2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模数学试题(word无答案)

江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题江苏省南通市 2020 届高三数学第二次调研测试一试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（共14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号等用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。

3．作答试题一定用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他位置作答一律无效。

若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。

参照公式：柱体的体积公式V柱体Sh ，此中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 U1，0 ，1，2，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．2．已知复数 z1a i ，z2z13 4 i ，此中i为虚数单位．若z为纯虚数，则实数a的值为▲ ．23．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40，100 上，其频次散布直方图如下图，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S←1频次i ←1组距i← i1S←S× 5i < 4YN40506070 8090100成绩 /分输出 S（第 3题）结束（第4题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲．5．在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C，以线段AC， BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．6．在△ABC中，已知 AB1，AC 2 ，B45 ，则BC的长为▲ ．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题27． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2y有公共的渐近线，且经过点 x13P 2， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A (1 ，2 ) ，B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列， 且 a 8 3 ，则a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a b ) ，则 a b c 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ，11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3≥ 0 ， 表示的平面地区 x3y 3 ≥ 0内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数 f ( x)exx31 ，x 0 ，3 个不一样的零点，则实数2（此中 e 为自然对数的底数）有 3mx 2 ，x ≤ 0m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB 1，BC4 ，CD 2 ，DA uuur uuur3，则 AC BD 的值为 ▲ ．14．已知 a 为常数，函数x的最小值为2f ( x)23 ，则 a 的全部值为▲ ．x 1 x 2a二、解答题： 本大题共 6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答． 解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量acos ，sin，， cos， 1 ，3．bsinc2 2 （1）若 a bc ，求 sin () 的值；（2）设5π， 0 π，且 a //b c，求的值．616．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111中，AB，点 ， F 分别在棱 1，1上（均异于ABC ABCACEBBCC端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． AC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BBCC ；BF11E（2）BC //平面AEF．17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，1， 2 是椭圆x2y21( a b 0 ) 的短轴端点，P是B Bb2a 2椭圆上异于点 B ， B 的一动点．当直线PB 的方程为y x 3时，线段 PB 的长为4 2．1211（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q知足：1122．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．QB PB， QB PByB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分16 分）2将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成 A， B，C三个矩形（ B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将 A 作为圆柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或 l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（ 2）设 l1的长为x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1BAl 2C（第 18 题）19．（本小题满分16 分）设等比数列1， 2， 3， 4 的公比为，等差数列b 1，2，3， 4 的公差为，且q 1，d 0．a a a a qb b b d 记c i a i b i（i1，2， 3， 4）．（ 1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；（ 2）设a11，q 2．若数列，，是等比数列，求b2对于 d 的函数关系式及其定义域；c1 c2c3（ 3）数列 c1，c2，c3，c4可否为等比数列？并说明原因．20．（本小题满分16 分）设函数 f ( x )x asin x ( a0 )．（1）若函数y f ( x ) 是R上的单一增函数，务实数a 的取值范围；（2）设a 1 ，g ( x )2f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b0 )，g ( x ) 是g( x ) 的导函数．① 若对随意的x0 ，g ( x )0 ，求证：存在x0，使 g( x0)0 ；②若 g ( x1 )g ( x2) ( x1x2)，求证：x1 x24b 2．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（附带题）注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第21~23 题）。

江苏省如皋市2019—2020学年高三第二学期4月模拟卷（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．设全集U ＝Z ，集合A ＝{0，2，3}，B ＝{}22x Z x x ∈-<，A I (U B ð)＝． 2．若复数z 满足2ii iz ++=，其中i 为虚数单位，则z ＝ ． 3．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中， 其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是 ．4．某医院欲从积极扱名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若毎名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 ． 5．执行右边的伪代码后，输出的结果是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，设过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若△F 1AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为 ． 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(ω＞0)，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ．9．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥平面PAC ，PC ＝AB ＝2AC ＝2，PA接球O 的表面积为 ．10．已知实数x ，y 满足条件05040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式233128mx y x y ≤+恒成立，则实数m的最大值是 ．11．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，且O 是AC 的中点，若AD AB CD CB 2⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：22(2)4x y -+=上运动，且MN＝若直线l ：30kx y -+=上的任意一点P 都满足22PM PN +≥14，则实数k 的取值范围是 ．13．已知函数2220()103x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD＝CA ，则cos A cos Bb a +的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）若a ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．16．（本小题满分14分）在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ； （2）求证：AB ⊥B 1C ．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M 在边OB上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．（1）求S(θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域；（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大?18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点(﹣1，2)，过左焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于点A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OA，OB，AB的斜率之和为0，求直线l的方程；（3）设弦AB的垂直平分线分别与直线l，椭圆C的右准线m交于点M，N，求MN AB的最小值．19．（本小题满分16分）已知函数1()ln 1f x a x x=+-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若a ＝l ，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数1()()xg x e f x x=+-在区间(0，a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设2nn n a b =． （1）若4121n nS n a -=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．①求证：数列{}n a 为等差数列；②若不等式n nT a λ+≥3对任意的n N *∈都成立，求实数λ的最小值；（2）若n a ＞0，且112n n S a ++≥，是否存在正整数k ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{}n a 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 11 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 10 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵C ，使得AC ＝B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求直线6πθ=(ρ∈R)被曲线4sin()6πρθ=+所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，m )到准线的距离与到原点O 的距离相等．（1）求抛物线的方程；（2）过不在y 轴上的点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若OP ⊥AB ，求证：直线AB 过定点． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的首项11a >，且211n n n a a a +=-，n N *∈．（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nk k a n n =>+-∑．。

