高考数学等差数列习题及答案
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等差数列高考真题及答案一、选择题1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5 B.a n=3n﹣10 C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n 2.已知a、b、c为实常数,数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是()A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a﹣2b+c=0 3.已知数列{a n}满足a n+a n+4=a n+1+a n+3(n∈N*),那么必有()A.{a n}是等差数列B.{a2n﹣1}是等差数列C.{a2n}是等差数列D.{a3n}是等差数列4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当S n取最小值时,n等于()A.6 B.7 C.8 D.95.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且,则使得为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.56.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12 B.13 C.14 D.157.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}前8项的和为()A.128 B.80 C.64 D.568.设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=4,S5≥S4≥S6,则公差d的取值范围是()A.B.C.D.[﹣1,0] 9.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.810.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0C.若对任意n∈N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列D.若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n>011.已知等差数列{a n}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=()A.100 B.210 C.380 D.40012.已知等差数列{a n}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()A.18 B.27 C.36 D.4513.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0 B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值14.在小于100的正整数中,能被3整除的所有各数之和为()A.1632 B.1683 C.3264 D.3366 15.设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 16.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()A.40 B.42 C.43 D.4517.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=()A.4 B.2 C.﹣2 D.﹣4二、填空题18.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.19.已知{a n}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=.20.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则=.21.在等差数列{a n}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为.22.设数列{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.23.S n为等差数列a n的前n项和,S2=S6,a4=1则a5=.24.在等差数列{a n}中,a5=3,a6=﹣2,则a4+a5+…+a10=.25.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是.26.在数列{a n}中,a n=4n﹣,a1+a2+…+a n=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数,则ab=.27.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S12=21,则a2+a5+a8+a11=.28.设数列{a n}的首项a1=﹣7,且满足a n+1=a n+2(n∈N),则a1+a2+…+a17=.29.设等差数列{a n}的公差d是2,前n项的和为S n,则=.30.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.三、解答题31.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n;(Ⅱ)求使S n>a n成立的n的最小值.32.已知数列{a n}是公差为2的等差数列.(1)a1,a3,a4成等比数列,求a1的值;(2)设a1=﹣19,数列{a n}的前n项和为S n.数列{b n}满足,记c n=S n+2n﹣1•b n(n∈N*),求数列{c n}的最小项(即≤c n对任意n∈N*成立).33.记等差数列{a n}的前n项和为S n,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求S n.34.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(Ⅰ)若S5=5,求S6及a1;(Ⅱ)求d的取值范围.35.已知{a n}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.(Ⅰ)求q的值;(Ⅱ)设{b n}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S n,当n≥2时,比较S n与b n的大小,并说明理由.36.设公差不为零的等差数列{a n},S n是数列{a n}的前n项和,且S32=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.37.已知等差数列{a n}中,a2=9,a5=21.(1)求{a n}的通项公式;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和S n.38.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为S n.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{a n}的通项公式.39.已知数列{a n}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=a n x n(x∈R),求数列{b n}前n项和的公式.40.(1)设a1,a2,…,a n是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.(i)当n=4时,求的数值;(ii)求n的所有可能值.(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1,b2,…,b n,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.参考答案与试题解析一、选择题1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5 B.a n=3n﹣10 C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n 【分析】根据题意,设等差数列{a n}的公差为d,则有,求出首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0,a5=5,得,∴,∴a n=2n﹣5,,故选:A.2.已知a、b、c为实常数,数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是()A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a﹣2b+c=0 【分析】由x100+k,x200+k,x300+k成等差数列,可得:2x200+k=x100+k+x300+k,代入化简即可得出.【解答】解:存在k∈N*,使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列,可得:2[a(200+k)2+b(200+k)+c]=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c,化为:a=0.∴使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列的必要条件是a≥0.故选:A.3.已知数列{a n}满足a n+a n+4=a n+1+a n+3(n∈N*),那么必有()A.{a n}是等差数列B.{a2n﹣1}是等差数列C.{a2n}是等差数列D.{a3n}是等差数列【分析】通过a n+a n+4=a n+1+a n+3(n∈N*)可知a n+4﹣a n+1=a n+3﹣a n,进而可得a n+6﹣a n+3=a n+3﹣a n,从而数列{a3n}是等差数列.【解答】解:∵a n+a n+4=a n+1+a n+3(n∈N*),∴a n+4﹣a n+1=a n+3﹣a n,∴a n+5﹣a n+2=a n+4﹣a n+1,a n+6﹣a n+3=a n+5﹣a n+2,∴a n+6﹣a n+3=a n+3﹣a n,∴数列{a3n}是等差数列,故选:D.4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当S n取最小值时,n等于()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于n的二次函数解得.【解答】解:设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得d=2,所以,所以当n=6时,S n取最小值.故选:A.5.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且,则使得为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】由等差数列的性质和求和公式,将通项之比转化为前n项和之比,验证可得.【解答】解:由等差数列的性质和求和公式可得:======7+,验证知,当n=1,2,3,5,11时为整数.故选:D.6.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12 B.13 C.14 D.15【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合已知条件列出关于a1,d 的方程组,解出a1,d,然后代入通项公式求解即可.【解答】解:设{a n}的公差为d,首项为a1,由题意得,解得,∴a7=1+6×2=13,故选:B.7.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}前8项的和为()A.128 B.80 C.64 D.56【分析】利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,求出a1,d,代入等差数列的前n项和公式即可求解.或利用等差数列的前n项和公式,结合等差数列的性质a2+a7=a1+a8求解.【解答】解:解法1:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由等差数列的通项公式以及已知条件得,解得,故s8=8+=64.解法2:∵a2+a7=a1+a8=16,∴s8=×8=64.故选:C.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=4,S5≥S4≥S6,则公差d的取值范围是()A.B.C.D.[﹣1,0] 【分析】由,能求出公差d的取值范围.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=4,S5≥S4≥S6,∴,∴,∴,解得﹣1≤d≤﹣.∴公差d的取值范围是[﹣1,﹣].故选:A.9.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出{a n}前6项的和.【解答】解:∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,∴,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d≠0,解得d=﹣2,∴{a n}前6项的和为==﹣24.故选:A.10.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0C.若对任意n∈N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列D.若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n>0【分析】由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+(a1+)n,可看作关于n的二次函数,由二次函数的性质逐个选项验证可得.【解答】解:由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+(a1﹣)n,选项A,若d<0,由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项,故正确;选项B,若数列{S n}有最大项,则对应抛物线开口向下,则有d<0,故正确;选项C,若对任意n∈N*,均有S n>0,对应抛物线开口向上,d>0,可得数列{S n}是递增数列,故正确;选项D,若数列{S n}是递增数列,则对应抛物线开口向上,但不一定有任意n∈N*,均有S n>0,例如:是递增数列,但S1<0,故错误.故选:D.11.已知等差数列{a n}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=()A.100 B.210 C.380 D.400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差,写出等差数列前n项和公式,代入n=10得出结果.【解答】解:d=,a1=3,∴S10==210,故选:B.12.已知等差数列{a n}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()A.18 B.27 C.36 D.45【分析】根据等差数列的求和公式可知,要求s9,只需求出a1+a9,而已知a2+a8=8,利用等差数列的性质即可求解.【解答】解:已知等差数列{a n}中,a2+a8=8,∴a1+a9=8,则该数列前9项和S9==36,故选:C.13.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0 B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值【分析】利用结论:n≥2时,a n=s n﹣s n﹣1,易推出a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选项,排除错误答案.【解答】解:由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2++a5+a6,即a6>0,又∵S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,∵d=a7﹣a6<0,故A正确;而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,显然C选项是错误的.∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确;故选:C.14.在小于100的正整数中,能被3整除的所有各数之和为()A.1632 B.1683 C.3264 D.3366【分析】在小于100的正整数中,能被3整除的数是等差数列3,6,9,…,99,由a1=3,d=3,a n=99,得n=33,由此能求出能被3整除的所有各数之和.【解答】解:在小于100的正整数中,能被3整除的数是等差数列3,6,9, (99)a1=3,d=3,a n=99,∴a n=3+(n﹣1)×3=3n=99,解得n=33,∴在小于100的正整数中,能被3整除的所有各数之和:=1683.故选:B.15.设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 【分析】根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0,进而看得到答案.【解答】解:取满足题意的特殊数列a n=0,即可得到a3+a99=0选C.16.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()A.40 B.42 C.43 D.45【分析】先根据a1=2,a2+a3=13求得d和a5,进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案.【解答】解:在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,得d=3,a5=14,∴a4+a5+a6=3a5=42.故选:B.17.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=()A.4 B.2 C.﹣2 D.﹣4【分析】因为a,b,c成等差数列,且其和已知,故可设这三个数为b﹣d,b,b+d,再根据已知条件寻找关于b,d的两个方程,通过解方程组即可获解.【解答】解:由互不相等的实数a,b,c成等差数列,可设a=b﹣d,c=b+d,由题设得,,解方程组得,或,∵d≠0,∴b=2,d=6,∴a=b﹣d=﹣4,故选:D.二、填空题18.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.【分析】由题设知(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9a1d+10d2+1=0,由此导出d2≥8,从而能够得到d的取值范围.【解答】解:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,整理得2a12+9a1d+10d2+1=0,此方程可看作关于a1的一元二次方程,它一定有根,故有Δ=(9d)2﹣4×2×(10d2+1)=d2﹣8≥0,整理得d2≥8,解得d≥2,或d≤﹣2则d的取值范围是.故答案案为:.19.已知{a n}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=15.【分析】根据等差中项的性质可知a3+a8=a5+a6,把a3+a8=22,a6=7代入即可求得a5.【解答】解:∵{a n}为等差数列,∴a3+a8=a5+a6∴a5=a3+a8﹣a6=22﹣7=1520.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则=1.【分析】先用数列的通项公式表示出a6和S3,进而求得a1和d,根据等差数列求和公式求得S n,代入到答案可得.【解答】解:依题意可知,解得a1=2,d=2∴S n=n(n+1)∴=∴==1故答案为121.在等差数列{a n}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为(﹣1,﹣).【分析】根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值,得到S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组,求解得d的取值范围.【解答】解:∵S n=7n+,当且仅当n=8时S n取得最大值,∴,即,解得:,综上:d的取值范围为(﹣1,﹣).22.设数列{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=35.【分析】根据等差数列的通项公式,可设数列{a n}的公差为d1,数列{b n}的公差为d2,根据a1+b1=7,a3+b3=21,可得2(d1+d2)=21﹣7=14.最后可得a5+b5=a3+b3+2(d1+d2)=2+14=35.【解答】解:∵数列{a n},{b n}都是等差数列,∴设数列{a n}的公差为d1,设数列{b n}的公差为d2,∴a3+b3=a1+b1+2(d1+d2)=21,而a1+b1=7,可得2(d1+d2)=21﹣7=14.∴a5+b5=a3+b3+2(d1+d2)=21+14=35故答案为:3523.S n为等差数列a n的前n项和,S2=S6,a4=1则a5=﹣1.【分析】由S2=S6,a4=1,先求出首项和公差,然后再求a5的值.【解答】解:由题设知,∴a1=7,d=﹣2,a5=7+4×(﹣2)=﹣1.故答案为:﹣1.24.在等差数列{a n}中,a5=3,a6=﹣2,则a4+a5+…+a10=﹣49.【分析】先根据a5=3,a6=﹣2,进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10=S10﹣S3求得答案.【解答】解:由题意知,解得a1=23,d=﹣5∴a4+a5+…+a10=S10﹣S3=﹣=﹣49故答案为﹣4925.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是.【分析】由a1,a3,a9成等比数列求得a1与d的关系,再代入即可.【解答】解:∵a1,a3,a9成等比数列,∴(a1+2d)2=a1•(a1+8d),∴a1=d,∴=,故答案是:.26.在数列{a n}中,a n=4n﹣,a1+a2+…+a n=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数,则ab=﹣1.【分析】由题意可知,数列{a n}为等差数列,故根据等差数列的前n项和公式可得s n的表达式,又已知a1+a2+…+a n=an2+bn,利用对应系数相等进行求解.【解答】解:∵a n=4n﹣,∴数列{a n}为等差数列,a1=,d=4,∴,∴,∴ab=﹣1.故答案为﹣1.27.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S12=21,则a2+a5+a8+a11=7.【分析】由s12解得a1+a12,再由等差数列的性质得出结果.【解答】解:由题意得,.故答案是728.设数列{a n}的首项a1=﹣7,且满足a n+1=a n+2(n∈N),则a1+a2+…+a17=153.【分析】根据a n+1=a n+2得到a n+1﹣a n=2,根据等差数列的定义可知此数列为等差数列,根据首项与公差,利用等差数列的前n项和的公式即可求出值.【解答】解:根据a n+1=a n+2得到此数列为首项a1=﹣7,公差d=a n+1﹣a n=2的等差数列,则S17=a1+a2+…+a17=17×(﹣7)+×2=153故答案为:15329.设等差数列{a n}的公差d是2,前n项的和为S n,则=3.【分析】由首项a1和公差d等于2,利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出a n和S n,然后把表示的式子代入到极限中,求出极限的值即可.【解答】解:由公差d=2,得到a n=a1+2(n﹣1)=2n+a1﹣2,S n=na1+×2=n2+n(a1﹣1)则===3故答案为3.30.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为4.【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式,再利用消元思想确定d或a1的范围,a4用d或a1表示,再用不等式的性质求得其范围.【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4≥10,S5≤15,∴,即∴∴,5+3d≤6+2d,d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4,故答案为:4.三、解答题31.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n;(Ⅱ)求使S n>a n成立的n的最小值.【分析】(Ⅰ)直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式;(Ⅱ)直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果.【解答】解:(Ⅰ)数列S n是公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.根据等差数列的性质,a3=S5=5a3,故a3=0,根据a2a4=S4可得(a3﹣d)(a3+d)=(a3﹣2d)+(a3﹣d)+a3+(a3+d),整理得﹣d2=﹣2d,可得d=2(d=0不合题意),故a n=a3+(n﹣3)d=2n﹣6.(Ⅱ)a n=2n﹣6,a1=﹣4,S n=﹣4n+×2=n2﹣5n,S n>a n,即n2﹣5n>2n﹣6,整理可得n2﹣7n+6>0,当n>6或n<1时,S n>a n成立,由于n为正整数,故n的最小正值为7.32.已知数列{a n}是公差为2的等差数列.(1)a1,a3,a4成等比数列,求a1的值;(2)设a1=﹣19,数列{a n}的前n项和为S n.数列{b n}满足,记c n=S n+2n﹣1•b n(n∈N*),求数列{c n}的最小项(即≤c n对任意n∈N*成立).【分析】(1)利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值.(2)由已知利用累加法能求出b n=2﹣()n﹣1.从而能求出c n﹣c n﹣1=2n﹣19+2n,由此能求出数列{c n}的最小项.【解答】解:(1)∵数列{a n}是公差为2的等差数列.a1,a3,a4成等比数列,∴.解得d=2,a1=﹣8(2)b n=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(b n﹣b n﹣1)=1+==2﹣()n﹣1.,,=2n﹣19+2n由题意n≥5,上式大于零,即c5<c6<…<c n,进一步,2n+2n是关于n的增函数,∵2×4+24=24>19,2×3+23=14<19,∴c1>c2>c3>c4<c5<…<c9<c10<…<c n,∴.33.记等差数列{a n}的前n项和为S n,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求S n.【分析】由2a1,a2,a3+1成等比数列,可得a22=2a1(a3+1),结合s3=12,可列出关于a1,d的方程组,求出a1,d,进而求出前n项和s n.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,由题意得,解得或,∴s n=n(3n﹣1)或s n=2n(5﹣n).34.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(Ⅰ)若S5=5,求S6及a1;(Ⅱ)求d的取值范围.【分析】(I)根据附加条件,先求得s6再求得a6分别用a1和d表示,再解关于a1和d的方程组.(II)所求问题是d的范围,所以用“a1,d”法.【解答】解:(Ⅰ)由题意知S6==﹣3,a6=S6﹣S5=﹣8所以解得a1=7所以S6=﹣3,a1=7;(Ⅱ)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,整理得,即,因为,所以,解得d≤﹣2或d≥2故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2.35.已知{a n}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.(Ⅰ)求q的值;(Ⅱ)设{b n}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S n,当n≥2时,比较S n与b n的大小,并说明理由.【分析】(1)由题意可知2a3=a1+a2,根据等比数列通项公式代入a1和q,进而可求得q.(II)讨论当q=1和q=﹣,时分别求得S n和b n,进而根据S n﹣b n与0的关系判断S n与b n的大小,【解答】解:(1)由题意可知,2a3=a1+a2,即a1(2q2﹣q﹣1)=0,∴q=1或q =﹣;(II)q=1时,S n=2n+=,∵n≥2,∴S n﹣b n=S n﹣1=>0当n≥2时,S n>b n.若q=﹣,则S n=,同理S n﹣b n=.∴2≤n≤9时,S n>b n,n=10时,S n=b n,n≥11时,S n<b n.36.设公差不为零的等差数列{a n},S n是数列{a n}的前n项和,且S32=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.【分析】设出等差数列的首项和公差,利用等差数列的前n项和的公式由S32=9S2,S4=4S2列出关于首项和公差的方程,解出首项和公差即可得到等差数列的通项公式.【解答】解:设数列{a n}的公差为d(d≠0),首项为a1,由已知得:.解之得:或(舍)∴.37.已知等差数列{a n}中,a2=9,a5=21.(1)求{a n}的通项公式;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和S n.【分析】(1)设出数列的公差,分别根据等差数列的通项公式表示出a2和a5联立方程求得和a1和d,则数列的通项公式可得.(2)把(1)中求得的a n代入b n=2an中求得b n,判断出数列{b n}为等比数列,进而利用等比数列的求和公式求得前n项的和.【解答】解:(1)设数列{a n}的公差为d,由题意得解得a1=5,d=4,∴{a n}的通项公式为a n=4n+1.(2)由a n=4n+1得b n=24n+1,∴{b n}是首项为b1=25,公比q=24的等比数列.∴S n=.38.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为S n.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{a n}的通项公式.【分析】(Ⅰ)本题是关于等差数列的基本量的运算,设出题目中的首项和公差,根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组,解出首项和公差的值,写出数列的通项.