0),其中e 为自然对数的底数. ⑴当a 二0时，判断函数y 二f (x)极值点的个数.⑵若函数有两个零点x“ x^CxXxc),设t'l,证明:x’+x ：随着t 的增大而增大.2 X【解析】⑴当圧0时,f(x)二-& (x>0),16/<2-16fc-8 所以.3+ 4Q 2.8/C (2/C -1)3 + 4/4 + 4/d 5(i+k=)=3 +4“ 二a,・ 2x-e x - ( - x z\e x x(x 一2) F (x)= (巧二” 令f T (x)=0,则X二2,当xe(0, 2)时,f' (x)<0,y二f(x)单调递减, 当xG(2, +8)时,f1 (x)〉0, y=f(x)单调递增, 所以x 二2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数尸f(x)有一个极值点.2X 3厂~~x 2(2)令f (x)=a\'X-* 二0,则X =ae x,因为函数有两个零点X：, XcCx/x：),3-ji 尢］今勺一所以V\ =aC , =aC ,可得21nxi=lna+xi t321nxc=lna+x：.X2X l=t,则t>l,且X2 = tX lf l ln(.3 2x?-x1 = -Int, , 2解得肿",-tint23(t + l)lnt所以Xx+X:=2 t-1•①(x + l)lnx令h(x)= X — 1,xW(l,+8),1-2lnx + x-一x 则h r (x)= (%_1)2故x:-Xi=2 lnx：-2 lnxi=2 1.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.16word 版本可编辑•欢迎下载支持.当xe(l,+oo)时,f (x)>0.因此,u(x)在(1, +8)上单调递增. 故对于任意的 xG (1, +8), u(x) >u(l)=0, 由此可得h' (x) >0,故h (x)在(1, +8)上单调递增. 因此，由①可得x,+x ：随着t 的增大而增大.x- a5•已知立义在(0, e)上的函数f (x) =lnx- X . (1) 求此函数的单调区间.(2) 若过点A(b -1)有且仅有一条直线与函数y=f(x)的图象相切，求&的取值范围・x- a【解析】(1)由题意f‘ (x)= X 2当aNe 时,函数f(x)在(0, e)上是减函数：当0〈a<e 时，此时函数f(x)^t(0, a)上是减函数，在(a, e)上是增函数; 当aWO 时，函数f(x)在(0. e)上是增函数.%0 - a勺-a 血。

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。

若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。

高考数学难点突破训练立体几何（含答案）高考数学难点突破训练-立体几何（含答案）高考数学难点的突破训练——立体几何acd30，?acb?45?，1.将两块三角板按图甲方式拼好，其中?b??d?90?，交流电？2.现在沿AC折叠三角形板ACD，使D在平面ABC上的投影正好在AB上，如图B所示(1)求证：ad?平面bdc；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)求二面角d?ac?b的大小；（3）找出AC和BD之间的角度2.如图，在正三棱柱abc?a1b1c1中，各棱长都等于a，d、 E分别是AC1和BB1的中点，（1）求证：de是异面直线ac1与bb1的公垂线段，并求其长度；（2）找到二面角e？ac1？C）房间的大小；（3）求从点C1到平面AEC的距离3.如图，在棱长为a的正方体abcd?a1b1c1d1中，e、f分别为棱ab和bc的中点，ef 交bd于h．（1）二面角？1.ef？B的正切值；（2）试在棱b1b上找一点m，使d1m?平面efb1，并证一明你的结论；（3）求出从点D1到平面efb1的距离4.如图，斜三棱柱abc―a1b1c1的底面是直角三角形，ac⊥cb，∠abc=45°，侧面A1abb1是边长为a且垂直于底部ABC的钻石，∠ a1ab=60°，e和F分别为Ab1和BC 的中点（1）求证ef//平面a1acc1；（2）找到EF和a1abb1侧之间的角度；（3）求出a-bce三角金字塔的体积5.已知直三棱柱abc―a1b1c1中，△abc为等腰直角三角形，∠bac＝90°，且ab＝aa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点。

（i）验证：de‖plane ABC；（二）验证：B1F⊥ 飞机AEF；（iii）求二面角b1―ae―f的大小（用反三角函数表示）。

二6.在直角梯形abcd中，∠a=∠d=90°，ab＜cd，sd⊥平面abcd，ab=ad=a，SD=2A，在线段SA上取一个点E（不包括终点），使EC=AC，横截面CDE和Sb在点F 处相交。

