空间向量及其运算练习题

2020-2021学年选修2-1《3.1 空间向量及其运算》一．选择题（共36小题）1．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．【点评】本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．2．空间四边形ABCD中，若向量＝（﹣3，5，2），＝（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【分析】点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得＝，，＝．代入计算即可得出．【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴＝，，＝．∴＝﹣＝＝[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]＝＝（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量坐标运算，属于基础题．3．给出下列命题：①若空间向量②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量＝（1，1，0）的模为；其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】在①中，向量与方向不一定相同；在②中，空间任意两个单位向量的方向不一定相同；在③中，若空间向量，则向量与不一定相等；在④中，由向量相等的定义得必有；在⑤中，由模式的定义得向量＝（1，1，0）的模为．【解答】解：在①中，若空间向量，向量与方向不一定相同，故①是假命题；在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量，则向量与不一定相等，故③是假命题；在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；在⑤中，由模式的定义得向量＝（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间空间向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣+D．﹣﹣+【分析】由空间向量加法法则得＝+＝＝+，由此能求出结果．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．＝，＝，＝，∴＝+＝＝+＝．故选：B．【点评】本题考查向量的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．5．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．或【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合+＝（+）+（﹣）＝2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，是基础题目．6．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．﹣+【分析】向量＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．＝，＝，＝，∴向量＝＝＝﹣+．故选：A．【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【解答】解：∵＝＝＝＝∴故选：C．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．8．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP＝2PN，设向量＝，＝，＝，则＝（）A．++B．++C．++D．++【分析】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．【解答】解：如图所示，＝+，＝（+），＝，＝﹣，＝．∴＝+＝+＝+（﹣）＝+＝×（+）+×＝++＝++．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论．【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（+）+＝+＝．故选：D．【点评】本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题目．10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z+x+y，则x+y+z的值为（）A．1B．C．2D．【分析】利用向量的三角形法则、空间向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，∵＝+＝+＝++＝z+x+y，∴z＝，x＝1，y＝，∴x+y+z＝2，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM ＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量加法法则求解．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，＝，＝，＝，∴＝（）＝﹣+（）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：C．【点评】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．13．已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C是线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为（）A．（，，）B．（，﹣3，2）C．（，﹣1，）D．（，，）【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：∵，∴，∴＝＝＝．故选：C．【点评】熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．14．已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC 中点，则＝（）A．﹣﹣﹣B．++C．﹣++D．﹣﹣【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出即可．【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴＝，又N为BC中点，∴＝（+）；∴＝+＝﹣+（+）＝﹣++．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．15．已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C 的坐标是（）A．B．C．D．【分析】C为线段AB上一点，且3||＝|||，可得，利用向量的坐标运算即可得出．【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3||＝|||，∴，∴＝（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），＝．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体的性质以及向量垂直的性质解答．线段不垂直，对应的向量的数量积一定不为0．【解答】解：对于A，如果长方体为正方体，则线段AD1⊥B1C，此时成立；对于C，因为长方体中AB⊥侧面AD1，所以，所以成立；对于D，如果长方体的底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，由三垂线定理可得AC⊥BD1，所以此时；故选：B．【点评】本题考查了长方体的性质以及向量垂直的性质．比较基础．17．已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15C．x＝，y＝D．x＝6，y＝【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得＝k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得＝k，∴，解得x＝6，y＝．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知直线l的方向向量，平面α的法向量，且l∥α，则m＝（）A．8B．﹣8C．1D．﹣1【分析】l∥α，可得•＝0．基础即可得出．【解答】解：∵l∥α，∴•＝2+m+2＝0．∴m＝﹣8．故选：B．【点评】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）＝λ（2，m，﹣m）＝（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．20．下列命题正确的是（）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量共面就是它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若，则存在唯一的实数λ使得【分析】从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项．【解答】解：若与共线，与共线，则与共线，如果，与不共线，A不正确．向量共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线．零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．若，则存在唯一的实数λ使得，不正确，因为，存在这一条件．故选：C．【点评】本题考查共线向量与共面向量，考查学生基本知识掌握运算的能力．21．已知在空间四边形ABCD中，，，，则＝（）A．B．C．D．【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得＝＝（）﹣，由此能求出结果．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴＝＝（）﹣＝（）﹣＝．故选：B．【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．22．若向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）＝﹣2，则x的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据空间向量的坐标运算，结合题意，求出x的值．【解答】解：∵向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），且（﹣）•（2）＝﹣2，∴（1﹣1）×2+（1﹣1）×4+（1﹣x）×2＝﹣2，解得x＝2，∴x的值为2．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及数量积的应用问题，是基础题目．23．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）•＝0，即可得出．【解答】解：∵＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），∴2﹣＝（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•＝0，∴﹣8+2n﹣1+4＝0，解得，n＝，∴∴．故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为0．24．已知＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且•＝2，则x的值是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由题意可得•＝﹣3×1+2x+5×（﹣1）＝2，解方程可得．【解答】解：∵＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），∴•＝﹣3×1+2x+5×（﹣1）＝2，解得x＝5故选：B．