(Ⅱ)根据三个不等关系,写出关于首项和公差的不等式组,解不等式组,得到一个范围,根据{a n}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果,写出通项公式.【解答】解:(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,∴解得d=﹣2,a1=20.∴{a n}的通项公式是a n=22﹣2n,(Ⅱ)由得即由①+②得﹣7d<11.即d>﹣.由①+③得13d≤﹣1即d≤﹣于是﹣<d≤﹣又d∈Z,故d=﹣1 ④将④代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.∴所有可能的数列{a n}的通项公式是a n=12﹣n和a n=13﹣n,39.已知数列{a n}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=a n x n(x∈R),求数列{b n}前n项和的公式.【分析】(1)本题是一个数列的基本量的运算,根据题目所给的首项和前连续三项的值,写出关于公差的方程,解方程可得结果.(2)构造一个新数列,观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的,这种结构要用错位相减法求的结果,解题时注意等比数列的公比与1的关系,进行讨论.【解答】解:(1)设数列{a n}的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12.又a1=2,得d=2.∴a n=2n.(2)当x=0时,b n=0,S n=0,当x≠0时,令S n=b1+b2+…+b n,则由b n=a n x n=2nx n,得S n=2x+4x2++(2n﹣2)x n﹣1+2nx n,①xS n=2x2+4x3++(2n﹣2)x n+2nx n+1.②当x≠1时,①式减去②式,得(1﹣x)S n=2(x+x2++x n)﹣2nx n+1=﹣2nx n+1.∴S n=﹣.当x=1时,S n=2+4++2n=n(n+1).综上可得,当x=1时,S n=n(n+1);当x≠1时,S n=﹣.40.(1)设a1,a2,…,a n是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.(i)当n=4时,求的数值;(ii)求n的所有可能值.(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1,b2,…,b n,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.【分析】(1)根据题意,对n=4,n=5时数列中各项的情况逐一讨论,利用反证法结合等差数列的性质进行论证,进而推广到n≥4的所有情况.(2)利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可.【解答】解:(1)①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.若删去a2,则a32=a1•a4,即(a1+2d)2=a1•(a1+3d)化简得a1+4d=0,得若删去a3,则a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1•(a1+3d)化简得a1﹣d=0,得综上,得或.②当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5,否则出现连续三项.若删去a3,则a1•a5=a2•a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)•(a1+3d)化简得3d2=0,因为d≠0,所以a3不能删去;当n≥6时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列a1,a2,a3,…,a n﹣2,a n﹣1,a n中,由于不能删去首项或末项,若删去a2,则必有a1•a n=a3•a n﹣2,这与d≠0矛盾;同样若删去a n﹣1也有a1•a n=a3•a n﹣2,这与d≠0矛盾;若删去a3,…,a n﹣2中任意一个,则必有a1•a n=a2•a n﹣1,这与d≠0矛盾.(或者说:当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)综上所述,n=4.(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,b n,其中b x+1,b y+1,b z+1(0≤x<y<z≤n﹣1)为任意三项成等比数列,则b2y+1=b x+1•b z+1,即(b1+yd)2=(b1+xd)•(b1+zd),化简得(y2﹣xz)d2=(x+z﹣2y)b1d(*)由b1d≠0知,y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时,有x=y=z与题设矛盾.故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0,所以由(*)得因为0≤x<y<z≤n﹣1,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数.于是,对于任意的正整数n(n≥4),只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列.例如n项数列1,,,…,满足要求.。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-,则13525a a a a ++++=( )A .350B .351C .674D .6752.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .1394.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .45.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .216.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .147.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .809.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .4911.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( )A .29B .38C .40D .5813.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .2414.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n15.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25 B .11 C .10 D .9 16.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1617.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202119.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5220.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .14二、多选题21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >22.题目文件丢失!23.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=024.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T25.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项26.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ⋅<B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅27.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d < C .80a = D .n S 的最大值是8S 或者9S28.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+29.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A 【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时,21112112a S ==+⨯-=;当2n ≥时,()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式,2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此,()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=;故选:A. 【点睛】易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 4.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 5.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S .【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 6.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 7.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 8.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.A 【分析】根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A. 13.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 14.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 15.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 16.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 19.D 【分析】根据等差数列的性质计算求解. 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==,74a =,∴11313713()13134522a a S a +===⨯=. 故选:D . 20.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可.二、多选题21.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确,故选:ABC【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.22.无23.ABD【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确;故选:ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 24.AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a qn N -=∈. 25.ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型.26.ABC【分析】由已知求得公差d 的范围:01d <<,把各选项中的项全部用d 表示,并根据01d <<判断各选项.【详解】由题知,只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩, ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<,A 正确;()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥,B 正确; 21511111122221a a d d d+=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<,所以1524a a a a ⋅<⋅,D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定d 的范围,由通项公式写出各项(用d表示)后,可判断.27.BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案.【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==,因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大,故选:BD .【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.28.AC【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-. 故选:AC.【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力.29.ABCD【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确.【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0,又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0.S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0. 对于:7≤n ≤12时,n nS a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n nS a <0,但是随着n 的增大而增大. ∴n =7时,n nS a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确.故选:ABCD .【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.30.AD【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<,由于11162a a a +=,11267a a a a +=+,所以60a >,760a a <-<,所以0d <,{}n S 中6S 最大,由于11267490a a a a a a +=+=+<,所以49a a <-,即:49a a <.故AD 正确,BC 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。
高三数学等差数列试题答案及解析1.已知等差数列的前n项和为,且.数列的前n项和为,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)an =4n;;(2)P2n+1.【解析】(1)运用等差数列的通项公式与求和公式,根据条件列方程,求出首项和公差,得到通项an ,运用n=1时,b1=T1,n>1时,bn=Tn-Tn-1,求出bn;(2)写出cn,然后运用分组求和,一组为等差数列,一组为等比数列,分别应用求和公式化简即可.试题解析:(1)由题意,,得. 2分,,,两式相减,得数列为等比数列,. 4分(2).6分8分10分【考点】1.等差数列和等比数列;2.数列的求和方法.2.已知等差数列{an }的前n项和为Sn,Sn=kn(n+1)-n(k∈R),公差d为2.(1)求an与k;(2)若数列{bn }满足,(n≥2),求bn.【答案】(1)an =2n-1;(2)bn=【解析】(1)先直接写出a1,a2,由d=2求出k,再利用数列中an与Sn之间的关系求出an;(2)用迭代法(或叠加法)求出bn 满足的关系式,再利用等比数列求和公式求出bn.试题解析:(Ⅰ)由题设得a1=S1=2k-1,a 2=S2-S1=4k-1,由a2-a1=2得k=1,则a1=1,an=a1+(n-1)d=2n-1. 4分(Ⅱ)bn =bn-1+n·=b n-2+(n-1)·+n·=b1+2×+3×++(n-1)·+n·由(Ⅰ)知=22n-1,又因为b1=2,所以bn=21+23+25++22n-3+22n-1==.明显,n=1时,也成立.综上所述,bn=. 12分考点:等差数列与等比数列的通项公式与前n项和3.已知等差数列{an}的公差不为零,a1+a2+a5>13,且a1,a2,a5 成等比数列,则a1 的取值范围为.【答案】【解析】设等差数列{an}的公差为,则由a1,a2,a5成等比数列得:,由a1+a2+a5>13,得【考点】等差数列4.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列满足.(1)若,求的取值范围;(2)若是公比为等比数列,,求的取值范围;(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.【答案】(1);(2);(3)的最大值为1999,此时公差为.【解析】(1)比较容易,只要根据已知列出不等式组,即可解得;(2)首先由已知得不等式,即,可解得。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .53.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列4.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1625.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .76.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .1517.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-8.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .459.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .2110.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60 B .120 C .160 D .240 12.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1813.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .614.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1615.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<16.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7217.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1018.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6419.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 20.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( )A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列22.题目文件丢失!23.题目文件丢失!24.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=025.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+26.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T27.已知数列{}2nna n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列28.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减 D .数列{}n S 有最大值29.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D .数列{}n a 为递减数列30.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( )A .a 6>0B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 3.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 4.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 6.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 7.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 8.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 9.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 10.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 13.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 14.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 15.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 16.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.18.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A 19.C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案.【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 20.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D.二、多选题21.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.22.无 23.无24.ABD 【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确;故选:ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 25.BD【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可.【详解】解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,选项A :不符合题设;选项B :01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;选项C :,12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.故选:BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题.26.AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a qn N -=∈. 27.ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解【详解】 因为1112a =+,1(1)2nn a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD28.ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确.故选:ABD.29.ABD【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121n n n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确. 对选项B ,由A 知:112121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确. 对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题.30.ABCD【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确.【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0,又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0. S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0. 对于:7≤n ≤12时,n nS a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n nS a <0,但是随着n 的增大而增大.∴n =7时,n nS a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确.故选:ABCD .【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。