江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题一、填空题1．记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i【解析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ． 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________. 【答案】{5}【解析】易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B)＝{5}．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】30【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【解析】计算sinα25y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=，∴sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25=． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．【答案】28【解析】根据程序框图直接计算得到答案. 【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28． 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β；其中正确命题的序号为_____． 【答案】④【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误； 对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7．已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8．已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____． 【答案】-2【解析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a+=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0， 故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4，当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a+的最大值为﹣4，当且仅当a 4a +=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a+）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a +≥4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、20F ⎫⎪⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【解析】根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1233PF PF ==，计算得到答案. 【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 1F 2∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得1233PF PF ==，可得123PF PF -=， ∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， ∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=．故答案为：14． 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11．设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2a ≤【解析】试题分析：由题意得函数()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()||f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 【考点】函数单调性12．已知平面向量a r，b r，c r 满足|a r|＝1，|b r|＝2，a r，b r的夹角等于3π，且（a c -r r ）•（b c -r r ）＝0，则|c r|的取值范围是_____．【答案】22⎣⎦， 【解析】计算得到|a b +r r|=2c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案. 【详解】由（a c -r r）•（b c -rr ）＝0 可得 2c =r （a b +rr）•c a b -⋅=r r |a b +rr|•|c r|cosα﹣1×2cos3π=|a b +r r |•|c r |cosα﹣1，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由 ()222a ba b +=++r r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3π=7 可得|a b +r r|=∴2c =r c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，2≤r 1，即2c -r c r |+1≤0，解得2≤|c r|2≤，故答案为⎣⎦． 【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【解析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a k a k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB ==22221a k a k+， 同理可得：AC =•22221a kak+. ∴Rt △ABC 的面积为S12=AB•AC2212kk=++•44422422221221111a ka ka a k a a kk k+=⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t1kk=+，得S()4422422222(1)12a t aaa a t a tt==-++-+.∵t1kk=+≥2，∴S△ABC442222(1)(1)2aa aaa tt≤=--⨯.当且仅当2a tt=，即t21aa-=时，△ABC的面积S有最大值为4227(1)8aa a=-. 解之得a＝3或a3297+=.∵a3297+=时，t21aa-=＜2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．设f（x）＝e tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．【答案】2e【解析】计算R（t1t-，0），PR＝t﹣（t1t-）1t=，△PRS的面积为S2t et=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e tet r-==-，∴r ＝t 1t -， 即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t），∴△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ． 【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题15．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）10sin 10B =（2）13c = 【解析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a Ab B=得到 310a =，利用余弦定理解出13c =． 【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ， 又()1tan 3AB -= ，所以02A B π<-< ， 且()()sin ,cos 1010A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010=⨯-⨯= . (2)因为sin 310sin 5a Ab B ==，且5b = ，所以310a = ， 又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+=-， 则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以 13c = .16．如图，四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：VA ∥平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连结OE ，证明VA ∥OE 得到答案.（2）证明VO ⊥BD ，BD ⊥AC ，得到BD ⊥平面VAC ，得到证明. 【详解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE ，又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊄平面BDE ， 所以VA ∥平面BDE ；（2）因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO ⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，又VO ∩AC ＝O ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ．又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面VAC ⊥平面BDE ．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x +3y ﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +5＝0（a ＞0）与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （﹣2，4），若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a = 【解析】（1）设圆心为M （m ，0），根据相切得到42955m -=，计算得到答案.（2）把直线ax ﹣y +5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0得到答案.（3）l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0，过点M （1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29＝0相切，且半径为5，所以42955m-=，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a512＞，所以实数a的取值范围是（512+∞，）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为1a-，l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得34a=．由于35412⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，，故存在实数34a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？【答案】（1）103m；（2）当BP为202103t=时，α+β取得最小值．【解析】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据()2tan CAD tan CAE∠=∠232010030x x--=，解得答案.（2）设BP＝t，则(1030103CP t t=＜＜，故()210103103200ttant tαβ+=-+-，设()f t =，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x --=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-，令f '（t ）＝0，因为0t＜＜t =，当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t ）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当t =时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2na 的前n 项和为T n，且()243n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”．【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-，而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④， ④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N ）， 又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1， 故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证． 【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20．（本小题满分16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x ∈R ，且123x x x <<．