【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属基础题．25．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为60°，则λ的值为（）A．B．C．D．±【分析】求出+λ与的坐标，利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：A（1，0，0），B（0，﹣1，1），＝+λ＝（1，﹣λ，λ），＝＝（0，﹣1，1）．＝0+λ+λ＝2λ，＝，＝．∴＝＝．解得λ＝．故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积运算、向量夹角公式．属于基础题．26．向量，若，则x的值为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．3【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量，，∴＝﹣4+4x﹣8＝0，解得x＝3．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．27．若＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，2），则||＝（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出，再由向量的模能求出||．【解答】解：∵＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，2），∴＝（8，﹣5，1），∴||＝＝3．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞＝可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||＝，所以cos＜，＞＝＝，∴的夹角为60°故选：C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题29．若向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3【分析】设向量，的夹角为θ，可得cosθ＝＝，解这个关于λ的方程即可．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则∵向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），∴cosθ＝＝＝，解得λ＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．30．设M（5，﹣1，2），A（4，2，﹣1），O（0，0，0），若＝，则点B的坐标应为（）A．（﹣1，3，﹣3）B．（1，﹣3，3）C．（9，1，1）D．（﹣9，﹣1，﹣1）【分析】设点B的坐标为（x，y，z）；表示出，，由＝解出B的坐标．【解答】解：设点B的坐标为（x，y，z）；则＝（5，﹣1，2）＝（x﹣4，y﹣2，z+1），则由＝，得x﹣4＝5，y﹣2＝﹣1，z+1＝2，解得，x＝9，y＝1，z＝1，故选：C．【点评】本题考查了空间中向量的应用，属于基础题．31．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D﹣xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则等于（）A．B．C．D．【分析】如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．可得，．由于点M在AB1上，N在BC1上．可设＝，．于是点M，N的坐标可用λ，μ表示．由公垂线可得，．再利用数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．∴＝（0，1，1），＝（﹣1，0，1）．∵点M在AB1上，N在BC1上．∴可设＝，．∴＝（1，λ，λ）．＝（1﹣μ，1，μ）．∴＝（﹣μ，1﹣λ，μ﹣λ）．∵，．∴，解得，．∴．故选：C．【点评】熟练掌握向量共线定理、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．32．已知点A在基底{，，}下的坐标为（8，6，4），其中＝+，＝+，＝+，则点A在基底{，，}下的坐标为（）A．（12，14，10）B．（10，12，14）C．（14，10，12）D．（4，2，3）【分析】利用空间向量的坐标运算即可得出．【解答】解：∵8+6+4＝8（+）+6（+）+4（+）＝12+14+10，∴点A在{，，}下的坐标为（12，14，10）．故选：A．【点评】熟练掌握空间向量的坐标运算是解题的关键．33．结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点〇代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O﹣xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（）A．（，，1）B．（0，0，1）C．（1，，1）D．（1，，）【分析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD﹣OEFG，分别找出点B在x轴、y轴和z轴上射影点及其坐标，即可得出点B 的坐标．【解答】解：设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD﹣OEFG，如图所示：∵平面BFGD经过点B与x轴垂直，∴点B在x轴上的射影为G点，结合G（，0，0）得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E（0，，0）得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D（0，0，1）得B的竖坐标为1；由此可得点B的坐标为（，，1）．故选：A．【点评】本题考查了空间坐标系的定义和点的坐标表示法的应用问题，是基础题目．34．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|＝（）A．B．C．D．4【分析】利用对称性质先求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出|BC|．【解答】解：∵点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，∴C（1，2，1），∵点B与点A关于x轴对称，∴B（1，﹣2，1），∴|BC|＝＝4．故选：D．【点评】本题考查两点间距离的求法，考查对称、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．35．若向量＝（1，2，0），＝（﹣2，0，1），则（）A．cos＜，＞＝120°B．⊥C．∥D．||＝||【分析】求出||＝，||＝，cos＜＞＝＝﹣．由此能求出结果．【解答】解：∵向量＝（1，2，0），＝（﹣2，0，1），∴||＝，||＝，cos＜＞＝＝＝﹣．故排除A、B、C，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量运算法则的合理运用．36．已知，，则＝（）A．﹣5B．﹣7C．3D．【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【解答】解：∵，，∴＝﹣1﹣6+0＝﹣7．故选：B．【点评】本题考查空间向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量空间向量坐标运算法则的合理运用．二．解答题（共4小题）37．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（0，1，﹣2），C（﹣3，0，2）（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数k的值．【分析】（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），计算可得＝．（2）∵向量垂直，可得•＝3+（3k ﹣1）﹣k＝0，即可得出．【解答】解：（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），||＝＝，＝3．＝﹣2+2﹣3＝﹣3．∴＝＝＝﹣．（2）∵向量垂直，∴•＝3+（3k﹣1）﹣k＝0，3×11+（3k﹣1）×（﹣3）﹣9k＝0，解得k＝2．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．38．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直．（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量＝共线，求向量与夹角的余弦值．【分析】（1）设，则由题可知，解出即可得出．（2）由向量与向量共线，可得．再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）设，则由题可知解得或所以或．（2）因为向量与向量共线，所以．又，，所以，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．39．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；（3）若向量与共线，求实数λ的值．【分析】（1）求出＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），利用空间向量夹角余弦值计算公式能求出与的夹角的余弦值．（2）推导出k＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k ﹣1，k，2），k＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4），由向量k与k互相垂直，能求出实数k的值．（3）推导出＝（λ，λ，0）﹣（﹣1，0，2）＝（λ+1，λ，﹣2），＝（1，1，0）﹣（﹣λ，0，2λ）＝（1+λ，1，﹣2λ），由向量与共线，能求出实数λ的值．【解答】解：（1）∵空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），＝，＝．∴＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．（2）∵＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴k＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），k＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4），∵向量k与k互相垂直，∴（k）•（k）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，整理，得2k2+k﹣10＝0，解得实数k的值为﹣或2．（3）∵＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴＝（λ，λ，0）﹣（﹣1，0，2）＝（λ+1，λ，﹣2），＝（1，1，0）﹣（﹣λ，0，2λ）＝（1+λ，1，﹣2λ），∵向量与共线，∴，解得实数λ的值为﹣1或1．【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量夹角余弦值计算公式、向量垂直、向理共线的性质的合理运用．40．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求cos＜＞；（2）求以AB，AC为边的平行四边形的面积．【分析】（1）求出两向量的坐标，模长，数量积，代入夹角公式计算；（2）求出sin∠BAC，则平行四边形的面积S＝2S△ABC．【解答】解：（1）＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），∴＝﹣2+3+6＝7，||＝＝，||＝＝，∴cos＜＞＝＝＝．（2）由（1）知sin∠BAC＝＝，∴S△ABC＝＝＝，∴以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2S△ABC＝7．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．。