一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S2.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .454.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .05.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( )A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或207.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .649.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++11.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=B .560a a +=C .670a a +=D .890a a +=12.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n13.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .814.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9 B .5 C .1 D .5915.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <17.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2118.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n nx x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 20.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .9二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列22.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列23.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 24.已知数列{}2nna n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列25.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .a 8=34 B .S 8=54C .S 2020=a 2022-1D .a 1+a 3+a 5+…+a 2021=a 202226.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥27.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)211n a =-,则关于数列{}n a 说法正确的是( )A .28a =B .数列{}n a 为递增数列C .数列{}n a 为周期数列D .22n a n n =+28.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列29.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 2.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.B由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 4.A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 5.C根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 6.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.B利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确;B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11.B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 12.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 13.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 14.B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠, ∴995S a =. 故选:B 15.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 16.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 17.B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥,且11a =,∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,通项公式为()12121n a n n =+-=-,10210119a ∴=⨯-=,故选:B. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列, 则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案.【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 20.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C二、多选题21.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 22.BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23.ABD 【分析】根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,累加可知D 正确. 【详解】依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,故C 不正确;2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-20192020a a =,所以22212201920202019a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题. 24.ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+,1(1)2n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD 25.BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,81+1+2+3+5+8+13+2154S ==,故B 正确; 对于C ,可得()112n n n a a a n +-=-≥, 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-,∴202020221S a =-,故C 正确; 对于D ,由()112n n n a a a n +-=-≥可得,()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,能根据数列性质利用累加法求解. 26.AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =, 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=,又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB 【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.27.ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=,公差为1的等差数列,结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=,1=,即数列2=,公差为1的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,∴22n a n n =+,得28a =,由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列,所以易知ABD 正确, 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式,通过通项公式研究数列的函数性质,属于中档题. 28.ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时,{}n a 是等差数列, 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题. 29.ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题. 30.ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===,()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,∴前9项的和最小,故A 正确;()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<,故B 正确; ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故D 正确; 190a >, 181919S S a ∴=-, 1819S S ∴<,故C 不正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( )A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .213.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13 B .14 C .15 D .16 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .145.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .456.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .57.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .148.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .499.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .1610.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .411.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2212.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸13.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1914.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2415.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4216.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1617.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .518.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7219.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1020.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或20二、多选题21.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =22.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>023.题目文件丢失!24.已知数列{}n a 满足0n a >,121n n n a na a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .11a =B .121a a =C .201920202019S a =D .201920202019S a >25.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 26.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=27.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .67n S S S 与均为的最大值29.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 2.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 3.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 5.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S .由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 6.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 7.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 8.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 9.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A 11.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列, 则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21.故选:C 12.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 13.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 14.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 15.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.16.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 17.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d d S n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 18.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果.【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =,所以()1999983622a a S +⨯===.故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 19.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 20.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上,∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.二、多选题21.BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22.AC 【分析】由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()5()02a a S a a +==+>,11111611()1102a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC23.无24.BC 【分析】根据递推公式,得到11n n nn n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到1n n nS a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n n a n n n a a a a ++--==+,即11n n nn n a a a +-=-, 当1n =时,则121a a =,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解;(2)累乘法,形如()1n na f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.25.AC 【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 26.AC 【分析】由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=,各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++, 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27.AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,进而得13,2a d =-=,故25n a n =-,24n S n n =-.解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得:1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,解方程组得:13,2a d =-=,所以()31225n a n n =-+-⨯=-,24n S n n =-.故选:AD. 28.ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>,677670S S S S a =⇒-==,788780S S S S a >⇒-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 29.AD 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列, 因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误,【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题 30.BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .222.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .53.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .804.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列6.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-,则13525a a a a ++++=( )A .350B .351C .674D .6757.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个 8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .249.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤10.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .711.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( )A .70S >,且80S <B .70S <,且80S >C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <13.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202114.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1015.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7216.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2217.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403818.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项B .133项C .134项D .135项19.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1B .2C .3D .420.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .103二、多选题21.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a =C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =22.题目文件丢失!23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为1224.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =C .135********a a a a a ++++= D .2222123202020202021a a a a a a ++++=25.已知数列0,2,0,2,0,2,,则前六项适合的通项公式为( )A .1(1)nn a =+-B .2cos2n n a π= C .(1)2sin2n n a π+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--26.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值29.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列30.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S -【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1n n a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 2.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=,解得343a a +=. 故选:B. 3.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 4.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩,所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=,故选:B. 5.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 6.A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时,21112112a S ==+⨯-=;当2n ≥时,()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式,2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此,()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=;故选:A. 【点睛】易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B .【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.8.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 9.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 10.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<13.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 14.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 15.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=16.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 17.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 18.D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:213515n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 19.B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-,求得14n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得221114n na a +-=, 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列,所以2114(1)43nn n a =+-=-,因为0n a >,所以n a =,所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==,所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=, 故选:B 【点睛】关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=,从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列,进而可求n a =,14n b ==,然后利用裂项相消法可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题 20.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =. 又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, (2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =.二、多选题21.ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果.22.无23.ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d dS n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d dS na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误;对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 24.BCD 【分析】根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故C 正确;对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故D 正确.故选:BCD 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 25.AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】对于选项A ,1(1)nn a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项B ,2cos 2n n a π=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin2n n a π+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC 26.ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 27.AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =, 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=,又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB 【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.28.BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 29.BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 30.BD 【分析】 由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =,因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确;13518351835()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确.故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题.。