（1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1（2）详见解析（3）231222x x x xαβ++<<<【解析】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x '=---+=-+，由()0f x <得()f x 减区间(1；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<，22323()()024x x x x f +-'=-<，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）()f x减区间(1+； 4分（2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-， 6分2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<， 8分 所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根； 10分 法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x '=--+--+--， 6分 22321()()()0f x x x x x '=--<， 8分()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根； 10分 （3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<， 12分 22323()()024x x x x f +-'=-<， 14分又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减，所以231222x x x x αβ++<<<． 16分【考点】利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系21．试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【答案】y ＝2sin 2x ．【解析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ． 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力. 22．已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为. 【详解】 （1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 622ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1622y x -=，120y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为16=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度． 【答案】（1）3015．（22． 【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =u u u r （﹣1，0，2），CP =u u u r（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =r（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =r（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1），BE =u u u r（﹣1，0，2），CP =u u u r （﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ2301556BE CP BE CP⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴异面直线BE 与CP 230（2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ），AP =u u u r（0，2λ，2﹣2λ），AC =u u u r （2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩u u uv r u u u v r，取x ＝1，得n =r（1，﹣1，222λλ-）， 平面ADP 的法向量m =r（1，0，0），∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为6， ∴|cos m n r r ＜，＞|2261()322()22m nm nλλ⋅===-⋅+-r r r r ， 解得12λ=，∴P （0，1，1）， ∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）412a +，ξ的分布列为（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·1202C (1－a)2＋01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)； P(ξ＝3)＝11C·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a-；第 21 页 共 21 页 P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a -. 由2(1)0,12{0,21202a a a a -≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

S ←0I ←0While S ≤10 S ←S ＋I （第4题）江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ▲ ．2．已知i 为虚数单位，若复数3i()12i a z a -=∈+R 为纯虚数，则a = ▲ ． 3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．5．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ▲ ．8．若函数()sin 3f x x x ωω=（x ∈R ，0ω>）满足()0f α=，()2f β=，且αβ-的最小值等于2π，则ω的值为 ▲ ． 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知向量m ＝(a ，﹣1)，n ＝(2b ﹣2，3)(a ＞0，b ＞0)，若m ∥n ，则211a b ++的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ，b ∥R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∥[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知不等式()()322244≤+++--x xxx b a 对任意R x ∈恒成立，则b a +的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在∥ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ∥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ∥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∥(0，π)．（1）当θ ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．ABCDEC 1A 1B 1F（第16题）AMNBO PQθ18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且点12⎫⎪⎭在椭圆C 上．椭圆C 的左顶点为A ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，求三角形APQ 的面积；（3）过点A 作直线与椭圆C 交于另一点B ．若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x -≥-对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ∥当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad 的值；∥求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∥N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q 的值．数 学 附 加 题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线l '，求直线l '的方程．1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AB :20l x y +-=B ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为(2,)4π，圆C 的极坐标方程为22sin()04ρθπ++=．过点M 的直线l 被圆C 截得的弦长为2305，求直线l 的直角坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ∥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．· F（第22题图）xyO A MN23．（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．江苏省如皋中学2020届高三年级第二学期阶段考试数学参考答案及评分标准1．{}|0x x > 2．—2 3．534．6 5．31067．34 8．1 9．23 10．1 112 12．[－34，＋∞) 13．[e 2，4e] 14．4333-15．（本小题满分14分） （1）因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a B b A c -=，………………2分 由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-．………………6分 （2）由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-，所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =．………………8分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，………………10分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．………………14分16．（本小题满分14分）（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．………………2分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．………………4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ∥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ∥BD ． ………………8分因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ∥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ∥C 1E ．………………10分（第16题）ABCD EC 1A 1B 1FG根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∥C 1EB ＝90°，即C 1E ∥EB ．………………12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ， 所以C 1E ∥平面BDE ．………………14分 17．（本小题满分14分）（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．………………4分（2）方法一：由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ ．又PQ ＝50－50cos θ ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝6－sin θ1－cos θ －6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ ×6－5sin θ5－5cos θ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分 令g (θ )＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ ∥(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2 ，θ ∥(0，π)．………………10分由g '(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ －1＝0，解得θ ＝ π2．当θ ∥(0，π2)时，g '(θ )＞0，g (θ )为增函数；当θ ∥(π2，π)时，g '(θ )＜0，g (θ )为减函数，所以，当θ ＝π2时，g (θ )有极大值，也为最大值．………………12分因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g (θ )＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ ＝π2时，∠MPN 取得最大值．………………14分方法二：以点A 为坐标原点，A M 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0． 