空间向量及其线性运算（同步训练）一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.任意两个空间向量都可以比较大小B.方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C.空间向量的大小与方向有关D.空间向量的模可以比较大小2.已知空间四边形ABCD 中， AB→＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于A.a ＋b －cB.－a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c3.若向量a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( )A.m ，n ，p 共线B.m 与p 共线C.n 与p 共线D.m ，n ，p 共面4.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B.3MG →C.3GM →D.2MG →5.以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行； ③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是( )A.①③B.②④C.③④D.②③6.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式： ①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；②AD →＋CC 1→＋D 1C →； ③AB →＋DD 1→＋D 1C 1→；④12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→．正确的个数是( )A.1B.3C.2D.47.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y(AB →＋AD →)，则x ，y 的值分别是( )A.1，14 B ．14，1 C.2，14 D ．14，28.(多选)在下列条件中，使点M 与A ，B ，C 不一定共面的是( )A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →二、填空题9.下列命题是真命题的是______(填序号)．①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量一定不相等；②若|a ＋b|＝|a －b|，则|a|＝|b|；③若向量AB→，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB→＞CD →.10.如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG→－AB →＋AD →等于________11.已知三棱锥O －ABC ，D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________，x ＝________12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中为真命题的是________三、解答题13.如图，在长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量．14.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1中点，化简下列各式：(1)AB →＋BA 1→；(2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →；(3)12AA 1→＋AB →－AM →．15.已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值： (1)OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →；(2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．参考答案：一、选择题1.D2.C3.D4.B5.B6.C7.A8.ABD二、填空题9.答案：① 10.答案：3MG → 11.答案：1，1212.答案：③三、解答题13.解：(1)模为1的向量有A 1A →，AA 1→，B 1B →，BB 1→，C 1C →，CC 1→，D 1D →，DD 1→，共8个单位向量．(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5，因此模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.14.解：(1)AB →＋BA 1→＝AA 1→．(2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1C →．(3)12AA 1→＋AB →－AM →＝BM →＋AB →＋MA →＝AB →＋BM →＋MA →＝0．15.解：如图，(1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12．(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →．又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →．从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →．所以x ＝2，y ＝－2．。

高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ­ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理一、单选题1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a =43（a ﹣b ）+23（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b =43（b ﹣a ）+23（b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣12（a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ．2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ）A ．12a b c -++ B ．a b c -++C ．12a b c --+D ．12a b c -+【答案】A【解析】N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选：A.3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【答案】C 【解析】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C.4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）A ．12a b c --+ B ．12a b c -+ C ．12a b c -- D ．12a b c +- 【答案】A 【解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+.故选：A.5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合； 若AB ∥CD ，则AB 与CD 共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件， 故选B点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点 A ．一定不共面 B ．不一定共面 C ．一定共面D ．无法判断【答案】C【解析】：点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的任意一点，则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．详解：因为OP =111326OA OB OC ++，且1111326++=，所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于( )A ．221332a b c ++B ．122121a b c +- C ．122132a b c -++D ．123122a b c -+【答案】C 【解析】BN NC =，1()2ON OB OC ∴=+，2OM MA =，23OM OA ∴=，2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+，故选：C.9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．1122++a b c B ．1122-++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】B 【解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++故选B.10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中，若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，，则x ＋y ＋z 等于( )A ．76B ．23C ．56D ．1【答案】C 【解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中，AG =AB +BC +CG ， ∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，CG =DH ， ∴x=1，﹣2y=1，3z=1，∴112x y ==-，，z=13， ∴x+y+z=56， 故选：C ． 二、多选题11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ）A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC.故选：ABC12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC 的有( )A ．AB BC CD ++ B ．11111AA BC DC ++ C ．111AB C C BC -+ D ．111AA DC B C ++ 【答案】BCD 【解析】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=，故正确. 故选：BCD.13．（2020·山东省高二期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 【答案】BD 【解析】当MA mMB nMC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面， 所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++， 所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m nOM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=， 由上可知：BD 满足要求. 故选：BD.点睛：常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有：(1)证明MA xMB yMC =+；(2)对于空间中任意一点O ，证明OMOA xMB yMC =++；(3) 对于空间中任意一点O ，证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =__________． 【答案】a b c -+ 【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故答案为a b c -+15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC =5a -＋6b ，72CD a b =-，则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【答案】A ，B ，D 【解析】由向量的加法原理：5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ，故A ，B ，D 三点共线 故答案为：A ，B ，D16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC ，点D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OP xOA yOB zOC =++，则x y z ++=________；x =________.【答案】1 12【解析】 如图，()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++, 所以111,,244x y z ===，所以1x y z ++=，12x =.故答案为：1； 1217．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______【答案】215326a b c ++ 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心，G 为11DC O 的重心，∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故答案为：215326a b c ++.四、解答题18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个? (2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【解析】 分析：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量. 详解：(1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为123,,r r r ，求OD ．【答案】321OD r r r =+- 【解析】因为OD OC CD =+，CD BA OA OB ==-， 所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+．20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,AB AD AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记1,,a AB b AD c AA ===.（1）试用,,a b c 表示1D P ；（2）求1D P 模.【答案】（1）23a b c --； （25【解析】（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+，12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. （2）因为AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【答案】212333a b c -+ 【解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=.又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量，已知AB =2e 1+ke 2，CB =e 1+3e 2，CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线，求k 的值.【答案】k=-8.【解析】分析：A ，B ，D 三点共线，故存在唯一实数λ，使得AB BD λ=，再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解：由已知，有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB =λBD ，即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2)，∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量，∴24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD =17OA -5OB -30OC ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.。