2020高考理科数学二轮专题提分全国通用中难提分突破试题三1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.(1)证明：AB＝AC；(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．解(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，所以△BCB1是等边三角形，所以B1O⊥BC，又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，所以BC⊥AB1，所以BC⊥平面AOB1，所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.因为AB⊥AC，所以AO＝1.又因为OB1＝3，所以OB21＋AO2＝AB21，所以AO⊥OB1.→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直以O为坐标原点，向量OB角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)， 由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)， 所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217， 由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角， 所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z . 又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2， 由正弦定理，得212＝2sin B ，∴sin B ＝22.∴B ＝π4.∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12. ∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin60°＝2sin45°， ∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120. P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102. 因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. (2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ， 则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3. 又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3. 5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12； ③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23. 综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·m n ＝4.当且仅当m n ＝nm 且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4.由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min ＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.。

最全12M高考数学压轴题突破训练（上）2021高考数学压轴题突破训练（上，4套）高考数学期末题突破训练1：不等式1.已知f?x?是定义在r上的奇函数，当x?0时，f?x??x2?x?1。

（1）求函数f?x?的解析式；（2）找到不等式f？十、解决方案集1。

w、 w.w.k.s.5。

u、狱警2.直线l过曲线y?x2?2上一点(xn,yn)，斜率为2xn，且l与x轴交于点(xn?1,0)，其中x1？2，n？N⑴试用xn表示xn?1；（2）证书：xn？1.2.（xn？2）2⑶若xn?a对n?n?恒成立，求实数a的取值范围。

x2？十、21f（x）？|x？| |最小值。

？03.求实数x满足3时的函数xx?3x24.已知函数f（x）=x？（m？4）x？3mx？（n6）（xr）的图像是关于原点对称的，其中m和n是实常数。

（１）求m,n的值；（2）利用单调性的定义，证明了f（x）是区间[-2,2]上的单调函数；132（3）[科学]何时-2≤ 十、≤ 2，不等式f（x）？（n？Logma）为常数，求实数a 的取值范围围。

5.已知函数f（x）？十、T（T？0）和点P（1,0），交叉点P形成曲线y？F（x）的两条切线PM和XPN分别是m和N（ⅰ）设mn?g(t)，试求函数g(t)的表达式；（二）是否有t，使m，N和a（0,1）共线。

如果是，计算T的值；如果没有，请解释原因（ⅲ）在（ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n?64]内总存在m?1个实数na1,a2,?,am，am?1，使得不等式g(a1)?g(a2)g(am)?g(am?1)成立，求m的最大价值6.已知函数f(x)?lg(a?b)(a?1?b?0)（1）求y?f(x)的定义域；（2）在函数y中？F（x）的图像上是否有两个不同的点，以便通过这两个点的直线平行于x轴；（3）当a和B满足什么条件时，f（x）在（1，？）上限常数取正值。

2xx1an2an7.已知正项数列?an?的前n项和sn?，bn??1??(n?n*)．2a2n？？（一）找到序列了吗？一广义公式；（ⅱ）定理：若函数f(x)在区间d上是凹函数，且f?(x)存在，则当x1?x2(x1,x2?d)时，总有anf（x1）？f（x2）？F（x1）。