2024届高考数学数列进阶训练(2)等差数列1.已知{}n a 为等差数列,3928a a +=,则6a =()A.14B.16C.18D.202.《海岛算经》有如下问题:某地有一佛塔共13层,每层塔的高度依次构成等差数列,下面7层每层塔的高度之和为25.9米,第5层塔的高度为3.6米,则最上层的塔高为()A.3 B.2.9 C.2.8 D.2.73.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5 B.4 C.3 D.24.在等差数列{}n a 中,已知12342,24a a a a =++=,则456a a a ++等于()A.38B.39C.41D.425.已知数列{}n a 是单调递减的等差数列,2a 、4a 分别是方程2650x x -+=的两根,则5a =()A.7B.3C.1D.-16.已知在等差数列{}n a 中,2a 与6a 的等差中项为5,3a 与7a 的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式为()A.2n a n= B.21n a n =- C.21n a n =+ D.23n a n =-7.已知数列{}n a 满足11a =,且()11n n n a a a +=+,*n ∈N ,则122320202021a a a a a a +++= ()A.2021B.20202021C.202112D.202128.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足93622S S S +-=,则2823a a 的最小值为()A.36B.24C.16D.89.有两个等差数列{}n a ,{}n b ,其前n 项和分别为n S 和n T .若321nnSnT n =+,则121419271314a a a ab b b b +++=+++()A.2719B.107C.5135D.12710.已知数列{}n a 为等差数列,首项10a >,若100410051a a <-,则使得0n S >的n 的最大值为()A.2007B.2008C.2009D.201011.(多选)已知等差数列{}n a 的首项为1,公差为()d d *∈N ,若81是该数列中的一项,则公差d 可能的值是()A.2B.3C.4D.512.(多选)已知等比数列{}n a 的公比23q =-,等差数列{}n b 的首项112b =,若99a b >且1010a b >,则以下结论正确的有()A.9100a a ⋅< B.910a a > C.100b > D.910b b >13.(多选)若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a >,1020S S =,则下列结论中正确的是()A.0d < B.160a <C.15n S S ≤ D.当且仅当32n ≥时,0n S <14.在数列{}n a 中,已知32a =,71a =,若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列,则11a =____________.15.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+,则公差d =_______.16.直角三角形的三条边长成公差为1的等差数列,则最短边长为____________.17.已知数列{}n a 满足11a =,且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,则数列{}n a 的通项公式n a =__________.18.已知在数列{}n a 中,135a =,112n n a a -=-(2n ≥,*n ∈N ),数列{}n b 满足11n n b a =-()*n ∈N .(1)求证:数列{}n b 是等差数列;(2)求数列{}n a 中的最大项和最小项,并说明理由.答案以及解析1.答案:A解析:因为3928a a +=,所以396142a a a +==,故选:A.2.答案:C解析:设该塔每层的高度自下而上依次构成的等差数列为{}n a ,公差为d ,则()17747725.92a a S a +===,4 3.7a ∴=,54 3.6 3.70.1d a a ∴=-=-=-,1349 2.8a a d ∴=+=,故选C.3.答案:C解析:由已知,515S S d -==奇偶,故3d =.4.答案:D解析:设等差数列{}n a 的公差为 d ,由12342,24a a a a =++=,得32624d ⨯+=,得45613,31242d a a a a d =∴++=+=.故选D.5.答案:D解析:求得方程265x x -+的两根分别为15x =,21x =,因为数列{}n a 为递减等差数列,所以25a =,41a =,易得公差为-2,则54(2)1a a =+-=-.故选D.6.答案:D解析:由题意,得264102a a a +==,则45a =,375142a a a +==,则57a =,故公差542d a a =-=,所以4(4)23n a a n d n =+-=-.7.答案:B解析:由11a =及1(1)n n n a a a +=+可知0n a ≠,所以11111n n n na aa a ++==+,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以1nn a =,即1n a n=,所以122320202021a a a a a a +++= 11111122320202021⨯+⨯++⨯= 1111112020112232020202120212021-+-++-=-= ,故选B.8.答案:C解析:由题意得()()936966322S S S S S S S +-=---=,则96633,,S S S S S --是以2为公差,3S 为首项的等差数列,设3(0)S x x =>,则63962,4S S x S S x -=+-=+,则()()()22222878996822123333(4)1688163a a a a S S a x x a a a a a S x x ++-+=====++≥+=++,当且仅当16x x =,即4x =时等号成立,所以2823a a 的最小值为16,故选C.9.答案:C解析:设等差数列{}n a ,{}n b 的公差分别为1d ,2d ,所以121419111111127131412121212131861213a a a a a a d a d a d b b b b b d b d b d b d +++++++++==++++++++++()()117991711129911717173483175183417217135a a a a S a db d b b b b T ++⨯======++⨯+.故选C.10.答案:B解析:数列{}n a 为等差数列,若100410051aa<-,则1004a 与1005a 异号.又首项10a >,则公差0d <,所以10040a >,10050a <,则10041005a a >-,即100410050a a +>.由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得()()120082008100410052008100402a a S a a +==+>,()120091005200910052009200922009022a a a S a +⨯===<,所以使得0n S >的n 的最大值为2008.故选B.11.答案:ACD解析:811(1)n d =+- ,(1)80n d ∴-=,801d n ∴=-, n 和d 都为正整数,41n ∴=时,2d =,故选项A 正确;当3d =时,833n =,不成立,故选项B 错误;21n =时,4d =,故选项C 正确;17n =时,5d =,故选项D 正确.故选:ACD.12.答案:AD解析:对A , 等比数列{}n a 的公比23q =-,9a ∴和10a 异号,9100a a ∴<,故A 正确;对B ,因为不确定9a 和10a 的正负,所以不能确定9a 和10a 的大小关系,故B 不正确;对CD ,9a 和10a 异号,且99a b >且1010a b >,9b ∴和10b 中至少有一个数是负数,又1120b => ,0d ∴<,910b b ∴>,故D 正确,10b ∴一定是负数,即100b <,故C 不正确.故选:AD.13.答案:ABC解析:因为在等差数列{}n a 中1020S S =,所以()11121920151650a a a a a a ++++=+= .又10a >,所以150a >,160a <,所以0d <,15n S S ≤,故A ,B ,C 正确;因为()1313116313102a a S a +==<,故D 错误.故选ABC.14.答案:12解析:由已知得31113a =+,71112a =+是等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第3项和第7项,其公差111237324d -==-,由此可得11711112(117)4112243d a a =+-=+⨯=++,解得1112a =.15.答案:2解析:因为32236S S =+,所以()()12312236a a a a a ++=++,化简得36d =,得2d =.16.答案:3解析:设最短边长为a ,则222(1)(2)a a a ++=+,解得3a =(舍去负值).17.答案:23nn +解析:()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,()113312n n n n a a n --∴=+≥,即()113312n n n n a a n ---=≥.又11a =,1133a ⋅=,∴数列{}3n n a 是以3为首项,1为公差的等差数列,()33112n n a n n ∴=+-⨯=+,∴数列{}n a 的通项公式23n nn a +=.18.(1)答案:证明见解析解析:因为112n n a a -=-,11n n b a =-,所以当2n ≥时,111111n n n n b b a a ---=---11111121n n a a --=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭1111111n n n a a a ---=-=--.又111512b a ==--,所以数列{}n b 是以52-为首项、1为公差的等差数列.(2)答案:当3n =时,n a 取得最小值-1;当4n =时,n a 取得最大值3解析:由(1)知,72n b n =-,则121127n n a b n =+=+-.设函数2()127f x x =+-,易知()f x 在区间7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数.当3n =时,n a 取得最小值-1;当4n =时,n a 取得最大值3.。
一、等差数列选择题1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .302.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .43.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 4.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=25.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为( ) A .89B .910C .1011D .11127.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或208.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .859.题目文件丢失!10.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7B .10C .13D .1611.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24012.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n13.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .8 14.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5915.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( ) A .24B .23C .17D .1616.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <17.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+D .1111p q m nS S S S +>+ 18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1019.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2220.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .151二、多选题21.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a = C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =22.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列23.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列24.题目文件丢失!25.已知数列{}n a 满足0n a >,121n n n a na a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .11a =B .121a a =C .201920202019S a =D .201920202019S a >26.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 27.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且23n n n S a +=,则1n n a a -的值不可能为( ) A .2B .5C .3D .428.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >D .110S >29.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <.30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选:B 2.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选:C 7.B 【分析】由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上,∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 8.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .9.无10.C 【分析】由题建立关系求出公差,即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,141,16a S ==,41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=, 71613a a d ∴=+=.故选:C 11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==,解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 13.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 14.B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠, ∴995S a =.故选:B 15.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 16.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 17.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 19.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列, 则171,25a a ==,则712514716a a d --===-,则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 20.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B二、多选题21.ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果. 22.ABC 【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,即221n a n n =+-,故C 正确;所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确; 数列{}n a 不具有周期性,故D 错误;故选:ABC23.BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错;选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对;故选:BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.24.无25.BC【分析】 根据递推公式,得到11n n n n n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到1n n n S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则121a a =,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误.故选:BC.【点睛】方法点睛:由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如()1n na f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 26.ABD【分析】根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,累加可知D 正确.【详解】依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确;7565813a a a =+=+=,所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确; 由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,故C 不正确;2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-, 所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-20192020a a =, 所以22212201920202019a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题.27.BD【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】解:∵23n n n S a +=, ∴2n ≥时,112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-, 化为:112111n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减, 可得:2n =时,21n -取得最大值2. ∴1n n a a -的最大值为3. 故选:BD .【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 28.ABD【分析】转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确;所以6S 最大,故B 正确;所以()113137131302a a S a +⨯==<,故C 错误; 所以()111116111102a a S a +⨯==>,故D 正确. 故选:ABD.29.ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案.【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <,所以50a >,60a <,故A 正确;对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >,所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >,所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确,故选:ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.30.BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D .【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对; 由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错;故选:BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.。
可编辑修改精选全文完整版等差数列练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( )A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( ) A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120C .135D .160.4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13S A .390 B .195 C .180 D .1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( )A. 0B. 90C. 180D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为( )A. 13B. 12C. 11D. 109、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为()A .1B .2C .4D .810.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A .B .5C .7D .9二.填空题1、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = .2、等差数列{}n a 中,若232n S n n =+,则公差d = .3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数,且a 4,126473-=+-=⋅a a a ,则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为252,偶数项的和为15,则这个数列的第6项是6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若337++=n n T S n n ,则88a b = .7.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________.三.解答题1、 在等差数列{}n a 中,40.8a =,11 2.2a =,求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,12S >0,13S <0, ①求公差d 的取值范围; ②1212,,,S S S 中哪一个值最大?并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列,122,3a a ==,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?4、设等差数列}{n a 的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:(1)}{n a 的通项公式a n 及前n项的和S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a >0,2n n a a +n a 2=错误!未找到引用源。
高三数学等差数列试题答案及解析1. 在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________. 【答案】【解析】由题意得:,所以,即【考点】等差数列性质2. 已知数列是等差数列,且,那么数列的前11项和等于( )A .22B .24C .44D .48【答案】A【解析】由等差数列的性质可知,则.故A 正确.【考点】1等差数列的性质;2等差数列的前项和公式.3. 设等差数列{a n }的首项a 1为a ,公差d =2,前n 项和为S n . (1) 若当n=10时,S n 取到最小值,求的取值范围; (2) 证明:n ∈N*, S n ,S n +1,S n +2不构成等比数列. 【答案】见解析【解析】(1)解:由题意可知,所以(2)证明:采用反证法.不失一般性,不妨设对某个m ∈N*,S m ,S m +1,S m +2构成等比数列,即.因此 a 2+2ma +2m(m +1)=0, 要使数列{a n }的首项a 存在,上式中的Δ≥0.然而 Δ=(2m)2-8m(m +1)=-4m (2+m)<0,矛盾.所以,对任意正整数n ,S n ,S n +1,S n +2都不构成等比数列.4. 设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7=( ) A .14 B .21 C .28 D .35【答案】C【解析】由a 3+a 4+a 5=12得a 4=4, 所以a 1+a 2+a 3+…+a 7==7a 4=28.5. 已知函数, 数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令,若对一切成立,求最小正整数m .【答案】(1);(2).【解析】(1)由可知数列为等差数列,易求得通项公式;(2)由第(1)的结果所以可用拆项法求和进而求得的最小值.解:(1)是以为公差,首项的等差数列(2)当时,当时,上式同样成立即对一切成立,又随递增,且,【考点】1、等差数列通项公式;2、拆项法求特列数列的前项和;3、含参数的不等式恒成立问题.6.设是等差数列的前项和,,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知得:,.故选D.【考点】1.等差数列的和;2.等差数列的性质.7.已知是递增的等差数列,,为其前项和,若成等比数列,则 .【答案】70【解析】因为数列为等差数列,所以且,因为成等比数列,所以,因为数列是递增的,所以,即,则,再根据等差数列前n项和的公式可得.故填70.【考点】等差数列等比中项前n项和8.等差数列的前项和为,若,则【答案】6【解析】因为为等差数列,所以根据等差数列的性质(下脚标之和相等对应项之和相等)可得,再根据等差数列的前n项和公式可得,故填6.【考点】等差数列前n项和9.在数列中,其前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)设(为正整数),求数列的前项和.【答案】(1) .(2).【解析】(1)根据,计算验证当时,,明确数列是为首项、公差为的等差数列即得所求. (2)由(1)知:利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析:(1)由题设得:,所以所以 2分当时,,数列是为首项、公差为的等差数列故. 5分(2)由(1)知: 6分9分设则两式相减得:整理得: 11分所以 12分【考点】等差数列的通项公式,“裂项相消法”,“错位相减法”.10.已知等差数列{an }中,a2+a4=10,a5=9,数列{bn}中,b1=a1,bn+1=bn+an.(1)求数列{an }的通项公式,写出它的前n项和Sn.(2)求数列{bn}的通项公式.(3)若cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1) an =2n-1,Sn= n2 (2) bn=n2-2n+2 (3) Tn= =【解析】(1)设{an }的公差为d,由题意得a1=1,d=2,所以an =2n-1,Sn=na1+d=n2.(2)b1=a1=1,bn+1=bn+an=bn+2n-1,所以b2=b1+1,b3=b2+3=b1+1+3,b n =b1+1+3+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2(n≥2).又n=1时n2-2n+2=1=b1,所以数列{bn }的通项公式为bn=n2-2n+2.(3)cn===-,Tn =c1+c2+…+cn=(-)+(-)+…+(-)=1-=.11.已知数列为等差数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)求证:.【答案】(1) ;(2)参考解析【解析】(1)因为数列为等差数列,且,通过这些条件列出相应的方程即可求出等差数列的首项和公差,从而求出数列的通项公式,即可求出数列的通项公式,本小题的关键是对一个较复杂的数列的理解,对数式的运算也是易错点. (2)因为由(1)的到数列的通项公式,根据题意需要求数列前n项和公式,所以通过计算可求出通项公式,再利用等比数列的求和公式,即可得到结论.试题解析:(1)设等差数列的公差为d,由得所以d=1;所以即.(2)证明:所以 .【考点】1.对数的运算.2.等差数列的性质.3.等比数列的性质.4.构造转化的思想.12.已知函数y=an x2(an≠0,n∈N*)的图像在x=1处的切线斜率为2an-1+1(n≥2,n∈N*),且当n=1时其图像过点(2,8),则a7的值为()A.B.7 C.5D.6【答案】C【解析】由题知y′=2an x,∴2an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),∴a n-a n-1=.又n=1时其图像过点(2,8),∴a1×22=8,得a1=2,∴{an}是首项为2,公差为的等差数列, an=+,得a7=5.13.若Sn 是等差数列{an}的前n项和,且S8-S4=12,则S12的值为()A.64B.44C.36D.22【答案】C【解析】由S8-S4=12得a5+a8=a6+a7=a1+a12=6,则S12=×(a1+a12)=3614.已知数列{an }是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的前5项和S5=()A.20B.30C.25D.40【答案】C【解析】由数列{an }是公差为2的等差数列,得an=a1+(n-1)·2,又因为a1,a2,a5成等比数列,所以a1·a5=,即a1·(a1+8)=(a1+2)2,解得a1=1,所以S5=5a1+·d=5×1+20=2515.已知公差不为零的等差数列{an }的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列.(1)求通项公式an;(2)设bn =2an,求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】(1)an=3n-5(n∈N*).(2)【解析】(1)由题意知,解得所以an=3n-5(n∈N*).(2)∵bn =2an=23n-5=·8n-1,∴数列{bn}是首项为,公比为8的等比数列,所以Sn=16.已知{}为等差数列,若,,则________.【答案】20【解析】由题意可知,,则等差数列{}的公差,又因为.【考点】等差中项的应用.17.已知等差数列{an }的前n项和为Sn,满足a13=S13=13,则a1=().A.-14B.-13C.-12D.-11【答案】D【解析】在等差数列中,,所以a1+a13=2,即a1=2-a13=2-13=-11.18.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2、a4、a6成公差为1的等差数列,则q的取值范围是________.【答案】【解析】∵a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,又a1=1,∴a3=q,a5=q2,a7=q3.又a2,a4,a 6成公差为1的等差数列,∴a4=a2+1,a6=a2+2.由1=a1≤a2≤a3≤…≤a7,即有解得19.设各项均为正数的数列的前项和为,满足且恰好是等比数列的前三项.(Ⅰ)求数列、的通项公式;(Ⅱ)记数列的前项和为,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据数列的通项与数列前项和的关系,由,得;两式相减得数列的递推公式,从而得出数列通项公式.由此可求以确定等比数列的首项和公比,进而得到数列的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果求,把变形为,,所以不小于的最大值.只需探究数列的单调性求其最大值即可.试题解析:(Ⅰ)当时,,, 2分当时,是公差的等差数列.构成等比数列,,,解得, 3分由条件可知, 4分是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为. 5分,数列的通项公式为 6分(Ⅱ) ,对恒成立对恒成立, 9分令,,当时,,当时,,. 12分【考点】1、等差数列;等比数列的通项公式和前项和.2、参变量范围的求法.20.设Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知S5=5,S9=27,则S7= .【答案】【解析】研究特殊数列:等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n项和.21.