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ ) ＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ＝300－x 0y 0 － 60－x 0y 01＋300－x 0y 0 ×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1800．………………6分由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分（下同方法一）18．（本小题满分16分）（1）由题意知：22222212121b a a b ⎧⎛⎪-=⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，………………2分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．………………4分 （2）设直线PQ的方程为y x =-，与椭圆联立得2320x -+=，所以123x x +=，1223x x =，则122PQ x =-==， 又点A 到直线PQ的距离为d =7分 所以三角形APQ的面积为11222PQ d ⋅⋅=⋅=9分 （3）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()2y k x =+，联立方程组()42142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，由22164214B k x k --=+，得222814B k x k-=+，………………12分将0x =代入()2y k x =+中，得到2C y k =，得2k =，解得218k =．………………14分 所以直线l的斜率为16分19．（本小题满分16分）（1）令()ln 1g x x x =-+，所以()111xg x x x-'=-=．………………1分 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以()()max 10g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．………………3分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………5分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，………………7分令211x t x =>，1ln 1t t>-，由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立．………………9分（3）不等式()()221ln 1x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立．因为()()()()22211ln 11ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦． 设()()1ln 1k x h x x x -=-+， 则()()()()2222111211x k x k h x x x x x +-+'=-=++．………………10分 记()()2211x x k x ϕ=+-+，()()241442k k k ∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增．于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()()221ln 1x x k x ->-，当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()()221ln 1x x k x ->-，又当1x =时，()()221ln 1x x k x -=-．因此当02k <≤时，不等式恒成立．………………13分 ②当0∆>，即2k >时，设()22110x k x +-+=的两个不等实数根分别为3x ，4x （34x x <）． 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<．故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()()210x h x -<，即()()221ln 1x x k x -<-，舍去；………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤．………………16分 20．（本小题满分16分）（1）∥因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d3，解得，a d ＝34．………………3分∥由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n ＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，………………5分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d 2，由于1＋1＋8ad 2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．………………8分（2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．………………9分设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．………………12分 所以当r ≧2时，t ＞r ≧2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13．若t ≧3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋ 856．………………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换∥， ∥．………………4分 在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得， ∥点在直线上， ∥．∥∥，即， ∥，即．∥ 将∥代入∥得，即， ∥直线的方程为．………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程因为点M的极坐标为)4π，1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦l '(,)P x y l 000(,)P x y AB 000(,)P x y :20l x y +-=0020x y +-=00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦000122x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112042x y y -+-=480x y +-=l '480x y +-=所以点M 的直角坐标为(1,1)，………………2分 因为圆C的极坐标方程为)04ρθπ++=，所以将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y +++=，………………4分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点，………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-， 则圆心(1,1)C --到直线l的距离为d =因为直线l 被圆C所以222d +=，即245=， 解得12k =或2k =， 所以直线l 的方程为210x y -+=或210x y --=．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2．………………2分（2）由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．（3）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，………………6分 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m －2，………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．………………10分23．（本小题满分10分）（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)30C +++⨯=．………………2分（2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．………………5分31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+3131nC ii nmn C =∴=+∑………………8分32018132018201812019C ii mC=∴=+=∑………………10分。

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 363f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知1sin cos 2θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

江苏省南通市如皋中学2020届高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题一、填空题(★★★) 1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________.(★★★) 2. 已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．(★★★) 3. 已知实数，满足，当取最大值时，________.(★★★) 4. 已知等差数列满足：，则的最大值为________.(★★★★) 5. 已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________.(★★★) 6. 已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为．(★★★) 7. 已知双曲线左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同两点，若，则该双曲线的离心率为________ .(★★★) 8. 用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为________.(★★★) 9. 四棱锥中，，，则四棱锥的体积为________.(★★★★) 10. 已知向量，满足，，若存在不同的实数，，使得且，则的取值范围是________.(★★★★) 11. 已知是椭圆上一动点，，，则的最大值为________.(★★★★★) 12. 已知，，则向量的最小值为 ________ .(★★★★) 13. 三角形面积为，若，则的最大值是________. (★★★) 14. 已知数列为首项为2正项等比数列，数列为公差为3等差数列，数列满足，，若，则数列前50项的和为________.二、解答题(★★) 15. 如图，在△ ABC中，为所对的边，CD⊥ AB于 D，且．（1）求证：；（2）若，求的值．(★★★) 16. 如图，在正三棱柱中，， D， E， F分别为线段，，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.(★★★★) 17. 动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.(★★★) 18. 某景区平面图如图1所示，为边界上的点．已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长．(★★★★) 19. 设数列的前n项和为，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．(★★★★) 20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.（1）求的解析式；（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.。

2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。

