工程力学 第十一章-能量法

（3）是有限单元法的重要基础
能量法
§11–1
一、能量原理：
变形能的普遍表达式
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即
U W
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算：
U
L
n N i Li N 2 ( x) dx 或 U i 1 2 Ei A i 2 EA
2
PL 2 EI
―负号”说明 A与所加广义力MA反向。
能量法
演习
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，
如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。
q
P
A
x y
w
l
B x
1 1 1 qlx qx2 Px 2 2 2 ②将内力对MA求偏导后，令P=0 M ( x)
①求内力
M ( x)
③求变形（ 注意：P=0）
n
1 比能 : u 2
能量法
三、变形能的普遍表达式：
变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能
可以相互叠加。
2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P

L
Q 2 ( x) S dx 2 EA
l
A 45
O
能量法
F
B A B
1
B'
C
(a)
C
(b)
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2， 先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则：
AB 1
BC
2 1 cos 45 1 2
0
能量法
同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A B
2
B''
则：
AB 0
C
2．线弹性材料杆件变形能
a.轴向拉压杆的变形能计算：
U
L
n N i2 Li N 2 ( x) dx 或 U 2 EA i 1 2 Ei A i
b.扭转杆的变形能计算：
U
1 比能 : u 2

L
M ( x) dx 2GI P
2 n
2 M ni Li 或 U i 1 2Gi I Pi n
能量法
§11–3 卡氏定理
1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定 理 设图中材料为非线性弹性， 由于应变能只与 最后荷载有关， 而与加载顺序无 关。不妨按比例 方式加载，从而 n 1 有
1 2 1 2
3
Fi
n
B
i
3
பைடு நூலகம்
di
n
V W f i d i
i 1 0
假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i , 则应变能的变化为：
, (i=1,2, …,n)
卡氏第二定理：若将结构的变形能U表示为载荷P1，P2，…， Pi，…的函数，则变形能对任一载荷Pi的偏导数等于Pi作用点 沿Pi作用方向的位移δi，即：
, (i=1, 2, ….n)
本定理只适用于线弹性材料。 作业：3-1（b) (d) ,3-6-(a) (b)
能量法
例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 x L x Px B P C 解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x） 没有与f（x）相对应的力，加之。 ①求内力
应用卡氏第一定理得
V V 0 及 F 1 2
解得：
1 Fl EA
及
Fl （ 1 2 2） 2 EA
能量法
2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理
设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为：
1 2 3 n
B
1 2 3 n
Vc Wc 0F1 i d f i
解：梁的挠曲线方程为：
y
能量法
2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图b 。 F
F1

(a)
(b) dF

F
O
1

―余功Wc‖定义为：
WC d F
0
F1
与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。
能量法
即：
Vc WC d F
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
d W F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
例4 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁 架，在结点 B处承受集中力 F，如图 a 所示。两杆的 材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。 试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。
能量法
求转角 A
没有与A向相对应的力（广义力），加之。 P A
MA
①求内力
M ( x ) xP M A
②将内力对MA求偏导后，令M A=0
M ( x ) 1 M A M 0
A
L
x
O
③求变形（ 注意：M A=0）
L
A
A
L
2 PL Px M ( x) M ( x) dx dx 2 EI EI EI M A 0
•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
•当所求位移处无相应广义力时 ，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反 映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再 令该“虚加”外力为0。 •实际计算时，常采用以下更实用的形式：
F2 T2 M2 N d x d x d x i l l l F i 2 EA F i 2G I p F i 2 EI T T M M F N F N dx dx dx l EA l GI l EI Fi Fi Fi p
f C 0 求多余反力，
B
①取静定基如图 ②求内力
M AB ( x ) RC ( L x ) P(0.5L x )
M BC ( x ) RC ( L x )
0.5 L
A
③将内力对RC求偏导
M AB ( x ) L x RC M BC ( x ) L x RC
V d V d i i
因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其 余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微 小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：
能量法
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （—卡氏第一定理 ） i
(c)
BC
2 2 sin 45 2 2
0
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
BC
2 1 2 2
能量法
桁架的应变能为
EA i2 EA 2 EA 1 2 1 2 1 1 2 1 V 1 2 li 2l 2 2 2l 2
M AB ( x1 ) P( L x1 ) Px ( x x1 )
M BC ( x1 ) P( L x1 )
A
x1 O f
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) x1 x P 0 x Px
M BC ( x ) Px
Px 0 0
能量法
比能 : u
1 2
c.弯曲杆的变形能计算：
U M 2 ( x) 2 EI
L
dx
M i2 Li 或 U i 1 2 Ei I i
n
1 比能 : u 2
能量法
卡氏定理
卡氏第一定理：杆件的变形能U(δi)(i=1,2, …,n)，对于杆件 上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：
i 1
n
假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均 保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的 相应改变量为： d Wc i d Fi 余能的相应改变量为：
V c d Vc d Fi Fi
能量法
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
解得：
V c i Fi
wC
M A P 0

1 x 2

L
M ( x) M ( x) dx 2 EI P

l/2
0
(qlx qx2 ) 5ql 4 dx 4EI 384EI
能量法
1．能量守恒 弹性范围固体变形能U在数值上等于外力所做的功W，即U=W。 超出了弹性范围，塑性变形将消耗一部分能量， 变形能不能全部转变为功。
S 剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。
2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P
能量法
例1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 P A B 解：外力功等于应变能
W 1 Pf C 2 C a a M 2 ( x) U dx L 2 EI f P M ( x ) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a 3 在应用对称性，得： U 2 ( x ) dx 0 2 EI 2 12 EI Pa 3 W U f C 6 EI 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q
③变形（ 注意：Px=0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
1 EI
P( L x )( x
1 0