高考数学习题集：突破重点难点，提高得分率引言高考是中国学生人生中的重要时刻，对于大多数学生来说，数学科目是他们最头疼的一门科目。

数学考试涵盖了许多难题，需要学生掌握各种解题技巧和方法。

为了帮助学生提高数学成绩，在高考中取得更好的成绩，本文将介绍一些针对高考数学重点难点的习题集，以帮助学生突破难题，提高得分率。

考试大纲分析在高考数学考试中，了解考试大纲是非常重要的。

考试大纲详细说明了学生需要掌握的知识点和考察的技能。

了解考试大纲可以帮助学生确定自己的复习重点，并更好地规划复习时间。

同时，理解考试大纲也可以帮助学生了解每个知识点的分值和难度，有针对性地选择练习题目。

突破难点的习题集1. 高考真题集高考真题集是学生提高数学成绩的重要工具之一。

通过分析历年的高考真题，学生可以了解高考的出题风格、重点和难点。

同时，高考真题可以帮助学生熟悉考试的时间限制和答题要求，提高应试能力。

学生可以按照考试大纲的要求，选择相应年份的真题进行练习，注重突破难题。

2. 专项习题集针对高考数学的不同知识点，一些出版社或培训机构推出了专项习题集。

这些习题集通常根据考试大纲，针对每个知识点提供了大量的练习题目和解析。

学生可以根据自己的实际情况选择适合自己的习题集，重点练习自己薄弱的知识点，提高解题能力。

3. 网络资源互联网上也有许多免费的数学习题资源，如各大教育网站、在线学习平台等。

学生可以通过搜索引擎找到相关的数学习题，进行练习和复习。

这些习题资源通常提供了详细的解题思路和解题方法，帮助学生理解和掌握解题技巧。

此外，学生还可以参加一些数学题目讨论的在线社区，与其他学生一起讨论解题思路和方法，互相学习提高。

突破重点难点的解题技巧1. 定义记忆法数学涉及很多定义和定理，记忆起来可能有些困难。

使用定义记忆法可以帮助学生记忆各种定义和定理。

例如，学生可以制作一份定义和定理的列表，并进行频繁的复习和回顾。

同时，学生还可以通过解题的方式应用这些定义和定理，加深记忆。

2014高考数学（理）轻松突破120分10一、选择题1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当l⊥α时,l⊥m且l⊥n.但当l⊥m,l⊥n时,若m、n不是相交直线,则得不到l⊥α.即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件.故选A.2.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m,②α⊥β⇒l∥m,③l∥m⇒α⊥β,④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( B )(A)①与②(B)①与③(C)②与④(D)③与④解析:∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又m⊂β,∴l⊥m,故①正确;②如图所示,α⊥β,但l与m不平行,②错;③∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又m ⊂β,∴由面面垂直的判定定理可知③正确;④中α与β也可能相交,④错.故选B.3.已知α、β、γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α、β、γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( C ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:若α、β换为直线a、b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若平面α、γ变为直线a、r,则命题化为“a∥β,且a⊥r⇒r⊥β”,此命题为假命题;若平面β、γ变为直线b、r,则命题化为“b∥α,且r⊥α⇒b⊥r”,此命题为真命题.故选C.4.如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF,PA=2AB,则下列结论正确的是( A )(A)PA⊥AD(B)平面ABCDEF⊥平面PBC(C)直线BC∥平面PAE(D)直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°解析:因为PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥AD,故选项A正确;选项B中两个平面不垂直;选项C 中,AD与平面PAE相交,BC∥AD,故选项C错;选项D中,PD与平面ABCDEF所成的角为45°,故选项D错.故选A.5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC (B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC (D)平面ADC⊥平面ABC解析:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.6.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC,则BD与平面ABC所成角的正切值为( B )(A)(B)(C)1 (D)解析:如图所示,在平面ADC中,过D作DE⊥AC,交AC于点E,连接BE,因为二面角BADC为直二面角,BD⊥AD,所以BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,又DE∩BD=D,因此AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ABC,所以平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角,在Rt△DBE中,易求tan ∠DBE=,故选B.二、填空题7.如图所示,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为.解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC.故△PAB、△PAC都是直角三角形.由BC⊥AC,得BC⊥PC,故△BPC是直角三角形.又△ABC显然是直角三角形,故直角三角形的个数为4.答案:48. (2013泸州高三月考)在直二面角αMNβ中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α,一直角边AC⊂β,BC与β所成角的正弦值为,则AB与β所成的角是.解析:过B作BO⊥MN于O,则BO⊥β,连接AO,则∠BCO为BC与β所成角,设AB=AC=1,则BC=,又sin∠BCO==,∴BO=,而∠BAO为AB与β所成的角,sin∠BAO===,∴∠BAO=,即AB与β所成的角为.答案:三、解答题9.如图所示,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.(1)求证:BD⊥平面PAD;(2)求三棱锥APCD的体积.(1)证明:在△ABD中,由于AD=2,BD=4,AB=2,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.(2)解:过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形,∴PO=.由(1)知,AD⊥BD,在Rt△ABD中,斜边AB边上的高为h==.∵AB∥DC,∴S△ACD=CD×h=××=2.∴==S△ACD×PO=×2×=.10.如图所示,在四棱锥SABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB,平面SAD⊥平面ABCD,M是线段AD上一点,AM=AB,DM=DC,SM⊥AD.(1)证明:BM⊥平面SMC;(2)设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为V1与V,求的值.(1)证明:∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SM⊂平面SAD,SM⊥AD,∴SM⊥平面ABCD.∵BM⊂平面ABCD,∴SM⊥BM.∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AM=AB,DM=DC,∴△MAB、△MDC都是等腰直角三角形,∴∠AMB=∠CMD=45°,∠BMC=90°,即BM⊥CM.∵SM⊂平面SMC,CM⊂平面SMC,SM∩CM=M,∴BM⊥平面SMC.(2)解:易知三棱锥CSBM与三棱锥SCBM的体积相等,由(1)知SM⊥平面ABCD,得=.设AB=a,由CD=3AB,AM=AB,DM=DC,得CD=3a,BM=a,CM=3a,AD=4a,从而==.11.如图所示,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2.(1)求证:平面AEF⊥平面PBC;(2)求二面角PBCA的大小;(3)求三棱锥PAEF的体积.(1)证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE,又∵AE⊥PB,PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,而AE⊂平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC.(2)解:∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,又AB⊥BC,∴∠PBA为所求二面角的平面角,∵PA=AB=2,∴tan∠PBA==1,即二面角PBCA的大小为45°.(3)解:由(1)知AE⊥平面PBC,即AE为棱锥APEF的高,且AE⊥PC. 在△PAB中,∵AB=PA=2,∠PAB=90°,∴AE=.又∵PC⊥AF,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF,∴PC⊥EF,即∠PFE=90°.∴=,即=,得PF=,EF==.∴==××××=.。