绝密★启用前江苏省如皋中学、如东中学2020届高三毕业班下学期阶段性联合调研考试数学试题(解析版)注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}02A x x =<<，集合{}1B x x =>，则A B =______. 【答案】{}0x x >【解析】【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】{}{}02,1A x x B x x =<<=>，{}0A B x x ∴⋃=>.故答案为：{}0x x >.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,若复数3i ()12i a z a -=∈+R 为纯虚数,则a =___________. 【答案】2-【解析】【分析】根据复数的除法法则首先计算出221i 55a a z +-=+,根据纯虚数的概念列出方程,解出即可.【详解】i (i)(12i)221i 12i (12i)(12i)55a a a a z --++-===+--+, 由题可得20210a a +=⎧⎨-≠⎩,解得2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,已知复数的类型求参数的值,属于基础题.3.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=, 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.4.运行如图所示的伪代码,则输出的I 的值为_______.【答案】6【解析】。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是______．2.已知复数z满足|z|−z.=2−4i，则z=______ ．3.已知高二年级共有1500名学生，其中文科生600名，理科生900名．现采用分层抽样的方法抽取25名学生，则需要从文科生中抽取学生人数为________．4.一算法的流程图如图所示，则输出S为______ ．+√3−x的定义域为______ ．5.函数f(x)=11−x26.编号为1，2，3，4的四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为___________．7.已知y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，g(3)=3，则g(−3)=______．8.已知双曲线C1：x2−y2=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离3为1，则抛物线C2的方程为______．9.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．10.已知sinθ=4，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=_________．511.若圆锥底面半径为1，高为√3，则其侧面积为______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−2)2=2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为______．13.已知a⃗是平面内的单位向量，若向量b⃗ 满足b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，则|b⃗ |的取值范围是________．14.已知函数f(x)=e x−1+x−2(e为自然对数的底数).g(x)=x2−ax−a+3.若存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=3．5(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若a+b=12，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB//平面AEC．17.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ 分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．(1)①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L(θ)；②设AB=2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，且过点P(√2,1).直线y=√22x+m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△PAB的面积的最大值；(3)设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．19.已知数列{a n}的前n项和S n，S n=3a n−1．2(1)求a n；(2)若b n=(n−1)a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．21.已知矩阵A=[12−1x]的一个特征值为2，求矩阵A的逆矩阵．22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ(a>0)，直线l：ρcos(θ−π3)=32，C与l有且只有一个公共点，求a．23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2,y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB的面积．24.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【答案与解析】1.答案：m ≥3,解析：本题考查子集，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．解：∵A ={x|x <3}，集合B ={x|x <m }，A ⊆B∴m ≥3,故答案为m ≥3,2.答案：3−4i解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，∵|z|−z .=2−4i ，∴√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，∴√a 2+b 2−a =2，b =−4，解得b =−4，a =3．则z =3−4i ．故答案为：3−4i ．设z =a +bi(a,b ∈R)，|z|−z .=2−4i ，可得√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，可得√a 2+b 2−a =2，b =−4，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：10解析：本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：设从文科生中抽取学生人数为x ，则x 25=6001500，解得：x =10,故从文科生中抽取学生人数为10人，故答案为10．4.答案：12解析：初始条件：i =1，s =1；判断1<10，成立，1次循环：i =4，s =5；判断4<10，成立，2次循环：i =7，s =12；判断12<10，不成立，输出S =12．故填空：12．按流程线方向演算出赋值的结果，判断是否符合终止条件，若符合，则循环；若不符合，则输出最后算出的S 的值．考查了算法程序框图，循环结构，赋值语句，属于基础题．5.答案：{x|x ≤3且x ≠±1}解析：解：要使函数有意义，则{1−x 2≠03−x ≥0， 即{x ≠±1x ≤3， 即函数的定义域为{x|x ≤3且x ≠±1}，故答案为：{x|x ≤3且x ≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：1724解析：本题考查了概率问题，算出总的情况，再计算出至多有一个球的编号与盒子的编号相同的情况，即可得出答案．解：不考虑任何条件限制，放法总数为24种．恰由一个球的号码与盒子号码相同，其放法有8种．没有球的号码与盒子号码相同，其放法总数有9种，故P=8+924=1724．故答案为1724．7.答案：−9解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的分析与计算能力，属于基础题．可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．解：∵y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，∴f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．故答案为：−9．8.答案：x2=8y解析：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线C1：x2−y23=1，的渐近线：√3x±y=0，抛物线的焦点坐标为：(0,p2)，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：p2√1+3=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．9.答案：65解析：解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．10.答案：−2425解析：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及应用，属于基础题．由题意cosθ<0，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解：因为sinθ=4，sinθ−cosθ>1，5所以cosθ<0，则cosθ=−√1−sin2θ=−3，5．则sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故答案为−242511.答案：2π解析：解：圆锥的高位√3，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，×2π×2=2π圆锥的侧面积：12故答案为：2π．先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．12.答案：[−2,2]解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=1，若过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若OA⊥PA，OB⊥PB，又由PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得：−2≤a≤2，即a的取值范围为[−2,2]；故答案为：[−2,2]．根据题意，由圆的切线性质分析可得四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，据此分析可得P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；进而可得若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及圆与圆的位置关系，关键是分析P的轨迹．13.答案：[0,1]解析：本题考查了向量的数量积，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，由题意得a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，所以|b⃗ |=cosθ即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，∵b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，∴a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，∵|a⃗|=1∴|b⃗ |=cosθ∴|b⃗ |∈[0,1]．故答案为[0,1]．14.答案：[2,3]解析：解：函数f(x)=e x−1+x−2的导数为f′(x)=e x−1+1>0，f(x)在R上递增，由f(1)=0，可得f(x1)=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，即为g(x2)=0且|1−x2|≤1，即x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，令t=x+1(1≤t≤3)，则t+4t−2在[1,2]递减，[2,3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．求出函数f(x)的导数，可得f(x)递增，解得f(x)=0的解为1，由题意可得x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，求得(x+1)+4x+1−2的范围，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．15.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，cosC=35，∴sinC=√1−cos2C=45，∵B=180°−(A+C)，A=45°，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22×35+√22×45=7√210；(Ⅱ)∵sinA=√22，sinB=7√210，∴由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=√227√210=57，即7a=5b①，又a+b=12②，联立①②解得：a=5，b=7，则S△ABC=12absinC=12×5×7×45=14.解析：(Ⅰ)由C为三角形的内角及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin(A+C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sin B的值；(Ⅱ)由sin A和sin B的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16.答案：证明：(1)∵AD//BC，AD⊥CD，∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，∴CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC．(2)连结BD交AC于O，连结EO．∵AD//BC，∴△AOD∽△COB，∴DOOB =ADBC=12，又PE=2ED，即DEPE =12，∴OE//PB，∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面AEC．解析：(1)由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；(2)连结BD交AC于O，连结EO.利用三角形相似得出ODOB =DEPE=12，从而得到OE//PB，得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)①在中，，所以，所以，在中，所以其中θ∈(0,π2)②设AC=y，则在RtΔAGC中CG=√y2−x2，由RtΔCDO与RtΔAGC相似得，COCA =ODAG，即√y2−x2−20y=20x，即x√y2−x2−20x=20y，即x√y2−x2=20(x+y)，即x√y−x=20√x+y即x2(y−x)= 400(x+y)，化简得CA=y=x3+400xx2−400，其中x∈(20,+∞)(2)选择(1)中的第一个函数关系式研究．令L′(θ)=0，得sinθ=√5−12．令sinθ0=√5−12，当θ∈(0,θ0)时，L′(θ)<0，所以L(θ)递减；当θ∈(θ0,π2)时，L′(θ)>0，所以L(θ)递增，所以当sinθ=√5−12时，L(θ)取得最小值，新建道路何时造价也最少．解析：本题考查函数的模型的应用，以及利用导数求实际问题，属于中档题．(1)根据已知条件可得对应的关系，然后利用相似求出解析式；(2)利用求导，结合单调性和定义域求出最值．18.答案：解：(Ⅰ)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ， 由椭圆C 的离心率是e =ca=√1−b 2a 2=√22，即a 2=2b 2，将点P(√2,1)代入椭圆方程：x 22b 2+y 2b 2=1. 