在数列中,前n项和为,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,数列前n项和为,求的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)已知前项和公式求,则.由此可得数列的通项公式.(Ⅱ)由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列,求和时用错位相消法.在本题中用错位相消法可得.这也是一个数列,要求数列的范围,首先考查数列的单调性,而考查数列的单调性,一般是考查相邻两项的差的符号.作差易得,所以这是一个递增数列,第一项即为最小值.递增数列有可能无限增大,趋近于无穷大.本题中由于,所以.由此即得的取值范围.试题解析:(Ⅰ)当时,;当时,,经验证,满足上式.故数列的通项公式. 4分(Ⅱ)可知,则,两式相减,得,所以. 8分由于,则单调递增,故,又,故的取值范围是 12分【考点】1、等差数列与等比数列;2、错位相消法求和;3、数列的范围.22.由函数确定数列,.若函数能确定数列,,则称数列是数列的“反数列”.(1)若函数确定数列的反数列为,求;(2)对(1)中的,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围;(3)设(为正整数),若数列的反数列为,与的公共项组成的数列为(公共项为正整数),求数列的前项和.【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)本题实质是求函数的反函数;(2)不等式恒成立,因此小于不等式左边的最小值,所以我们一般想办法求左边这个和,然而由(1)知,这个和求不出,那么我们只能从另一角度去思考,看的单调性,这里只要作差就可得出是递增数列,所以的最小值是,问题解决;(3)看起来很复杂,实质上由于和取值只能是0和1,因此我们按的奇偶性分类讨论,问题就简化了,例如当为奇数时,,则,就可求出,从而求出的前项和了.试题解析:(1),则;4分(2)不等式化为:,5分设,因为,所以单调递增, 7分则.因此,即.因为,所以,得. 10分(3)当为奇数时,,. 11分由,则,即,因此, 13分所以 14分当为偶数时,,. 15分由得,即,因此, 17分所以 18分【考点】(1)反函数;(2)数列的单调性;(3)分类讨论,等差数列与等比数列的前项和.23.(本小题满分13分)已知等比数列满足.(1)求数列的前15项的和;(2)若等差数列满足,,求数列的前项的和【答案】(1);(2)110【解析】(1)由等比数列满足.列出两个关于首项与公比的方程,通过解方程组可求出首项与公比.从而通过等比数列的前项和的公式求出前15项的和.本小题解出公比有两个值代入验算舍去一个.(2)由于等差数列满足,,由(1)可得数列的通项公式.从而得到数列的通项公式.即可求出等差数列的前10项和.试题解析:(1)设等比数列的公比为,由得,由得两式作比可得,(不符合题意舍去),所以,把代入②解得,由等比数列求和公式得7分(2)由(I)可得,设等差数列的公差为,则=2由等差数列求和公式得 13分【考点】1.待定系数法.2.等比数列前项和.3.等差数列的前项和.24.已知数列前n项和为,首项为,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求证:【答案】(1)数列的通项公式;(2) ,,.【解析】(1)有等差数列的等差中项有,再根据可建立的关系,,由等比数列的定义可知数列是以为首项,以2为公比的等比数列,.(2)由(1)中可写出,则,再利用裂项求和的方法有.试题解析:(1)成等差数列,,当时,,当时,,两式相减得:∴数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以 .(2).【考点】1、等差中项;2、数列中求通项;3等比数列的定义;4、裂项相消求和;5、放缩法证明不等式.25.已知数列满足:,,(其中为非零常数,).(1)判断数列是不是等比数列?(2)求;(3)当时,令,为数列的前项和,求.【答案】(1)数列是等比数列;(2),;(3).【解析】(1)将数列的递推式进行变形得,从而利用定义得到数列是等比数列;(2)在(1)的基础上先求出数列的通项公式,再利用累乘法求数列的通项公式;(3)在(2)的基础上,将代入数列的通项公式,从而求出数列的通项公式,并根据数列的通项公式,对、以及进行三种情况的分类讨论,前两种情况利用等差数列求和即可,在最后一种情况下利用错位相减法求数列的前项和,最后用分段的形式表示数列的前项和.试题解析:(1)由,得.令,则,.,,(非零常数),数列是等比数列.(2)数列是首项为,公比为的等比数列,,即.当时,,满足上式,.(3),当时,.,①②当,即时,①②得:,即.而当时,,当时,.综上所述,【考点】1.定义法证明等比数列;2.累乘法求数列通项;3.等差数列求和;4.错位相减法求和26.设等差数列的前项和为,若,,则等于()A.180B.90C.72D.100【答案】B【解析】因为2=9+11=20,所以,=9=90,故选B.【考点】等差数列的性质和前n项和27.已知函数对任意的实数都有,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可得,可得为一等差数列,又,则,即,故选B.【考点】等差数列的定义28.已知等差数列的前项和是,则使的最小正整数等于【答案】2014【解析】设等差数列的公差为,∵前项和是,又∵,∴,解得,∴,由,可得,故最小正整数为.【考点】等差数列的前项和,等差数列的通项公式.29.在等差数列中,若,则的值为 ( )A.20B.22C.24D.28【答案】C【解析】由得,.【考点】等差数列.30.已知等差数列中,,记数列的前项和为,若,对任意的成立,则整数的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】在等差数列中,∵,∴,解得,∴.∵,∴数列是递减数列,数列的最大项为,∵,又∵是整数,∴的最小值为4,选B.【考点】等差数列的通项公式,数列的单调性.31.已知数列,分别为等比,等差数列,数列的前n项和为,且,,成等差数列,,数列中,,(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若数列的前n项和为,求满足不等式的最小正整数。
专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 9=1,a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成a 1和d 来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.【详解】方法一:利用等差数列的基本量由S 9=1,根据等差数列的求和公式,S 9=9a 1+9×82d =1⇔9a 1+36d =1,又a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =29(9a 1+36d )=29.故选:D 方法二:利用等差数列的性质根据等差数列的性质,a 1+a 9=a 3+a 7,由S 9=1,根据等差数列的求和公式,S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 3+a 7)2=1,故a 3+a 7=29.故选:D 方法三:特殊值法不妨取等差数列公差d =0,则S 9=1=9a 1⇒a 1=19,则a 3+a 7=2a 1=29.故选:D2(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 5=S 10,a 5=1,则a 1=()A.-2B.73C.1D.2【答案】B【分析】由S 5=S 10结合等差中项的性质可得a 8=0,即可计算出公差,即可得a 1的值.【详解】由S 10-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=5a 8=0,则a 8=0,则等差数列a n 的公差d =a 8-a 53=-13,故a 1=a 5-4d =1-4×-13 =73.故选:B .3(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且d 1=2.1,d 2=2.2,则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1,则n 1<n 2;若S >1,则n 1>n 2;D.若S <1,则n 1>n 2;若S >1,则n 1<n 2;【答案】C2024年高考真题【分析】根据题意分析可得n 1=eS -12.1n 2=eS -12.2,讨论S 与1的大小关系,结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得d 1=S -1ln n 1=2.1d 2=S -1ln n 2=2.2 ,解得n 1=e S -12.1n 2=e S -12.2,若S >1,则S -12.1>S -12.2,可得e S -12.1>e S -12.2,即n 1>n 2;若S =1,则S -12.1=S -12.2=0,可得n 1=n 2=1;若S <1,则S -12.1<S -12.2,可得e S -1 2.1<e S -12.2,即n 1<n 2;结合选项可知C 正确,ABD 错误;故选:C .二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 4=7,3a 2+a 5=5,则S 10=.【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组,解出a 1,d ,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列a n 为等差数列,则由题意得a 1+2d +a 1+3d =73a 1+d +a 1+4d =5,解得a 1=-4d =3 ,则S 10=10a 1+10×92d =10×-4 +45×3=95.故答案为:95.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1,记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ,若对任意正整数n 集合I n 是闭区间,则q 的取值范围是.【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时,不妨设x ≥y ,则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ,结合I n 为闭区间可得q -2≥-1q n -2对任意的n ≥2恒成立,故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1,因为a 1>0,q >1,故a n +1>a n ,故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ,当n =1时,x ,y ∈a 1,a 2 ,故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ,此时I 1为闭区间,当n ≥2时,不妨设x ≥y ,若x ,y ∈a 1,a 2 ,则x -y ∈0,a 2-a 1 ,若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ,则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ,若x ,y ∈a n ,a n +1 ,则x -y ∈0,a n +1-a n ,综上,x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ,又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间,而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1,故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立,故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0,故q n -2q -2 +1≥0,故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立,因q >1,故当n →+∞时,-1q n -2→0,故q -2≥0即q ≥2.故答案为:q ≥2.【点睛】思路点睛:与等比数列性质有关的不等式恒成立,可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立,必要时可利用参变分离来处理.三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数,数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列.(1)写出所有的i ,j ,1≤i <j ≤6,使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列;(2)当m ≥3时,证明:数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列;(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ,记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ,证明:P m >18.【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可;(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论;(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个,再使用概率的定义.【详解】(1)首先,我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ,则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ,得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ,然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之,我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ,此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ,使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后,剩余的4m 个数可以分为以下两个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ,共3组;②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ,共m -3组.(如果m -3=0,则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ,B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m +2 .下面证明,对1≤i <j ≤4m +2,如果下面两个命题同时成立,则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列:命题1:i ∈A ,j ∈B 或i ∈B ,j ∈A ;命题2:j -i ≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况:如果i ∈A ,j ∈B ,且j -i ≠3.此时设i =4k 1+1,j =4k 2+2,k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+1<4k 2+2,即k 2-k 1>-14,故k 2≥k 1.此时,由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+1和j =4k 2+2后,剩余的4m 个数可以分为以下三个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ,共k 1组;②4k 1+2,4k 1+3,4k 1+4,4k 1+5 ,4k 1+6,4k 1+7,4k 1+8,4k 1+9 ,...,4k 2-2,4k 2-1,4k 2,4k 2+1 ,共k 2-k 1组;③4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ,共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.第二种情况:如果i ∈B ,j ∈A ,且j -i ≠3.此时设i =4k 1+2,j =4k 2+1,k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+2<4k 2+1,即k 2-k 1>14,故k 2>k 1.由于j -i ≠3,故4k 2+1 -4k 1+2 ≠3,从而k 2-k 1≠1,这就意味着k 2-k 1≥2.此时,由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+2和j =4k 2+1后,剩余的4m 个数可以分为以下四个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ,共k 1组;②4k 1+1,3k 1+k 2+1,2k 1+2k 2+1,k 1+3k 2+1 ,3k 1+k 2+2,2k 1+2k 2+2,k 1+3k 2+2,4k 2+2 ,共2组;③全体4k 1+p ,3k 1+k 2+p ,2k 1+2k 2+p ,k 1+3k 2+p ,其中p =3,4,...,k 2-k 1,共k 2-k 1-2组;④4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ,共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)这里对②和③进行一下解释:将③中的每一组作为一个横排,排成一个包含k 2-k 1-2个行,4个列的数表以后,4个列分别是下面这些数:4k 1+3,4k 1+4,...,3k 1+k 2 ,3k 1+k 2+3,3k 1+k 2+4,...,2k 1+2k 2 ,2k 1+2k 2+3,2k 1+2k 2+3,...,k 1+3k 2 ,k 1+3k 2+3,k 1+3k 2+4,...,4k 2 .可以看出每列都是连续的若干个整数,它们再取并以后,将取遍4k 1+1,4k 1+2,...,4k 2+2 中除开五个集合4k 1+1,4k 1+2 ,3k 1+k 2+1,3k 1+k 2+2 ,2k 1+2k 2+1,2k 1+2k 2+2 ,k 1+3k 2+1,k 1+3k 2+2 ,4k 2+1,4k 2+2 中的十个元素以外的所有数.而这十个数中,除开已经去掉的4k 1+2和4k 2+1以外,剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求,故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.至此,我们证明了:对1≤i <j ≤4m +2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列.然后我们来考虑这样的i ,j 的个数.首先,由于A ∩B =∅,A 和B 各有m +1个元素,故满足命题1的i ,j 总共有m +1 2个;而如果j -i =3,假设i ∈A ,j ∈B ,则可设i =4k 1+1,j =4k 2+2,代入得4k 2+2 -4k 1+1 =3.但这导致k 2-k 1=12,矛盾,所以i ∈B ,j ∈A .设i =4k 1+2,j =4k 2+1,k 1,k 2∈0,1,2,...,m ,则4k 2+1 -4k 1+2 =3,即k 2-k 1=1.所以可能的k 1,k 2 恰好就是0,1 ,1,2 ,...,m -1,m ,对应的i ,j 分别是2,5 ,6,9 ,...,4m -2,4m +1 ,总共m 个.所以这m +1 2个满足命题1的i ,j 中,不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的i ,j 的个数为m +1 2-m .当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时,总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论,使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于对新定义数列的理解,只有理解了定义,方可使用定义验证或探究结论.7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0,点P15,4在C上,k为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...,过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1,令P n为Q n-1关于y轴的对称点,记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12,求x2,y2;(2)证明:数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积,证明:对任意的正整数n,S n=S n+1.【答案】(1)x2=3,y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可;(2)根据等比数列的定义即可验证结论;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9,故C的方程为x2-y2=9.当k=12时,过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32,与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0,该点显然在C的左支上.故P23,0,从而x2=3,y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n,与x2-y2=9联立,得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0,由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点,故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理,另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2,相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n 2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW=c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV ⋅UW 1-UV ⋅UW UV ⋅UW2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2 c 2+d 2 -ac +bd 2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc 2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m.而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2 .这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n -121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k =x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,且2S n =3a n +1-3.(1)求a n 的通项公式;(2)求数列S n 的通项公式.【答案】(1)a n =53n -1(2)3253 n -32【分析】(1)利用退位法可求公比,再求出首项后可求通项;(2)利用等比数列的求和公式可求S n .【详解】(1)因为2S n =3a n +1-3,故2S n -1=3a n -3,所以2a n =3a n +1-3a n n ≥2 即5a n =3a n +1故等比数列的公比为q =53,故2a 1=3a 2-3=3a 1×53-3=5a 1-3,故a 1=1,故a n =53n -1.(2)由等比数列求和公式得S n =1×1-53 n1-53=3253 n -32.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和,且4S n =3a n +4.(1)求a n 的通项公式;(2)设b n =(-1)n -1na n ,求数列b n 的前n 项和为T n .【答案】(1)a n =4⋅(-3)n -1(2)T n =(2n -1)⋅3n +1【分析】(1)利用退位法可求a n 的通项公式.(2)利用错位相减法可求T n .【详解】(1)当n =1时,4S 1=4a 1=3a 1+4,解得a 1=4.当n ≥2时,4S n -1=3a n -1+4,所以4S n -4S n -1=4a n =3a n -3a n -1即a n =-3a n -1,而a 1=4≠0,故a n ≠0,故an a n -1=-3,∴数列a n 是以4为首项,-3为公比的等比数列,所以a n =4⋅-3 n -1.(2)b n =(-1)n -1⋅n ⋅4⋅(-3)n -1=4n ⋅3n -1,所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =4⋅30+8⋅31+12⋅32+⋯+4n ⋅3n -1故3T n =4⋅31+8⋅32+12⋅33+⋯+4n ⋅3n所以-2T n =4+4⋅31+4⋅32+⋯+4⋅3n -1-4n ⋅3n=4+4⋅31-3n -11-3-4n ⋅3n =4+2⋅3⋅3n -1-1 -4n ⋅3n=(2-4n )⋅3n -2,∴T n =(2n -1)⋅3n +1.10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t .对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ,及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ,ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ,定义变换T :将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1,得到数列T 1A ;将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1,得到数列T 2T 1A ⋯;重复上述操作,得到数列T s ...T 2T 1A ,记为ΩA .(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ,写出ΩA ;(2)是否存在序列Ω,使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4,若存在,写出一个符合条件的Ω;若不存在,请说明理由;(3)若数列A 的各项均为正整数,且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数,证明:“存在序列Ω,使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”.【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω,理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可;(2)利用反证法,假设存在符合条件的Ω,由此列出方程组,进一步说明方程组无解即可;(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10;(2)假设存在符合条件的Ω,可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ,第3,4项之和为a 3+a 4+s ,则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s,而该方程组无解,故假设不成立,故不存在符合条件的Ω;(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ,特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性:若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ,使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8,所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义,显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ,这里j =1,2,3,4,k =1,2,....所以不断使用该式就得到,a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8,必要性得证.充分性:若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知,a 1+a 3+a 5+a 7为偶数,而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8,所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中,使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ,这里j =1,2,3,4,k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时,由于i k +j k +s k +t k 总是偶数,所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变,从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在,根据对称性,不妨设j =1,a s ,2j -1-a s ,2j ≥2,即a s ,1-a s ,2≥2.