专题能力训练9三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度2.设θ∈R,则“”是“sin θ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π5.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A. B.C. D.6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=.7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,2sin x)⊗(cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.8.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)=.9.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin x cos x+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin x cos x(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.11.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.二、思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.C.-D.-213.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=14.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=-1.专题能力训练9三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.D解析由题意,为得到函数y=sin=sin,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.2.A解析当时,0<θ<,∴0<sin θ<∴是“sin θ<的充分条件.当θ=-时,sin θ=-,但不满足∴不是“sin θ<的必要条件.∴是“sin θ<的充分而不必要条件.故选A.3.B解析由题意可知,将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin=2sin的图象,令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.4.A解析f(x)=cos ,图象如图所示,要使f(x)在[-a,a]上为减函数,a最大为5.B解析由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=对称,得2+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=A sin令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为故选B.6.-解析方法1:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sin β=sin α=,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-方法2:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2-1=-7解析f(x)=cos 2x-2sin x cos x=cos 2x-sin 2x=2cos,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos=2cos,要使它为偶函数,则需要2n+=kπ(k ∈Z),所以n=(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值8sin解析由题意得A=,函数的周期为T=16.∵T=,∴ω=,此时f(x)=sin由f(2)=,即sin=sin=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴函数的解析式为f(x)=sin9.x=-(答案不唯一)解析将点代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-g(x)=-sin x cos x+sin2x=-sin 2x+cos 2x=-sin,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-10.解(1)由sin,cos=-,f-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin x cos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).11.解(1)由已知,有f(x)==cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-二、思维提升训练12.A解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以=5,解得T=6.所以ω=又图象过点(0,1),代入得2sin φ=1,所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=或φ=所以f(x)=2sin或f(x)=2sin对于函数f(x)=2sin,当x略微大于0时,有f(x)>2sin=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin故f(-1)=2sin=2.13.A解析由题意可知,>2π,,所以<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=故选A.14.D解析函数y1=,y2=2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在上是减函数;在上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2,故所求的横坐标之和为8.15.①④解析首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sin x,④f(x)=sin x+可知③f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sinx+的图象可以向左平移个单位,再向下平移个单位即可得到①f(x)=sin的图象,所以①④为“互为生成”函数.16.3解析||=||=1,||=,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<,sin α>0,cos α>0,tan α=,sinα=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=,cos α==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.17.(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)①解f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ)依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,故m的取值范围是(-).②证法一因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos 2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+β)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=--1.。