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。

数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，(1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= ().A.4B.2C.4D.2解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2).(ca)(2b)=2(1x)=2，x=2.答案 D3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A.{a，a+b，ab}B.{b，a+b，ab}C.{c，a+b，ab}D.{a+b，ab，a+2b}解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为().A.0B.C. D.解析设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(cb)=acab=|a||c||a||b|=0，cos〈，〉=0.答案 A5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是().A.a+b+cB.a+b+cC.ab+cD.ab+c解析 =+=+()=c+(ba)=a+b+c.答案 A.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C.1D.解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1=3，故||=.答案 D 二、填空题R，向量，且，则解析 .答案8. 在空间四边形ABCD中，++=________.解析如图，设=a，=b，=c，++=a(cb)+b(ac)+c(ba)=0.答案 0.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，(++)2=32;()=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCDA1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.解析由，，，得(++)2=3()2，故正确;中=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确;中||=0.故也不正确.答案10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，则OA与BC所成角的余弦值等于________. 解析设=a，=b，=c.OA与BC所成的角为，=a(cb)=acab=a(a+)a(a+)=a2+aa2a=2416.cos ===.答案三、解答题.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3 ，即=+=，，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内..把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长;(2)折起后EOF的大小.如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，a，a)，F(a，a,0).(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.(2)=，=，=0a++a0=，||=，||=，cos〈，〉==，EOF=120..如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.证明设=a，=b，=c，则=a+(a+b+c)=a+b+c，=a+b+c=.∥，即B、G、N三点共线..如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)(2)(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设=a，=b，=c.则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，(1)==ca，=a，=bc，=(a)=a2ac=，(2)=(ca)(bc)=(bcabc2+ac)=;(3)=++=a+ba+cb=a+b+c，||2=a2+b2+c2ab+bcca=，则||=.(4)=b+c，=+=b+a，cos〈，〉==，由于异面直线所成角的范围是(0，90]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.空间向量及其运算专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

C空间向量及其坐标运算例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+- B ．++2121C ．1122a b c -- D ．+--2121练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b求y x ,的值.练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =练习2：下面命题正确的个数是 （ ）①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，那么点M 一定在 平面内例3：已知4,135,λ===⊥a b m =a +b,n =a +b,a,b m n ，则λ=练习1：若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则|OA -OB +2OC |＝C1练习2：若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b的夹角为____________。

§3.1 空间向量及其运算（练习）班级：姓名：学号：学习目标1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备：（阅读课本p 115）复习：1. 具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.4.向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋b)＝5.①表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量,a b（0b≠），//a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得；③推论：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是6. 空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7. 向量的数量积：a b⋅=.8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z，使得a xi y j zk=++，则称有序实数组{,,}x y z为向量a的坐标，记着p=.10. 设A111(,,)x y z，B222(,,)x y z，则AB＝.11. 向量的直角坐标运算：设a＝123(,,)a a a，b＝123(,,)b b b，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝⑷a·b＝※典型例题例1如图，空间四边形OABC中，,OA a OB b==，OC c=，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，则MN=.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，190,1,2,6ABC CB CA AA∠=︒===,点M是1CC的中点，求证：1AM BA⊥.学习评价※当堂检测1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c．其中正确命题的个数为（）A．0 B. 1 C. 2 D. 32．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=A.627B.637C.647D.6573．若a、b均为非零向量，则||||⋅=a b a b是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 32,2,a i j kb i j k=+-=-+则53a b•=（）A．－15 B．－5 C．－3 D．－16．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA=a，CB=b，1CC=c，则1A B=（）A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c7.,,m a m b⊥⊥(,n a b Rλμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则（）A．//m n B、m与n不平行也不垂直C. m n⊥，D．以上情况都可能.8. 已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角,a b<>为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对9.已知()()1,1,0,1,0,2,a b==-且ka b+与2a b-互相垂直，则k的值是（）A. .1B.15C.35D.7510. 若A(m＋1，n－1,3)，B. (2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，点,,E F G分别是11,,DD BD BB的中点.⑴求证：EF CF⊥；⑵求EF与CG所成角的余弦；⑶求CE的长.§第三章 空间向量（复习）班级： 姓名： 学号：学习目标1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程一、课前准备（预习教材P 115－116，找出惑之处）复习1：如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且OM=2MA , N 为BC 中点，则MN =复习2：平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB a =',AD b AA c ==，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底{},,a b c 表示下列向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .※主要知识点：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算※ 典型例题例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F 、2F 、3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且123200F F F kg ===.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.例3 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1A C ⊥平面AEF ;⑵ 当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦值.※ 动手试试练1. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长为2a . ⑴试建立适当的坐标系，写出点11,,,A B A C 的坐标 ⑵求1AC 的侧面11ABB A 所成的角.练2. 已知点A (1,-2,0),向量()3,4,12a =-，求点B 的坐标，使得//AB a ，且2AB a =.三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.※ 知识拓展若二面角两个面的法向量分别是12,n n ，二面角为θ 则12cos cos ,n n θ=-，而学习评价※ 当堂检测1.已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()(2)ka b a b +⊥-，则k ＝ ；2. 已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a -的最小值是（ ） A. 5 B.6 C.2 D.33.空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==与()1,1,1OC =的夹角都等于4π，则cos AOB ∠=4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为 .5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，113AM AC =,N 是1BB 的中点，则MN ＝（ ）A. 216aB. 66a C.156a D. 153a 6、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.7、正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，棱长为2，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使MN AB ⊥.121212cos ,.||||n n n n n n •<>=。