情况1:若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0,则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数,知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后,新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4,这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾;情况2:若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0,不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1:如果a s ,3-a s ,4≥1,则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后,新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2,这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾;情况2-2:如果a s ,4-a s ,3≥1,则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后,新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2,这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾,所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1,则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数,所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数,设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4,由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数,故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数,对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ,则该数列成为常数列,新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零,比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小,这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上,只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ,而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8,故a s ,n =ΩA 是常数列,充分性得证.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键在于对新定义的理解,以及对其本质的分析.11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列.其前n 项和为S n .若a 1=1,S 2=a 3-1.(1)求数列a n 前n 项和S n ;(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1,b 1=1,其中k 是大于1的正整数.(ⅰ)当n =a k +1时,求证:b n -1≥a k ⋅b n ;(ⅱ)求S ni =1b i .【答案】(1)S n =2n -1(2)①证明见详解;②S ni =1b i =3n -1 4n+19【分析】(1)设等比数列a n 的公比为q >0,根据题意结合等比数列通项公式求q ,再结合等比数列求和公式分析求解;(2)①根据题意分析可知a k =2k -1,b n =k +1,b n -1=k 2k -1 ,利用作差法分析证明;②根据题意结合等差数列求和公式可得∑2k -1i =2k -1b i =193k -1 4k -3k -4 4k -1,再结合裂项相消法分析求解.【详解】(1)设等比数列a n 的公比为q >0,因为a 1=1,S 2=a 3-1,即a 1+a 2=a 3-1,可得1+q =q 2-1,整理得q 2-q -2=0,解得q =2或q =-1(舍去),所以S n =1-2n1-2=2n -1.(2)(i )由(1)可知a n =2n -1,且k ∈N *,k ≥2,当n =a k +1=2k≥4时,则a k =2k -1<2k -1=n -1n -1=a k +1-1<a k +1 ,即a k <n -1<a k +1可知a k =2k -1,b n =k +1,b n -1=b a k+a k +1-a k -1 ⋅2k =k +2k 2k -1-1 =k 2k -1 ,可得b n -1-a k ⋅b n =k 2k -1 -k +1 2k -1=k -1 2k -1-k ≥2k -1 -k =k -2≥0,当且仅当k =2时,等号成立,所以b n -1≥a k ⋅b n ;(ii )由(1)可知:S n =2n -1=a n +1-1,若n =1,则S 1=1,b 1=1;若n ≥2,则a k +1-a k =2k -1,当2k -1<i ≤2k -1时,b i -b i -1=2k ,可知b i 为等差数列,可得∑2k -1i =2k -1b i =k ⋅2k -1+2k 2k -12k -1-1 2=k ⋅4k -1=193k -1 4k -3k -4 4k -1 ,所以∑S ni =1b i =1+195×42-2×4+8×43-5×42+⋅⋅⋅+3n -1 4n -3n -4 4n -1=3n -1 4n+19,且n =1,符合上式,综上所述:∑Sni =1b i =3n -1 4n +19.【点睛】关键点点睛:1.分析可知当2k -1<i ≤2k -1时,b i -b i -1=2k ,可知b i 为等差数列;2.根据等差数列求和分析可得∑2k -1i =2k -1b i =193k -1 4k -3k -4 4k -1.12(新高考上海卷)若f x =log a x (a >0,a ≠1).(1)y =f x 过4,2 ,求f 2x -2 <f x 的解集;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,求a 的取值范围.【答案】(1)x |1<x <2 (2)a >1【分析】(1)求出底数a ,再根据对数函数的单调性可求不等式的解;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解,利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围.【详解】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ,故log a 4=2,故a 2=4即a =2(负的舍去),而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数,故f 2x -2 <f x ,故0<2x -2<x 即1<x <2,故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,故2f ax =f x +1 +f x +2 有解,故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ,因为a >0,a ≠1,故x >0,故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解,由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解,令t =1x ∈0,+∞ ,而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ,故a 2>1即a >1.一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.266【答案】A【分析】令n =1得S 2=1,当n ≥2时,结合题干作差得S n +1-S n -1=2n -1,从而利用累加法求解S 24=即可.【详解】∵a 1=S 1=1,又∵S n +S n +1=n 2+1,当n =1时,S 1+S 2=12+1=2,解得S 2=1;当n ≥2时,S n -1+S n =(n -1)2+1,作差得S n +1-S n -1=2n -1,∴S 24=S 24-S 22 +S 22-S 20 +⋯+S 4-S 2 +S 2=223+21+⋯+3 -11+1=276.故选:A2(2024·河北张家口·三模)已知数列a n的前n项和为S n,且满足a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数,则S100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-103【答案】A【分析】分奇数项和偶数项求递推关系,然后记b n=a2n+a2n-1,n≥1,利用构造法求得b n=6×2n-1-3,然后分组求和可得.【详解】因为a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数 ,所以a2k+2=a2k+1+1=2a2k+1,a2k+1=2a2k=2a2k-1+2,k∈N*,且a2=2,所以a2k+2+a2k+1=2a2k+a2k-1+3,记b n=a2n+a2n-1,n≥1,则b n+1=2b n+3,所以b n+1+3=2b n+3,所以b n+3是以b1+3=a1+a2+3=6为首项,2为公比的等比数列,所以b n+3=6×2n-1,b n=6×2n-1-3,记b n的前n项和为T n,则S100=T50=6×20+6×21+6×22+⋅⋅⋅+6×249-3×50=3×251-156.故选:A【点睛】关键点点睛:本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式,然后再并项得b n的递推公式,利用构造法求通项,将问题转化为求b n的前50项和.3(2024·山东日照·三模)设等差数列b n的前n项和为S n,若b3=2,b7=6,则S9=()A.-36B.36C.-18D.18【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和公式,结合等差数列的性质求解.【详解】解:S9=b1+b9×92=b3+b7×92=36,故选:B.4(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n,若S3=9,S9=81,则S12=() A.288 B.144 C.96 D.25【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和列方程组求出a1,d,进而即可求解S12.【详解】由题意S3=3a1+3×22d=9S9=9a1+9×82d=81,即a1+d=3a1+4d=9,解得a1=1d=2.于是S12=12×1+12×112×2=144.故选:B.5(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n中,a2,a5是方程x2-8x+m=0的两根,则a n的前6项和为()A.48B.24C.12D.8【答案】B【分析】利用韦达定理确定a2+a5=8,根据等差数列性质有a2+a5=a1+a6=8,在应用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】因为a 2,a 5是方程x 2-8x +m =0的两根,所以a 2+a 5=8,又因为a n 是等差数列,根据等差数列的性质有:a 2+a 5=a 1+a 6=8,设a n 的前6项和为S 6,则S 6=a 1+a 6 ×62=3×8=24.故选:B6(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0,则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.64【答案】D【分析】根据题意,由条件可得a n +1=4a n ,再由等比数列的定义即可得到结果.【详解】由2n a n +1-2n +2a n =0可得a n +1=4a n ,则a 2024a 2021=4×4×4a 2021a 2021=64.故选:D7(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi ),是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示,有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子,A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘,要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上,并且每次移动时,同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方,请问至少需要移动多少次?记至少移动次数为H n ,例如:H (1)=1,H (2)=3,则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <100【答案】C【分析】由题意可得H (3)=7,判断A ;归纳得到H n =2n -1,结合等差数列以及等比数列的概念可判断B ,C ;求出H 7 ,判断D .【详解】由题意知若有1个圆盘,则需移动一次:若有2个圆盘,则移动情况为:A →C ,A →B ,C →B ,需移动3次;若有3个圆盘,则移动情况如下:A →B ,A →C ,B →C ,A →B ,C →A ,C →B ,A →B ,共7次,故H (3)=7,A 错误;由此可知若有n 个圆盘,设至少移动a n 次,则a n =2a n -1+1,所以a n +1=2a n -1+1 ,而a 1+1=1+1=2≠0,故a n +1 为等比数列,故a n =2n -1即H n =2n -1,该式不是n 的一次函数,则H (n ) 不为等差数列,B 错误;又H n =2n -1,则H n +1=2n ,H n +1 +1H n +1=2,则H (n )+1 为等比数列,C 正确,H 7 =27-1=127>100,D 错误,故选:C8(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和,若a 3=3,S 3=9,则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.12【答案】A【分析】分别利用等比数列的通项公式和前n 项和公式,解方程组可得q =1或q =-12.【详解】设等比数列a n 的首项为a 1,公比为q ,依题意得a 3=a 1q 2=3S 3=a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=9 ,解得q =1或q =-12.故选:A .9(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列,且a 1+2a 4+3a 9=24,则S 11=()A.33B.44C.66D.88【答案】B【分析】将a 1,a 4,a 9用a 1和d 表示,计算出a 6的值,再由S 11=11a 6得S 11的值.【详解】依题意,a n 是等差数列,设其公差为d ,由a 1+2a 4+3a 9=24,所以a 1+2a 1+3d +3a 1+8d =6a 1+30d =6a 6=24,即a 6=4,S 11=11a 1+10×112d =11a 1+5d =11a 6=11×4=44,故选:B .10(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ,如果对任意的正整数n ,都存在唯一的正整数m ,使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ,那么称a n 为内和数列,并令b n =m ,称b n 为a n 的伴随数列,则()A.若a n 为等差数列,则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列,则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列,则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列,则a n 为递增数列【答案】C【分析】对于ABD :举反例说明即可;对于C :根据题意分析可得a m 2>a m 1,结合单调性可得m 2>m 1,即可得结果.【详解】对于选项AB :例题a n =1,可知a n 即为等差数列也为等比数列,则a 1+a 2=2,但不存在m ∈N *,使得a m =2,所以a n 不为内和数列,故AB 错误;对于选项C :因为a n >0,对任意n 1,n 2∈N *,n 1<n 2,可知存在m 1,m 2∈N *,使得a m 1=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 1,a m 2=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 2,则a m 2-a m 1=a n 1+1+a n 1+2+⋯+a n 2>0,即a m 2>a m 1,且内和数列a n 为递增数列,可知m 2>m 1,所以其伴随数列b n 为递增数列,故C 正确;对于选项D :例如2,1,3,4,5,⋅⋅⋅,显然a n 是所有正整数的排列,可知a n 为内和数列,且a n 的伴随数列为递增数列,但an 不是递增数列,故D 错误;故选:C.【点睛】方法点睛:对于新定义问题,要充分理解定义,把定义转化为已经学过的内容,简化理解和运算.11(2024·广东茂名·一模)已知T n为正项数列a n的前n项的乘积,且a1=2,T2n=a n+1n,则a5=() A.16 B.32 C.64 D.128【答案】B【分析】利用给定的递推公式,结合对数运算变形,再构造常数列求出通项即可得解.【详解】由T2n=a n+1n,得T2n+1=a n+2n+1,于是a2n+1=T2n+1T2n=a n+2n+1a n+1n,则a n n+1=a n+1n,两边取对数得n lg a n+1=(n+1)lg a n,因此lg a n+1n+1=lg a nn,数列lg a nn是常数列,则lg a nn=lg a11=lg2,即lg a n=n lg2=lg2n,所以a n=2n,a5=32.故选:B12(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n中,a3⋅a10=1,a6=2,则公比q为()A.12B.2 C.14D.4【答案】C【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.【详解】q=1q3⋅q4=a3a6⋅a10a6=a3⋅a10a26=122=14.故选:C.二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n,且a n+a n+2=2a n+1,若存在k∈N∗,使S k+1 >S k+2>S k成立,则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p,总存在n0∈N∗,当n>n0时,a n<p【答案】BCD【分析】根据题意,得到a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0且a n是递减数列,结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式,逐项判定,即可求解.【详解】由S k+1>S k+2>S k,可得a k+2=S k+2-S k+1<0,a k+1=S k+1-S k>0,且a k+1+a k+2=S k+2-S k>0,即a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0又由a n+a n+2=2a n+1,可得数列a n是等差数列,公差d=a k+2-a k+1<0,所以a n是递减数列,所以a1是最大项,且随着n的增加,a n无限减小,即a n≤a1,所以A错误、D正确;因为当n≤k+1时,a n>0;当n≥k+2时,a n<0,所以S n的最大值为S k+1,所以B正确;因为S2k+1=(2k+1)(a1+a2k+1)2=(2k+1)a k+1>0,S2k+3=(2k+3)a k+2<0,且S 2k +2=a 1+a 2k +22×2k +2 =k +1 ⋅a k +1+a k +2 >0,所以当n ≤2k +2时,S n >0;当n ≥2k +3时,S n <0,所以C 正确.故选:BCD .14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 的通项公式为a n =92n -7n ∈N *,前n 项和为S n ,则下列说法正确的是()A.数列a n 有最大项a 4B.使a n ∈Z 的项共有4项C.满足a n a n +1a n +2<0的n 值共有2个D.使S n 取得最小值的n 值为4【答案】AC【分析】根据数列的通项公式,作差判断函数的单调性及项的正负判断A ,根据通项公式由整除可判断B ,根据项的正负及不等式判断C ,根据数列项的符号判断D .【详解】对于A :因为a n =92n -7n ∈N *,所以a n +1-a n =92n -5-92n -7=-182n -5 2n -7,令a n +1-a n >0,即2n -5 2n -7 <0,解得52<n <72,又n ∈N *,所以当n =3时a n +1-a n >0,则当1≤n ≤2或n ≥4时,a n +1-a n <0,令a n =92n -7>0,解得n >72,所以a 1=-95>a 2=-3>a 3=-9,a 4>a 5>a 6>⋯>0,所以数列a n 有最大项a 4=9,故A 正确;对于B :由a n ∈Z ,则92n -7∈Z 又n ∈N *,所以n =2或n =3或n =4或n =5或n =8,所以使a n ∈Z 的项共有5项.故B 不正确;对于C :要使a n a n +1a n +2<0,又a n ≠0,所以a n 、a n +1、a n +2中有1个为负值或3个为负值,所以n =1或n =3,故满足a n a n +1a n +2<0的n 的值共有2个,故C 正确;对于D :因为n ≤3时a n <0,n ≥4时a n >0,所以当n =3时S n 取得最小值,故D 不正确.故选:AC .15(2024·山东临沂·二模)已知a n 是等差数列,S n 是其前n 项和,则下列命题为真命题的是()A.若a 3+a 4=9,a 7+a 8=18,则a 1+a 2=5B.若a 2+a 13=4,则S 14=28C.若S 15<0,则S 7>S 8D.若a n 和a n ⋅a n +1 都为递增数列,则a n >0【答案】BC【分析】根据题意,求得d =98,结合a 1+a 2=a 3+a 4 -4d ,可判定A 错误;根据数列的求和公式和等差数列的性质,可判定B 正确;由S 15<0,求得a 8<0,可判定C 正确;根据题意,求得任意的n ≥2,a n >0,结合a 1的正负不确定,可判定D 错误.【详解】对于A 中,由a 3+a 4=9,a 7+a 8=18,可得a 7+a 8 -a 3+a 4 =8d =9,所以d =98,又由a 1+a 2=a 3+a 4 -4d =9-4×98=92,所以A 错误;对于B 中,由S 14=14a 1+a 14 2=14a 2+a 132=28,所以B 正确;对于C 中,由S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0,所以a 8<0,又因为S 8-S 7=a 8<0,则S 7>S 8,所以C 正确;对于D 中,因为a n 为递增数列,可得公差d >0,因为a n a n +1 为递增数列,可得a n +2a n +1-a n a n +1=a n +1⋅2d >0,所以对任意的n ≥2,a n >0,但a 1的正负不确定,所以D 错误.故选:BC .16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ,a 2=4,S 7=42,则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n =12n 2+52n C.a nn为递减数列 D.1a n a n +1 的前5项和为421【答案】BC【分析】根据给定条件,利用等差数列的性质求出公差d ,再逐项求解判断即可.【详解】等差数列a n 中,S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42,解得a 4=6,而a 2=4,因此公差d =a 4-a 24-2=1,通项a n =a 2+(n -2)d =n +2,对于A ,a 5=7,A 错误;对于B ,S n =n (3+n +2)2=12n 2+52n ,B 正确;对于C ,a n n =1+2n ,a n n 为递减数列,C 正确;对于D ,1a n a n +1=1(n +2)(n +3)=1n +2-1n +3,所以1a n a n +1 的前5项和为13-14+14-15+⋯+17-18=13-18=524,D 错误.故选:BC17(2024·江西·三模)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=2a n +1,则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2a n +1 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除【答案】BCD【分析】利用构造法得到数列a n +1 是等比数列,从而求得通项,就可以判断选项,对于数列求和,可以用分组求和法,等比数列公式求和完成,对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后,再加以证明.【详解】由a n +1=2a n +1可得:a n +1+1=2a n +1 ,所以数列a n +1 是等比数列,即a n =2n -1,则a 1=1,a 2=3,a 3=7,显然有a 1⋅a 3≠a 22,所以a 1,a 2,a 3不成等比数列,故选项A 是错误的;由数列a n +1 是等比数列可得:a n +1=2n ,即log 2a n +1 =log 22n =n ,故选项B 是正确的;由a n =2n -1可得:前n 项和S n =21-1+22-1+23-1+⋅⋅⋅+2n-1=21-2n 1-2-n =2n +1-n -2,故选项C是正确的;由a 20=220-1=3-1 20-1=C 020320+C 120319⋅-1 +C 220318⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 19203⋅-1 19+C 2020-1 20-1=3×C 020319+C 120318⋅-1 +C 220317⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 1920-1 19 ,故选项D 是正确的;方法二:由210=1024,1024除以3余数是1,所以10242除以3的余数还是1,从而可得220-1能补3整除,故选项D 是正确的;故选:BCD .18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n 的首项为a 1公比为q ,下列条件能使a n 既有最大值,又有最小值的有()A.a 1>0,0<q <1B.a 1>0,-1<q <0C.a 1<0,q =-1D.a 1<0,q <-1【答案】BC【分析】结合选项,利用等比数列单调性分析判断即可.【详解】a 1>0,0<q <1时,等比数列a n 单调递减,故a n 只有最大值a 1,没有最小值;a 1>0,-1<q <0时,等比数列a n 为摆动数列,此时a 1为大值,a 2为最小值;a 1<0,q =-1时,奇数项都相等且小于零,偶数项都相等且大于零,所以等比数列a n 有最大值,也有最小值;a 1<0,q <-1时,因为q >1,所以a n 无最大值,奇数项为负无最小值,偶数项为正无最大值.故选:BC 三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n 满足a n +2-a n =2,若a 1=1,a 4=4,则数列a n 的前20项的和为.【答案】210【分析】数列a n 的奇数项、偶数项都是等差数列,结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列a n 满足a n +2-a n =2,若a 1=1,a 4=4,则a 2=a 4-2=4-2=2,所以数列a n 的奇数项、偶数项分别构成以1,2为首项,公差均为2的等差数列所以数列a n 的前20项的和为a 1+a 2+⋯+a 20=a 1+a 3+⋯+a 19 +a 2+a 4+⋯+a 20=10×1+10×92×2+10×2+10×92×2=210.故答案为:210.20(2024·云南·二模)记数列a n 的前n 项和为S n ,若a 1=2,2a n +1-3a n =2n ,则a 82+S 8=.【答案】12/0.5【分析】构造得a n +12n -1-4=34a n2n -2-4,从而得到a n 2n -2=4,则a n =2n ,再利用等比数列求和公式代入计算即可.【详解】由2a n +1-3a n =2n ,得a n +12n -1=34×a n 2n -2+1,则a n +12n -1-4=34a n2n -2-4,又a 12-1-4=0,则a n 2n -2=4,则a n =2n ,a 8=28,S 8=21-28 1-2=29-2,a 82+S 8=2829=12,故答案为:12.21(2024·上海·三模)数列a n 满足a n +1=2a n (n 为正整数),且a 2与a 4的等差中项是5,则首项a 1=。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .42.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .213.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .55.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .806.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n7.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米8.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2209.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .8010.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或2011.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( )A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .10313.