解得{a 2=4b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由{y =√22x +mx 24+y 22=1，消去y ，整理得x 2+√2mx +m 2−2=0． 令△=2m 2−4(m 2−2)>0，解得−2<m <2． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴丨AB 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3⋅√4−m 2， 点P(√2,1)到直线x −√2y +√2m =0的距离为d =√2−√2+√2m √1+(√2)2=√2丨√3．∴△PAB 的面积S =12丨AB 丨⋅d =√22丨m 丨⋅√4−m 2，=√22√−(m 2−2)2+4≤√2，当且仅当m =±√2时，S =√2，此时满足△>0， 则△PAB 的面积的最大值√2； (Ⅲ)丨PM 丨=丨PN 丨．证明如下： 设直线PA ，PB 的斜率分别是k 1，k 1， 则k 1+k 2=y 1−1x −√2+y 2−1x −√2=(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)(x −√2)(x −√2)，由(Ⅱ)得(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)=(√22x 1+m −1)(x 2−√2)+(√22x 1+m −1)(x 1−√2) =√2x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−2√2(m −1)=√2(m 2−2)+(m −2)(−√2m)−2√2(m −1)=0， ∴直线PA ，PB 的倾斜角互补． ∴∠1=∠2， ∴∠PMN =∠PNM ．∴丨PM丨=丨PN丨．解析：略19.答案：解：(1)由已知可得，2S n=3a n−1，①所以2S n−1=3a n−1−1(n≥2)，②①−②得，2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，化简为a n=3a n−1(n≥2)，即a na n−1=3(n≥2)，在①中，令n=1可得，a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n=3n−1．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，T n=0⋅30+1⋅31+2⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−1，③则3T n=0⋅31+1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n.④③−④得，−2T n=31+32+33+⋯+3n−1−(n−1)⋅3n，=3−3n1−3−(n−1)⋅3n=(3−2n)⋅3n−32．所以，T n=(2n−3)⋅3n+34．解析：(1)由已知可得2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，推出数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵f(x)=xln x−ax+1，∴f′(x)=lnx+1−a，∴函数f(x)=xln x−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=1−a=−2，解得a=3;(2)由(1)可得f(x)=xlnx−3x+1,x∈(0,+∞)，故f′(x)=lnx−2,x∈(0,+∞)，令f′(x )>0得x >e 2， 令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．21.答案：解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|=(λ−1)(λ−x)+2， 因为λ1=2是方程f(λ)=0的一个根，所以x =4， 故A =[12−14]． 设矩阵A 的逆矩阵为A −1=[abcd ]，则[12−14][a bcd]=[1001]，即{a +2c =1,b +2d =0−a +c =0,−b +4d =1,，解得所以矩阵A 的逆矩阵A −1=[23−131616]．解析：本题考查矩阵的特征值以及逆矩阵的计算，属于基础题． 矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|，由2是一个特征值，可知f(2)=0，从而可求得x =4，先计算矩阵对应的行列式的值，再利用逆矩阵的公式即可求出答案．22.答案：解：曲线C ：ρ=2acosθ(a >0)，即ρ2=2aρcosθ(a >0)，∴x 2+y 2=2ax ，配方可得：C 的直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2．直线l ：ρcos(θ−π3)=32，展开为12ρcosθ+√32ρsinθ=32，可得直角坐标方程：x +√3y −3=0．由直线与圆相切可得：|a−3|2=a ，a >0．解得：a =1．解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)根据题意，D(2,y 0)在抛物线y 2=2px 上且|DF|=3，由抛物线定义得2+p2=3，∴p =2 故抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由方程组{y =x −1y 2=4x ，消去y 得x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6； ∵直线y =x −1过抛物线y 2=4x 的焦点F ，∴|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8又O 到直线y =x −1的距离d =√22，∴△ABO 的面积S =12|AB|d =2√2．解析：(1)根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p =2，代入标准方程，即可得答案； (2)联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2−6x +1=0，进而设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y =x −1，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．24.答案：解：(1)两次记录的数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个， 满足xy ≤3，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，共5个， ∴小亮获得玩具的概率为516；(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率；理由如下：满足xy ≥8，(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(3,3)，(4,4)共6个，∴小亮获得水杯的概率为6；16小亮获得饮料的概率为，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解析：本题考查古典概型的计算和应用．(1)利用列举法求出基本事件的总数，然后求出满足xy≤3的基本事件的个数，然后由古典概型的概率计算公式即可求解；(2)求出满足xy≥8的基本事件的个数，求出小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率，即可得出结论．。

江苏省如皋市2020届高三数学下学期4月模拟试题（二）（考试时间：120分钟 总分：160分）参考公式：球体的表面积公式S 球体＝4πR 2，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 设全集U ＝Z ，集合A ＝{0，2，3}，B ＝{x ∈Z |x 2－x ＜2}，则A ∩(∁U B )＝ ▲ ． 2． 若复数z 满足z ＋i ＝2＋i i，其中i 为虚数单位，则|z |＝ ▲ ．3． 某工厂为了了解一批产品的净重(单位：克)情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示．则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是 ▲ ．4． 某医院欲从积极报名的甲、乙、丙、丁4名医生中选择2人去支援武汉抗击“新型冠状病毒”，若每名医生被选择的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被选择的概率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，设过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若△F 1AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．7． 已知函数f (x )＝|sin(ωx ＋φ)| (ω＞0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长（第5题图）（第3题图）度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ． 8． 已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若121223a a a a =+，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ▲ ． 9． 在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥平面PAC ，PC ＝AB ＝2AC ＝2，PA ＝5，则该三棱锥的外接球O的表面积为 ▲ ．10．已知实数x ，y 满足条件05040x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，若不等式mx 2y ≤2x 3＋18y 3恒成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．11．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝4上运动，且MN ＝23．若直线l ：kx －y ＋3＝0上的任意一点P 都满足PM 2＋PN 2≥14，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数()2220e e 103x x ax a x f x x a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩，≤，，，，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD ＝CA ，则cos cos b Aa B+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin b A ＝πcos 6a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小； （2）若a ＝2，c ＝3，求cos(A －B )的值． 16．（本小题满分14分）ABCDO（第11题图）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ； （2）求证：AB ⊥B 1C ．17．（本小题满分14分）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O ，线段AOB 为其下沿，且OA ＝2 m ，OB ＝ 2 m ．现欲从中截取一个四边形AMPQ ，其要求如下：点P ，Q 均在圆弧上，AP 平分∠QAB ，且PM ⊥OB ，垂足M 在边OB 上．设∠QAB ＝θ，四边形AMPQ 的面积为S (θ) m 2． （1）求S (θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域； （2）当cos θ为何值时，四边形AMPQ 的面积最大？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且经过点(－1，22)，过左焦点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线OA ，OB ，AB 的斜率之和为0，求直线l 的方程；（3）设弦AB 的垂直平分线分别与直线l ，椭圆C 的右准线m 交于点M ，N ，求MN AB的最小值．19．（本小题满分16分）C ABB 1C 1A 1D （第16题图）（第17题图）已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）若a ＝1，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围； （3）设函数()()1e x g xf x x=+-在区间()0e a -，上存在极值，求证：1e 1a a a --+>+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，设2nn n a b =． （1）若4121n nS n a -=+，记数列{}n b 的前n 项和为T n ． ① 求证：数列{}n a 为等差数列； ② 若不等式3n nT a λ+≥对任意的*N n ∈都成立，求实数λ的最小值；（2）若0n a >，且112n n S a ++≥，是否存在正整数k ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{}n a 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．