空间向量及其运算一、选择题1．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 52．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(11A D －1A A )－AB ；②(1BC BB +)－11D C ；③(AD AB -)－21DD ；④(11B D ＋1A A )＋1DD .其中能够化简为向量1BD 的是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，C O ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则E O 可表示为(用a ，b 、c 表示)． ( )A.12a ＋14b ＋14cB.12a ＋13b －12cC.13a ＋14b ＋14cD.13a －14b ＋14c 4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若1AE AA =＋AB xyAD +，则x 、y 的值分别为 ( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°6．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB ＋12(BD BC =)等于( ) A ．AG B ．CG C ．BC D.12BC 二、填空题7．在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅＝________.8．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ＝2PB ，则|PD |的值是________．9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．三、解答题10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)1BC ED ⋅；(2) 1EF FC ⋅.11．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角(见下图)．求B 、D 间的距离．12．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．空间向量及其运算(答案)1. A 解析：设AD ＝λAC ，又AC ＝(0,4，－3)．则AD ＝(0,4λ，－3λ)．AB ＝(4，－5,0)，BD ＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由AC ·BD ＝0，得λ＝－45，∴BD ＝(－4，95，125)，∴|BD |＝5. 2.A 解析：①11111()A D A A AB AD AB BD --=-=； ②1111111)BC BB D C BC D C BD +-=-=；③111(AD A )2DD D 2DD BD B B --=-≠；④111111111(D A A)DD D DD B D BD B B ++=+=≠，综上①②符合题意．3.A 解析：1E 2O O A A D O A =+=+12×12(AB AC +) ＝14OA +×(OB OA OC OA -+-)...PD CD BC AD CA BD ++ ＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 4.C 解析：如图，111A E A A A E A A =+=＋12111A C AA =＋12(AB AD +)． 5.D 解析：可求得1BD ∥EF ，即BD 1∥EF .6.A 解析：如图所示：12(BD BC +)＝BG ，AB ＋BG ＝AG . 7.0 解析：设AB ＝b ，AC ＝c ，AD ＝d ，则CD ＝d －c ，BD ＝d －b ，BC ＝c －b .原式＝b ·(d －c )＋d ·(c －b )－c (d －b )＝0. 8.773解析：设P (x ，y ，z )，∴AP ＝(x －1，y －2，z －1)．PB ＝(－1－x,3－y,4－z )由AP ＝2PB 得点P 坐标为(－13，83，3)，又D (1,1,1)，∴|PD |＝773. 9.25 解析：建系可求得cos θ=25. 10.解：如图，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1) BC ·1ED ＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16； (2) EF ·1FC ＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a )＝－12|a |2＋14|b |2＝2.11.解：∵∠ACD=90°，∴AC CD ⋅＝0.同理BA AC ⋅＝0.∵AB 和CD 成60°角，∴〈BA CD ⋅〉＝60°或120°.∵BD BA AC CD ==+，∴2222222BD BA AC CD BA CD AC CD =++⋅+⋅ ＝2222BA AC CD AB CD ++⋅＝3＋2×1×1×cos 〈,BA CD 〉＝4(,60),2(,120).BA CD BA CD ⎧〈〉=⎪⎨〈〉=⎪⎩∴|BD |＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.12.解：(1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，,CC ＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE ＝b ＋12c ，´A D ＝－c ＋12b －12a .∴CE ·´A D ＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE ⊥´A D ，即CE ⊥A ′D . (2) ´A C ＝－a ＋c ，∴|´A C |＝2|a |，|CE |＝52|a |. ´A C ·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈´A C ，CE 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

1.1.1 空间向量及其线性运算 1、判断正错 (1)零向量没有方向．( ) (2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )(5)任何两个向量均不可以比较大小( )2.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A.a ＋b －cB.－a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c3.下列说法中错误的个数为( )①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；①若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →；①若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量；①AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.A.1B.2C.3D.44．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3 5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝146．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN→等于( ) A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12cD ．－23a ＋23b －12c7、如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？①试写出模为5的所有向量．①试写出与向量AB →相等的所有向量．①试写出向量AA ′--→的所有相反向量．8.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.9、如图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.10、已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【参考答案】1、× × × × √2、C 【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c .3、 C 【解析】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ①错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.①正确.AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.①错误.由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.4、D 【解析】 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反，故选D.5．D 【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14． 6、B 【解析】 MN →＝ON →－OM →＝ 12 (OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c ． 7、解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′--→，A ′A --→，BB ′--→，B ′B ---→，CC ′---→，C ′C ---→，DD ′---→，D ′D ---→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． ①由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′---→，D ′A ----→，A ′D ---→，DA ′---→，BC ′----→，C ′B ----→，B ′C ----→，CB ′---→.①与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′----→，DC →及D ′C ′----→.①向量AA ′---→的相反向量有A ′A ---→，B ′B ---→，C ′C ---→，D ′D ---→.8. 解：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC →＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 9、 解：①E ，H 分别是AB ，AD 的中点，①AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ①EH →①FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上，①四边形EFGH 是梯形.10、解：如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，①OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，①MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.①向量MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M ，①M ，A ，B ，C 四点共面，①点M 在平面ABC 内.。