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .714.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-15.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32016.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .617.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2118.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6419.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5220.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .35二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 22.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >B .130S >,140S <,则78a a >C .若915S S =,则n S 中的最大值是12SD .若2n S n n a =-+,则0a =23.题目文件丢失!24.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 25.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且23n n n S a +=,则1n n a a -的值不可能为( ) A .2B .5C .3D .426.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =27.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )A .1d =-B .413a a =C .n S 的最大值为8SD .使得0n S >的最大整数15n =28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值29.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( )A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2230.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a > B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C .0nS <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A 2.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 3.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 4.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 5.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 6.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩, 所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=, 故选:B.7.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 8.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 9.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 10.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444loglog log log n n nnx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =. 又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,(2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =. 13.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 14.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 15.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .23.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72 B .90C .36D .454.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9195.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .825两 B .845两 C .865两 D .885两 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .807.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .49.题目文件丢失!10.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-11.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 12.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( ) A .9B .12C .15D .1813.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1314.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10015.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2216.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .917.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5618.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+ D .1111p q m nS S S S +>+ 19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7220.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7B .10C .13D .16二、多选题21.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =22.设数列{}n a 满足1102a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .2112a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312a <<D .2020314a << 23.已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912a =C .332S =D . 2 01920192S =24.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .225.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =26.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-27.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <B .70a =C .95S S >D .170S <28.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列29.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( )A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 3.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 4.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 5.C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,数列{}n a 是等差数列,8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,由题意可得设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩,即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 6.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 7.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 8.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A9.无10.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 11.C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案.【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 12.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 13.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 14.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 15.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1nn a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 16.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 17.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 18.D【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案.317102a a a +=1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选:B20.C【分析】由题建立关系求出公差,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,141,16a S ==,41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=,71613a a d ∴=+=.故选:C二、多选题21.BCD【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 1131********a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确.故选:BCD【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,22.ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102a <<设()()ln 2f x x x =+-,则()11122x f x x x-'=-=--, 所以当01x <<时,0f x ,即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数, 即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=, 所以()112f x << , 即11(2)2n a n <<≥, 所以2112a <<,2020112a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,112n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD【点睛】 本题考查了数列性质的综合应用,属于难题.23.ACD【分析】先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD .【详解】由题意211122a =-=,311112a =-=-,A 正确,3132122S =+-=,C 正确; 41121a =-=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ⨯===-,B 错;20193201967322S =⨯=,D 正确. 故选:ACD .【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解.24.ABC【分析】 根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立,当n 为偶数时有12a n<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:12+a n -<恒成立, 由12+n 递减,且1223n<+≤, 所以2a -≤,即2a ≥-, 当n 为偶数时有:12a n <-恒成立, 由12n -第增,且31222n≤-<, 所以32a <, 综上可得:322a -≤<, 故选:ABC .【点睛】 本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题. 25.BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为30S =,46a =, 所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=, 故选:BC26.AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,进而得13,2a d =-=,故25n a n =-,24n S n n =-.【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得:1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解方程组得:13,2a d =-=,所以()31225n a n n =-+-⨯=-,24n S n n =-. 故选:AD.27.ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案.【详解】由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确;由56S S <,可得6560S S a -=>,由78S S >,可得8780S S a -=<,所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确;又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <,所以()117179171702a a S a +==<,故D 正确.故选:ABD.【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及()12n n n a a S +=,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.28.BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】 A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知0d >,{}n a 必是递增数列;C 选项:1a b c ===时,1111a b c===是等差数列,而a = 1,b = 2,c = 3时不成立; D 选项:数列{}n a 是等差数列公差为d ,所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列;故选:BCD【点睛】本题考查了等差数列,利用等差数列的性质判断选项的正误,属于基础题.29.AD【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<,由于11162a a a +=,11267a a a a +=+,所以60a >,760a a <-<,所以0d <,{}n S 中6S 最大,由于11267490a a a a a a +=+=+<,所以49a a <-,即:49a a <.故AD 正确,BC 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.30.ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===,()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,∴前9项的和最小,故A 正确;()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<,故B 正确; ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故D 正确; 190a >,181919S S a ∴=-,1819S S ∴<,故C 不正确.故选:ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.。
一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .552.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .1393.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-44.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .95.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .856.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .1517.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .2408.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32011.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( )A .(23)n -1 B .(23)n C .21n + D .12n + 12.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( ) A .9B .12C .15D .1813.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1314.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .815.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2216.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5617.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+18.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2119.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7220.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸二、多选题21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114a =,则下列说法错误的是( )A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n =B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >B .130S >,140S <,则78a a >C .若915S S =,则n S 中的最大值是12SD .若2n S n n a =-+,则0a =24.题目文件丢失!25.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4B .-2C .0D .226.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <.27.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项28.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ⋅<B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅29.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0B.243 7d-<<-C.S n<0时,n的最小值为13D.数列nnSa⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项30.公差为d的等差数列{}n a,其前n项和为n S,110S>,12S<,下列说法正确的有()A.0d<B.70a>C.{}n S中5S最大D.49a a<【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题1.D【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果.【详解】因为在等差数列{}n a中,若n S为其前n项和,65a=,所以()1111161111552a aS a+===.故选:D.2.B【分析】画出图形分析即可列出式子求解.【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107yx y-=⎧⎨-=⎩,解得15548xy=⎧⎨=⎩.故选:B.3.A由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.4.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 5.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C . 6.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 7.B根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B. 8.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.10.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .143.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .34.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .825两 B .845两 C .865两 D .885两 5.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .146.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1627.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .648.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .1039.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .1610.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4511.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403812.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1913.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1314.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46515.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<16.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+17.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( ) A .3、8、13、18、23 B .4、8、12、16、20 C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .320.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .214a =-B .648211S S S =+C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22.题目文件丢失!23.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=024.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .325.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12d =B .12d =-C .918S =D .936S =26.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =C .135********a a a a a ++++= D .2222123202020202021a a a a a a ++++=27.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-28.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).29.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S -30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 2.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 3.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 4.C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,数列{}n a 是等差数列,8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩,即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 5.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 6.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=;(2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 8.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =. 又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,(2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =. 9.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=①24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 11.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 12.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 13.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值.【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 14.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 15.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 16.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=,即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 20.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-,由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.22.无23.ABD 【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n-12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题24.BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题. 25.BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式,求出9S ,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=, 所以()1999983622a a S +⨯===. 因为35a =,73a =,所以公差731732a a d -==--. 故选:BD 26.BCD 【分析】根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故C 正确;对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故D 正确.故选:BCD 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 27.AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S . 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩, 解得11a =,2d =,1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=.()21212n n n S n +-==故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 28.AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列. 【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误. 故选:AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 29.BD 【分析】 由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =,因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确;13518351835()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确.故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题. 30.CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