2019～2020学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（二）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线θ＝π6 (ρ∈R )被曲线ρ＝4sin(θ＋π6)所截得的弦长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (2，m )到准线的距离与到原点O 的距离相等． （1）求抛物线的方程；（2）过不在y 轴上的点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若OP ⊥AB ，求证：直线AB 过定点．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的首项11a >，且211n n n a a a +=-，*N n ∈． （1）求2a 的最小值；（2）求证：2115222nk k a n n =>+-∑．2019～2020学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（二）数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．{2，3} 2．55 4．565．7 67．4 8．12 9．9π 10．32 11．－3 12．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13．332⎛⎫⎪⎝⎭， 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）因为πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，根据正弦定理sin sin a b A B =， 得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()0πA ∈， ，所以sin A >0，所以sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+，整理得sin B B ，所以tan B =， 又()0πB ∈，，故π3B =． ……………………………………6分 （2）在△ABC 中，2a =，3c =，π3B =，据余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，得22223232cos 3b π=+-⨯⨯⨯，故b =．据正弦定理sin sin a b A B=，得2sin sin 3A sin A = 因为b a <，故AB <，π03A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos A ===．所以()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+ππcos sin 33=． ……………………………………14分16．【证明】（1）连接1AB ，交1A B 于点E ，连接DE ．在三棱柱111-ABC A B C 中，四边形11ABB A 是平行四边形，因为11AB A B E =，所以E 是1AB 的中点，所以DE ∥1B C ． 又DE ⊂面1A BD ，1B C ⊄面1A BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD ． (6)分（2）取AB 的中点Q ，连接QC 、1QB ．因为1AB BB =，∠ABB 1＝60°，所以△ABB 1是正三角形，11BB B A =． 因为Q 是AB 的中点，所以1AB B Q ⊥．因为CA CB =，Q 是AB 的中点，所以AB CQ ⊥． 又1B Q CQ Q =，1B Q ，CQ ⊂面1CQB ， 所以AB ⊥面1CQB ． 因为1B C ⊂面1CQB ， 所以1AB B C ⊥． ……………………………………14分17．【解】（1）连接OP ，取AP 的中点C ，AQ 的中点E ，连接OC ，OE ．因为OA OP =，所以OAP QPA ∠=∠， 因为AP 平分OAB ∠ ，所以OAP QAP ∠=∠，CABB 1C 1A 1D （第16题图）QE（第17题图）所以OPA QAP ∠=∠，故OP ∥AQ ， 所以POM QAB θ∠=∠=．在Rt PMO ∆中，2OP =，POM θ∠=，所以2cos OM θ=，2sin PM θ=， 在Rt OAC ∆中，2OA =，2OAC θ∠=，所以2cos 2AC θ=，24cos 2AP AC θ==， 在Rt OAE ∆中，2OA =，OAQ θ∠=，所以2cos AE θ=，24cos AQ AE θ==，所以()11sin 22AMP QAP S S S AM MP AP AQ QAP θ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅⋅∠()1122cos 2sin 4cos 4cos sin 2222θθθθθ=⋅+⋅+⋅⋅⋅2sin 6sin cos θθθ=+， 所以()2sin 6sin cos S θθθθ=+，其定义域为ππ42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．……………………………………7分（2）因为()2sin 6sin cos S θθθθ=+，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()222'2cos 6cos 6sin 12cos 2cos 6S θθθθθθ=+-=+-．令()0S θ'= ，得cos 0θ⎡=⎢⎣⎦，设锐角0θ满足0cos θ=， 列表：答：当cos θAMPQ 的面积最大． ……………………………………14分18．【解】（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以椭圆C 的焦点为()10±，，所以点1⎛- ⎝⎭到焦点()10-，，()10，，故2a =+，得a =． 所以21b = ，椭圆C 的方程为2212x y +=． (4)分（2）依题意，左焦点F ()10-，，设直线l ：()1y k x =+，0k ≠，()11A x y ，，()22B x y ，．联立方程组()22112y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得()2222214220k x k x k +++-=， 所以2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -⋅=+．因为直线OA ，OB ，AB 的斜率之和为0，所以12120y y k x x ++=， 即()()1212110k x k x k x x ++++=，整理得 121230x x x x ++=， 即2243022k k -=-，解得k =所以直线l 的方程为)1y x =+． ……………………………………9分（3）若直线l的斜率不存在，2MN AB==； 若直线l 的斜率存在，由（2）可得AB =12x x ==-=)22121kk+=+，又21222221Mx x kxk+==-+，直线MN的斜率为1k-，2Nx=，所以)()222262222121M NkkMN xk k k+⎛⎫=-=--=⎪++⎝⎭．故2226221kMNABk+===+令231t k=+，则1t>，故MNAB=当1t>时，()101t∈，，22111199212488yt t t⎛⎫⎛⎫=-++=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以2MNAB=．显然，22>，所以MNAB的最小值为2．……………………………………16分19．【解】（1）当1a=时，()1ln1f x xx=+-，()10f=，()211f xx x'=-，()10f'=，所以函数()f x在1x=处得切线方程为0y=．……………………………………2分（2）因为()1ln 1f x a x x=+-，x >0，()10f =， 所以()2211a ax f x x x x-'=-=．① 若0a ≤，则()0f x '<，()f x 在()0+∞，上是单调增函数， 所以()f x 在()0+∞，上至多一个零点，与题意不符合． ② 若0a >，令()0f x '=，得1x=．（ⅰ）若11a= ，即1a =时，()f x 有且仅有一个零点1x =，与题意不符．（ⅱ）若11a>，即01a <<时， 1e 1a >，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 又11111e ln e 1e 0e a aa af a ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且()f x 的图像在()0+∞，上不间断，所以存在101e a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()0f x =． 此时，()f x 在()0+∞，恰有两个不同得零点1x =和101e a x x a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，， 所以01a <<符合题意． （ⅲ）若101a << ，即1a >时，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 令()()2e e 1a a a f a ϕ-==-- ，()e 2a a a ϕ'=-，()e 20a a ϕ''=->，所以()a ϕ'在()1+∞，上是单调增函数，()()1e 20a ϕϕ''>=->， 所以()a ϕ在()1+∞，上是单调增函数，()()1e 20a ϕϕ>=->． 所以()e 0a f ->，且0e 1a -<<，()f x 的图像在()0+∞，上不间断， 所以存在01e a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()0f x =．此时，()f x 在()0+∞，恰有两个不同得零点1x =和01e a x x a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，所以1a >符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是01a <<或1a >．……………………………………10分（3）依题意()11e ln 1e ln 1x x g x a x a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭，0e a x -<<， 则()e e x xa x ag x x x-'=-=，令()e x t x x a =-，()0e a x -∈，，()()e 10x t x x '=+>，所以()t x 在()0e a -，上是单调增函数． 要使得()g x 在()0e a -，上存在极值，则须满足()()00e 0a t t -⎧<⎪⎨>⎪⎩，，即00a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩，，所以ee 0aaa -->>，e ln a a a -->，即e ln a a a ->+．由（2）②可知，当0x >时，()1ln 10f x x x=+-≥， 所以0a >，1ln 10a a+-≥． 所以111e 1ln 1ln 10a a a a a a a a a--+-->++--=+-≥，即1e 10a a a --+-->，所以1e 1a a a --+>+．……………………………………16分20．【解】（1）① 因为4121n nS n a -=+，41n S -=()21n n a +， ① 所以()114123n n S n a ++-=+， ②将①－②，得()()1142321n n n a n a n a ++=+-+，即()()12121n n n a n a ++=-，③所以，当2n ≥，*N n ∈时，()()12123n n n a n a --=-，④将③－④得，当2n ≥，*N n ∈时，()()()()1121232121n n n n n a n a n a n a -+++-=-+-， 整理得，112n n n a a a -+=+，即11n n n n a a a a +--=-， 所以数列{}n a 为等差数列． ……………………………………4分② 因为41n S -=()21n n a +，令1n =，2，得11413S a -=，22415S a -=， 解得11a =，23a =，结合①可知，21n a n =-，故212n nn b -=． 所以123135212222n nn T -=+++⋅⋅⋅+， 12n T = 2311323212222n n n n +--++⋅⋅⋅++， 两式相减， 得1231112222122 2222n n n n T +-=+++⋅⋅⋅+-111111212212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--132322n n ++=-，所以2332n nn T +=-． 依题意，不等式3n nT a λ+≥对任意的*N n ∈都成立，即2333221nn n λ+-+-≥对任意*N n ∈恒成立， 所以()()23212nn n λ+-≥对任意*N n ∈恒成立． 令()()()23212nn n p n +-=，则()()()()()()121252123122n nn n n n p n p n +++-++-=-()214222n n n +---=，所以当1n =，2时，()()10p n p n +-> ，即123p p p <<， 且当3n ≥，*N n ∈时，()()10p n p n +-<，即345p p p >>>⋅⋅⋅， 所以当3n =时，()p n 取得最大值3458p =， 所以458λ≥，实数λ的最小值为458． ……………………………………10分（2）因为112n n S a ++≥，所以()112n n n S S S ++-≥，即12n n S S +≤．因为0n a > ，所以0n S >，12n nS S +≤． 所以111211212n n n n n n n n S S S S S S S S S S ++---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤，112n n S a +⋅≤，1111122n n n a S a -++⋅≤≤． 所以当2n ≥，*N n ∈时，212n n a a -⋅≤，1124n n n a b a =≤． 假设存在*k ∈N ，1k b +，2k b +，3k b +，…成等差数列，公差为d ()0d ≠．则()11114k n k b b n d a ++=+-≤，（ⅰ）若0d <，则当11k bn d+>-，*N n ∈时，0k n b +<，而0n a >，02n n nab =>，所以0d <与题意矛盾．