《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。

空间向量及其运算(习题及答案)例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分别为（）。

解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。

又因为A1E的方向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。

将AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。

例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。

解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。

设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2，BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到AC1·BD1=5/2，故选B。

例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。

解析：以DA，DC。

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。

由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)，所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦值为0，故选A。

1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。

空间向量及其加减运算 专题训练[A 基础达标]1．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC→ D.AC→ 解析：选C.OA→＋AB →－CB →＝OB →－CB →＝BC →－BO →＝OC →. 2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：选C.由于CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝b －a ＋c ，所以CD→＝－a ＋b ＋c . 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( )A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→B.AB →－AC →＋BB 1→C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→ 解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA→＝0. 4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选A.由于AO→＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， 所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线， 所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．5．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中错误的是( )①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→.A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D.AB→－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确； ③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________． 解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→ 7．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③8．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB →＋BC →＝AC→；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是________．解析：①AB→＋BC →＝AC →恒成立； ②AB→－AC →＝CB →，故②不成立； ③当AB→，BC →，AC →方向相同时， 有|AB→|＋|BC →|＝|AC →|； ④当BC→，AB →，AC →共线且BC →与AB →，AC →方向相反时， 有|AB→|－|AC →|＝|BC →|. 故只有②一定不成立． 答案：②9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线． (2)互为相反向量的向量的模相等． (3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线．(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．10. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB→＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB→＋CD →＋BC →＋DA → ＝AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0. (2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0. [B 能力提升]1．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( )①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量；④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.如图所示，①OA→＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA→＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量； ②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量；③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 2．化简(AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝________． 解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB→＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD→－CD →＝0. 答案：03．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→.(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→， AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →， AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 2→＝AC 2→.4．(选做题)如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB→＋BC →＋CD →；(2)AB→＋GD →＋EC →. 并标出化简结果的向量．解：(1)AB→＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)因为E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点， 所以BE→＝EC →，EF →＝GD →. 所以AB→＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →. 故所求向量AD →，AF →， 如图所示．。

空间向量及其运算（选择题：较易）1、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．2、已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）A． B． C． D．3、在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．4、若，，且，则的值是（）A．0 B．1 C．-2 D．25、已知，，若，则（）A．， B．， C．， D．，6、设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A． B． C． D．7、设，向量且，则（）A． B． C．3 D．48、已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．39、已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（）A． B． C． D．10、已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1 B． C． D．11、点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的（）A．y轴上 B．xoy平面上 C．xoz平面上 D．yoz平面上12、已知分别是平面的法向量则平面，的位置关系式（）A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角13、在四面体中，分别是的中点，若，则（）A． B． C．1 D．214、已知向量且，则的值为A． B． C． D．15、如图，在三棱锥中，分别是的中点，若，且向量与的夹角为，则棱与棱的关系是（）A． B． C． D．无法确定16、在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则( )A． B． C． D．17、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．18、如图，空间四边形中，点分别在上，，，则（）A． B．C． D．19、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．20、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．21、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．22、已知空间向量，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．23、已知，若向量共面，则（）A． B． C． D．24、如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（）A． B．C． D．25、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．26、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则A． B．C． D．27、设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则A．18 B．12C． D．28、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．29、在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则可表示为（）A． B．C． D．30、若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A．1 B．2C． D．31、设向量，则向量的夹角的余弦值为（）A． B．C． D．32、如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点与的中点的距离为（）A． B．C． D．33、已知，，则直线与平面交点的坐标是（）A． B．C． D．34、已知，若与为共线向量，则（）A． B．C． D．35、向量，若，则的值为（）A． B．C． D．36、如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.A． B． C． D．37、若向量、、的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系（是空间任一点），则能使向量、、成为空间一组基底的关系是（）A． B．C． D．38、已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A． B．C． D．39、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A． B．C． D．40、在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量、、不能构成空间的一个基底，则、、共面；②若两个非零向量、与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则、共线；③若、是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．A． B． C． D．41、在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记为（）A． B．C． D．42、下列各组向量中不平行的是（）A． B．C． D．43、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．44、已知，且与垂直，则与的夹角为（）A． B． C． D．45、已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（）A． B． C． D．46、已知是正六边形外一点，为正六边形的中心，则等于（）A． B． C． D．47、在直三棱柱中，若，，，则（）A． B． C． D．48、如图，在正方体中，若，则的值为（）A． B． C． D．49、如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．50、已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为（）A．45° B．90° C．30° D．60°51、若，如果与为共线向量，则（）A． B．C． D．52、在空间直角坐标系中，点Ｍ（-1,2,-3）关于yoz面的对称点是（）A．（-1,2,3） B．（1,2,-3） C．（1,2,3） D．（-1,-2,3）53、已知向量，，且与互相垂直，则＝（）A． B． C． D．54、以下四组向量中，互相平行的是．（）（1），；（2），；（3），；（4），．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）55、＝（1－t，1－t，t），＝（2，t，t），则|－|的最小值是（）A． B． C． D．56、已知向量a＝（0,2,1），b＝（－1,1，－2），则a与b的夹角为（）A．0° B．45° C．90° D．180°57、已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°58、设A（1，－1，1），B（3，1，5），则AB中点在空间直角坐标系中的位置是（）A．y轴上 B．xOy面内 C．xOz面内 D．yOz面内59、已知则的值分别为（）A． B．5，2 C． D．60、已知向量，且与互相垂直，则的值为（）A．1 B． C． D．61、若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A．4 B．2 C．4 D．362、设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则（）A． B． C． D．63、已知点,且,则实数的值是（）A．或4 B．或2 C．3或 D．6或64、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．65、如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A． B．C． D．66、已知空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．67、已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或468、已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．69、点A（1，2，3）关于xOy平面对称的点B坐标是（）A．（-1，2，3） B．（1，-2，3） C．（1，2，-3） D．（-1，-2，3）70、已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直D．参考答案1、B2、D3、C4、C5、A6、D7、D8、A9、C10、D11、C12、B13、C14、D15、A16、B17、B18、B19、C20、B21、C22、D23、B24、B25、B26、D27、C28、B29、A30、C31、D32、B33、D34、D35、D36、D37、C38、B39、C40、C41、C42、D43、C44、D45、A46、C47、D48、B49、A50、D51、D52、B53、B54、B55、C56、C57、C58、C59、A60、D61、C62、D63、D64、B65、B66、A67、D68、B69、C70、D【解析】1、试题分析：∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，∴点关于轴的对称点的坐标为：．考点：空间点的坐标．2、∵，∴设正方体的棱长为，由题意可得，解得∴正方体的体积为，故选D3、关于面对称的点为4、，,.若，则.即，解得.故选C.5、，，若，则有，即.解得，.故选A.6、选D7、,,,,故选C.8、，易得x=6，故选A9、如图所示：本题选择C选项.10、 =(3,1,6),=(2k−1,k,4k−2)，∵与互相垂直,∴3(2k−1)+k+6(4k−2)=0，解得k=，本题选择D选项.11、纵坐标为0，则点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的xoz平面上.本题选择C选项.12、由,可得,所以，而，分别是平面的法向量，所以,故选B.13、如图所示，连接，∵、分别是、的中点，∴，∴，又，∴，故选C.14、由空间向量垂直的充要条件可知：.本题选择D选项.15、如图为所在边的中点， ,故选A.16、根据向量加法的多边形法则以及已知可得：∴，故选B.17、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.18、 ,故选B .19、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.20、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.21、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.22、由题意可得，又因为与垂直，所以，即，所以得，所以，即，故本题正确答案为D。

第6讲 空间向量及其运算一、选择题 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 其中①③为正确命题． 答案 B2．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝ ( )． A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案 D3．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为 ( )． A ．0 B.12 C.32D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案 A5．如图所示，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 A6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 二、填空题7. 在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝________.解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝0. 答案 08．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A′B′C′D′中，AB ＝1，AD ＝2，AA′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析 如图，AC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AB →＋AD →＋AA′→， 所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB →＋AD →＋AA′→| ＝AB →2＋AD →2＋AA′→2＋AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→＝1＋4＋9＋＋＝23.答案 239．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析 由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确． 答案 ①②10．如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________． 解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . OA 与BC 所成的角为θ，OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2.∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225 三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．12．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A （0，－22a,0）， B （22a,0,0），C （0，22a,0），D （0,0，22a ），E （0，－24a ，24a ）， F （24a ，24a,0）.(1)|EF →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－24a 2＝34a 2，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a 2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°.13．如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ， BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →) ＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．14．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

1 1空间向量及其运算（习题）➢ 例题示范例 1：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 为上底面 A 1B 1C 1D 1−−→ −−→ −−→ −−→的中心，若 AE = AA 1 + x AB + y AD ，则 x ，y 的值分别为（ ） A ． x = 1，y = 1 C ． x = 1 ，y = 1 2 2B ． x = 1，y = 1 2 D ． x = 1 ，y = 1 2 思路分析：−−→−−→ −−→AE = AA 1 + A 1E−−→ = −−→ −−→ AA 1 + 2 (A 1B 1 + A 1D 1 )−−→ =−−→ −−→ AA 1 + 2 ( AB + AD ) −−→ = 1 −−→ 1 −−→AA 1 + 2 AB + 2 AD −−→ −−→ −−→ −−→∵ AE = AA 1 + x AB + y AD ， ∴ x = 1 ，y = 1 ，故选 C ．2 2例 2：如图，在平行六面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB =2，AA 1=2，−−→ −−→AD =1，且 AB ，AD ，AA 1 两两之间的夹角都是 60°，则 AC 1 ⋅ BD 1 = ．过程示范：−−→ −−→ −−→ 设 AB = a ， AD = b ， A A 1 = c ，−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→则 AC 1 = AB + BC + CC 1 = AB + AD + AA 1 = a + b + c ，1思路分析：平行六面体中 AB ，AD ，AA 1 的长度和夹角都清楚，选取 AB ，AD ， AA 1 作为一组基底，表达 AC 1 和 BD 1 ，利用数量积的运算法则进行计算．−−→ −−→ −−→ −−→ −−→17 17 17 BE DF BE ⋅ D F 思路分析： 利用空间向量，将线线角转化为直线的方向向量的夹角问题． 例 3：如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别是 A 1B 1， C 1D 1 的一个四等分点，求 BE 与 DF 所成角的余弦值．过程示范：设正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，−−→ −−→ −−→如图，以 DA ，DC ，DD 1 为单位正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ，则 B (1，1，0)，E (1， 3 ，1)，D (0，0，0)，F (0， 1 ，1)，4 4∴ −−→ =(1， 3 ，1) - (1，1，0)=(0， - 1 ，1)， 4 4−−→ =(0， 1 ，1) - (0，0，0)=(0， 1 ，1)， 4 −−→4−−→ 则 BE −−→ ⋅ = ， DF 4 −−→ =0×0+( - 1 = ， 4 1 15 ， BE DF × )+1×1= 4 4 16cos < −−→ −−→ −−→ −−→ BE ，DF > = 15 = 16 = 15 ， −−→ BE −−→ DF ⨯ 17 4 4 即 BE 与 DF 所成角的余弦值为15 ．17➢ 巩固练习1.如图，在三棱锥 O -ABC 中，M ，N 分别是 AB ，OC 的中点， −−→ −−→ −−→ −−→ −−→设 OA = a ，OB = b ，OC = c ，用 a ，b ，c 表示MN ，则MN = （ ）A ． 1 (b +c -a )B ． 1 (a +b -c )2 2 C ． 1 (a -b +c ) D ． 1 (c -a -b )2 22 172. 如图，在斜四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，各面均为平行四边形，−−→ −−→ −−→设 AA 1 = a ，AB = b ，AD = c ，M ，N ，P 分别是 AA 1，BC ，C 1D 1−−→的中点，试用 a ，b ，c 表示以下向量： AP = ， −−→ −−→ MP + NC 1 = ．3. 下列等式：−−→ −−→ −−→ −−→① OP = OA - AB - AC ；−−→ ② OP =−−→ OA + −−→ OB + 1−−→OC ；6 3 2 −−→ −−→ −−→③ PA + PB + PC = 0 ；−−→ −−→ −−→ −−→④ OP + OA + OB + OC = 0 ．