（ⅱ）若0d >，则当11141k a b n d +->+，*N n ∈时，114k n b a +>与114n b a ≤题意矛盾．所以不存在*k ∈N ，使得无穷数列1k b +，2k b +，3k b +，…成公差不为0的等差数列．……………………………………16分21A ．【解】因为|A|＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35 －15－15 25＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 －15－15 25． 由AC ＝B ，得(A －1A )C ＝A －1B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 45－15 －35． (1)0分21B ．【解】联立方程组π6π4sin 6θρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，得ππ4sin 66ρ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又因为直线θ＝π6与曲线ρ＝4sin(θ＋π6)都经过极点O ，所以直线θ＝π6被曲线ρ＝4sin(θ＋π6)所截得的弦长为 (1)0分22．【解】（1）因为点M (2，m )在抛物线C 上，所以22pm =，得1m p=．因为点M (2，m )到准线2py =-的距离与到原点O 的距离相等． 所以12p p +2p =（负舍）． 所以抛物线C 的方程为24x y =． (4)分（2）设2114x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2224x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，，依题意，12x x ≠，120x x +≠．因为214y x =，12y x '=， 所以切线PA 的方程为()2111142x y x x x -=-，即211124x y x x =-， 同理，切线PB 的方程为222124x y x x =-．联立方程组211222124124x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以点P 得坐标为121224x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，． 因为OP ⊥AB ，所以1OP AB k k ⋅=-，即221212121244412x x x x x x x x -⋅=-+-，整理得128x x =-． 所以直线AB 的方程为()2112144x x x y x x +-=-，即1224x x y x +=+，所以直线AB 恒过定点()02，．……………………………………10分23．【解】（1）依题意，11a >，21211a a a =-，所以()()()211211112111122411a a a a a a -+-+==-++=--≥， 当且仅当11111a a -=- ，即12a = 时，取“=”． 所以2a 的最小值为4． (3)分（2）因为12y x x=++，当1x >，2221110x y x x -'=-=>，所以12y x x=++在()1+∞，上是单调增函数．所以，当24a ≥时，()()223222111241251141a a a a a ==-++-++>---≥．下面用数学归纳法证明：当3n ≥，*N n ∈时，2n a n >+． ① 当3n =时，3532a >=+，结论成立； ② 假设n k =时，2k a k >+． 那么1n k =+时，()211111212311k k k k k a a a k k a a k +-==-++>+++>+-+， 所以1n k =+时，()112k a k +>++．据数学归纳法可知，当3n ≥，*N n ∈时，2n a n >+．所以()()()12311432422nk n k a a a a a n ==+++⋅⋅⋅+>++++++⋅⋅⋅++∑()()2142561122n n n n -+++-=+=+215222n n =+-． (1)0分。

（第5题） 江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数 学 试 题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ．2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u ur u u u r ，则实数k 的取值范围是 ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)某校有一块圆心O, 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n ，不等式22n n n a a a ++->都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数()xax bf x e -=（其中,a b R ∈）． （1）当1a =时，若函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）当1b =，0a ≠时，①求函数()y f x =的极值；②设函数()y f x 图象上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试附加题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m ．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对*m ∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. {}|0x x > 2． 13+i 55 3. 512 4. 150 5.7 6. 37. 12 8. 441(,)e e9. 88 10．x 25＋y 24＝111. e12. k k ≤≥14.AB CB 1C 1A 1 MN二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =I ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17. （1）由题意得IOJ △，所以IJ 设椭圆C 的半焦距为c，则2222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ． 联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=u u u u r u u u r，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=， 整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k kk k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 18. （1）由已知，AOQ α∠=,]3π2,0(∈α，1ONA OMA S S S =+△△； 故1112100200sin 100200sin()223S π=⨯⨯⨯α+⨯⨯⨯-α， ……3分整理得1)6S π=+α（平方米）， ……5分∴当3π=α时，1max ()S =（平方米）. ……7分 （2）由已知，2ONA AOQ S S S ∆=-扇形，∴211200200100200sin 22S =⨯⨯⨯α-⨯⨯⨯α，即2100002sin S =α-α（）； (10)分∴2()100002cos S 'α=-α（），故2()0S 'α>； ……11分∴2()S α在2π(0]3,上为增函数， ……12分∴当32π=α时，2max 4()100003S π=-（（平方米）. ……14分答：（1）当3π=α时，1max ()S =（平方米）； （2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S =α-α（），2π(0]3,α∈当32π=α时，2max 4()100003S π=（（平方米）. ……16分19．解：⑴当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）. ………………2分 由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+， 即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， ……………4分 由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. ……………………………………6分 ⑵对任意正整数n ，1==>=，所以c 的最大值为max 1c ≥. …………………10分另一方面，任取实数1a >时.==-==. ……………………12分 ①当2a ≥时，对任意的正整数n< ……………14分②当12a <<时，只要(20a -<，即22(2)(2)a n a n -+<，也就是2(2)2(1)a n a ->-所以满足条件的1c ≤，从而max 1c ≤. 因此c 的最大值为 1. ………………16分20．（1）1a =时， ()x x b f x e -=的导函数1'()xx bf x e -++=，∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1'()0xx bf x e -++=≤，即10x b -++≤ ∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=，①(i)当0a >时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞>；'1(,),()0a x f x a +∈+∞<， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值．(ii)当0a <时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞<；'1(,),()0a x f x a+∈+∞>，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．②设切点为1(,)t at T t e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at ay x t e e --++-=-， 当1a t a+=时，切线l 的方程为11a a t at y a e e +--==⋅，其在x 轴上的截距不存在． 当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a a t a---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a -->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--，当110t a --<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--，∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a⎛⎤⎡⎫-∞++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学附加题参考答案与评分标准21A 解：由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………………………5分由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，， 所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2． ………………………10分21B ．解：方法一设圆C 上任意一点的极坐标(,)P ρθ，过OC 的直径的另一端点为B ，连接,PO PB ． 则在直角三角形OPB 中，,24OPB POB ππθ∠=∠=-．所以4cos()4πρθ=-，即为圆C 的极坐标方程．……………………………………10分方法二(2,)4C π的直角坐标为)，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y +=，…………………………5分即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． ……………………………………………………………10分21C 解关于x 的不等式12x x m +-<．因为a ，b ，0c >， 所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分 （2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X+++====15(333)453(1)1201208C P X++====252201(2)1201206C P X⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)P X==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kkk k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，………………………………2分又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. ………………………………………………4分（2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k nn n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑ 1111111(1)(1)n nkk k k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ 111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，，………………………………………………………8分由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．…………………………………10分。