其中使 P ，A ，B ，C 四点共面的是 ．（填写序号）4. 已知向量 a =(2，-3，1)，b =(2，0，3)，c =(0，0，2)，则a + b - c = ； a ⋅ (b + c ) = ．5. 已知向量 a =(1，0，-1)，则下列向量与 a 成 60°夹角的是（ ）A ．(-1，1，0)B ．(1，-1，0)C ．(0，-1，1)D ．(-1，0，1)6. 已知向量 a =(2，-1，3)，b =(-4，2，x )，若 a ⊥b ，则 x 的值为 ．7. 已知{a ，b ，c }是空间向量的一组基底，{a +b ，a -b ，c }是另一组基底，若向量 p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， 则 p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为 ．38. 如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边及对角线的长都为 a ，1 1E，F，G 分别是AB，AD，CD 的中点，则−−→−−→AB ⋅AC = ；−−→−−→AD ⋅DB = ；−−→−−→GF ⋅AC = ；−−→−−→EF ⋅BC = ；−−→−−→FG ⋅BA = ；−−→−−→GE ⋅GF = ．9. 已知向量a=(1，0，-1)，b=(-1，1，2)．①a-b 与a 的夹角的余弦值为；②若k a+b 与a-2b 平行，则k 的值为；③若k a+b 与a+3b 垂直，则k 的值为．10.已知点M(-3，-2，0)在平面α内，且平面α的一个法向量是n=(6，-3，6)，则下列点在平面α内的是（）A．(2，3，3) B．(-2，0，1)C．(-4，-4，0) D．(3，-3，4)11.已知两不重合直线l1，l2 的方向向量分别为v1=(1，-1，2)，v2=(0，2，1)，则l1，l2 的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定412.给出下列命题：①若直线l 的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m 的方向向量为b=(2，1， 1)，则l⊥m；2②若直线l 的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的一个法向量为n=(1，-1，-1)，且l⊄α，则l⊥α；③若平面α的一个法向量为n1=(0，1，3)，平面β的一个法向量为n2=(1，0，2)，则α∥β；④若平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，且向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u=1，t=0．其中属于真命题的是（）A．②③B．①④C．③④D．①②13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱AA1，BB1 的中点，求CM 与D1N 所成角的余弦值．5【参考答案】➢巩固练习1. D2. a +1b +c ，3a +1b +3c 23. ①②③2 2 24. (4，-3，2)，95. B6. 1037. (3，1，3)8. 1a2 ，-1a2 ，-1a2 ，1a2 ，-1a2 ，1a2 2 2 2 4 4 49. ①5 7 ；②-1 ；③1514 2 710.C11.C12. 413. B14. 196。

第六节 空间向量及其运算(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c ，故选A.答案 A2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面解析 OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．答案 D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析 由于a ，b ，c 三向量共面． 所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.故选D.答案 D4．正方体不在同一表面上的两个顶点为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积为( )A ．8B ．27C ．64D ．128解析 由于A ，B 是正方体上不共面的两个顶点，则A ，B 必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2＝43，故正方体的边长为4，体积为43＝64.故选C.答案 C5．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定解析 方法1：如图所示，在空间四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，得三棱锥A —BCD ，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱互相垂直， ∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0，AD →·BC →＝0. ∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.故选B.方法2：在方法1的图中，选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0.故选B.答案 B6．如图所示，已知空间四边形OABC 中，|OB |＝|OC |，且∠AOB ＝∠AOC ，则OA →，CB →夹角θ的余弦值为( )A ．0 B.12 C.32D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . 由已知条件∠AOB ＝∠AOC ，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos ∠AOC －|a ||b |cos ∠AOB ＝0， ∴cos θ＝0.故选A. 答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．解析 设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故P ⎝⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773. 答案7738．如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.解析 如图所示，取AC 的中点G ， 连接EG ，GF ，则EF →＝EG →＋GF →＝12(AB →＋DC →)， ∴λ＝12. 答案 129．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为__________．解析 设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 答案459三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )所成角的余弦值． 解 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0， 解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)， 设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ， 因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219.11．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .12．如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(Ⅰ)求P A 的长；(Ⅱ)求二面角B —AF —D 的正弦值．解 (Ⅰ)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F (0，－1，z 2)．又AF →＝(0,2，z 2)，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝18.37故二面角B—AF—D的正弦值为8.。