一、等差数列选择题1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .2402.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .43.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .145.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .36.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .807.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .498.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .649.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .1610.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( )A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 11.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( )A .10 BC .64D .412.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +13.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 14.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S15.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+ B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+16.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7217.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2118.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+D .1111p q m nS S S S +>+ 19.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .920.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.题目文件丢失!22.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <. 23.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D .数列{}n a 为递减数列24.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >25.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).26.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列27.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .2437d -<<-C .S n <0时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项28.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <29.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,6914a a ⋅=-.12n n n n b a a a ++=⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )A .320n a n =-B .325n a n =-+C .当4n =时,n T 取最小值D .当6n =时,n T 取最小值30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =, 故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B. 2.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 5.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 6.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 7.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 8.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 9.A 【分析】 设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 10.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11.D 【分析】利用等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}3n a 的公差,可求得310a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,由于11a =,22a =,则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=,所以,33101919764a a d =+=+⨯=,因此,104a .故选:D. 12.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 13.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 14.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 15.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=,2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 16.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17.B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥,且11a =,∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,通项公式为()12121n a n n =+-=-,10210119a ∴=⨯-=,故选:B. 18.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19.A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A 20.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .二、多选题 21.无22.ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确;对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 23.ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121nn n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确.对选项B ,由A 知:112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确.对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题. 24.ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题. 25.AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列. 【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误. 故选:AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 26.ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时,{}n a 是等差数列, 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题. 27.ABCD 【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确. 【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0. S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.对于:7≤n ≤12时,nnS a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0,但是随着n 的增大而减小,可得:nnS a <0,但是随着n 的增大而增大.∴n =7时,nnS a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于28.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题. 29.AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值. 【详解】解:在递增的等差数列{}n a 中, 由5105a a +=,得695a a +=,又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)3963a a d ---===-,16525317a a d =-=--⨯=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.故A 正确,B 错误;12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.故选:AC .本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题. 30.CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .552.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .53.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .34.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .805.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 7.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为( ) A .89B .910C .1011D .11128.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .79.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .410.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸11.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项 B .133项 C .134项 D .135项 12.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .18 13.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5914.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13 B .26 C .52 D .56 15.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1616.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2117.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2218.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .319.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403820.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-二、多选题21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=,则下列说法正确的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1{}nS 为递增数列22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 24.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >B .130S >,140S <,则78a a >C .若915S S =,则n S 中的最大值是12SD .若2n S n n a =-+,则0a =25.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列26.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23 C .32D .327.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+28.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <29.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =, 所以()1111161111552a a S a +===.故选:D. 2.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 3.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =,又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 4.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 7.C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选:C 8.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 9.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 10.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 11.D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:213515n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 12.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 13.B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠, ∴995S a =. 故选:B【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 15.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 16.B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥,且11a =,∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,通项公式为()12121n a n n =+-=-,10210119a ∴=⨯-=,故选:B. 17.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21.18.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 19.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 20.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差.解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C .二、多选题21.AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求S n ,最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确; 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=,即A 正确; 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,即B ,C 不正确;故选:AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题. 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 23.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 24.AD 【分析】对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,所以24619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;对于B ,因为130S >,140S <,所以77713()1302a a a +=>,即70a >,787814()7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++++=,所以12133()0a a +=,即12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;对于D ,若2n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,所以12120a a =⨯-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 25.BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 26.BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题. 27.AC 【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-.故选:AC. 【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力. 28.BC 【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负, 因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型. 29.ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题. 30.CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
等差数列真题一、选择题1.如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=( ) A .14 B .21 C .28 D .35解析:∵a 3+a 4+a 5=12,∴3a 4=12,a 4=4.∴a 1+a 2+…+a 7=(a 1+a 7)+(a 2+a 6)+(a 3+a 5)+a 4=7a 4=28.答案:C2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m =( ) A .9 B .10 C .11 D .12解析:在等比数列{a n }中,∵a 1=1,∴a m =a 1a 2a 3a 4a 5=a 51q 10=q 10.又∵a m =q m -1,∴m -1=10,∴m =11. 答案:C3.(20XX 年高考上海卷)设{}a n 是各项为正数的无穷数列,A i 是边长为a i ,a i +1的矩形的面积(i =1,2,…),则{}A n 为等比数列的充要条件是( )A.{}a n 是等比数列B .a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…是等比数列C .a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列D .a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列,且公比相同解析:∵A i =a i a i +1,若{A n }为等比数列,则A n +1A n =a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n 为常数,即A 2A 1=a 3a 1,A 3A 2=a 4a 2,….∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…成等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q ,则A n +1A n =a n +2a n=q ,从而{A n }为等比数列.答案:D4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2=( )A .11B .5C .-8D .-11解析:由8a 2+a 5=0,得8a 1q +a 1q 4=0,所以q =-2,则S 5S 2=a 1(1+25)a 1(1-22)=-11.答案: D5.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( )A .35B .33C .31D .29解析:设公比为q (q ≠0),则由a 2·a 3=2a 1知a 1q 3=2, ∴a 4=2.又a 4+2a 7=52,∴a 7=14.∴a 1=16,q =12. ∴S 5=a 1(1-q 5)1-q =16[1-(12)5]1-12=31. 答案:C 二、填空题6.在等比数列{a n }中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =________.解析:∵等比数列{a n }的前3项之和为21,公比q =4,不妨设首项为a 1,则a 1+a 1q +a 1q 2=a 1(1+4+16) =21a 1=21,∴a 1=1,∴a n =1×4n -1=4n -1. 答案:4n -17.(20XX 年高考湖南卷)设S n 是等差数列{}a n (n ∈N *)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5=________.解析:设等差数列的公差为d .由a 1=1,a 4=7,得 3d =a 4-a 1=6,故d =2,∴a 5=9,S 5=5(a 1+a 5)2=25.答案:258.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0,则d 的取值范围是________.解析:由S 5S 6+15=0,得 ⎝⎛⎭⎪⎫5a 1+5×42d·⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1+6×52d +15=0. 整理可得2a 21+9a 1d +10d 2+1=0.∵a 1,d 为实数,∴Δ=(9d )2-4×2×(10d 2+1)≥0, 解得d ≤-22或d ≥2 2. 答案:d ≤-22或d ≥2 29.设等比数列{a n }的公比q =12,前n 项和为S n ,则S 4a 4=________.解析:∵S 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 4=a 1q 3,∴S 4a 4=a 1(1-q 4)a 1q 3(1-q )=1-q 4q 3(1-q )=1-124123×12=15.答案:15 三、解答题10.(20XX 年高考福建卷)已知等比数列{}a n 的公比q =3,前3项和S 3=133. (1)求数列{}a n 的通项公式;(2)若函数f (x )=A sin(2x +φ)(A >0,0<φ<π)在x =π6处取得最大值,且最大值为a 3,求函数f (x )的解析式.解析:(1)由q =3,S 3=133得a 1(1-33)1-3=133,解得a 1=13.所以a n =13×3n -1=3n -2.(2)由(1)可知a n =3n -2,所以a 3=3. 因为函数f (x )的最大值为3,所以A =3; 因为当x =π6时f (x )取得最大值, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+φ=1. 又0<φ<π,故φ=π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6.11.(20XX 年高考课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 23=9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.解析:(1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23=9a 2a 6得a 23=9a 24,所以q 2=19. 由条件可知q >0,故q =13.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1,所以a 1=13. 故数列{a n }的通项公式为a n =13n . (2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-n (n +1)2. 故1b n =-2n (n +1)=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, 1b 1+1b 2+…+1b n=-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n-1n +1 =-2nn +1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为-2nn +1.12.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n -n 2+3n (n ∈N *). (1)求a 2,a 3的值;(2)数列{a n +λn 2+μn }是公比为2的等比数列,求λ,μ的值;(3)在(2)的条件和结论下,设b n =1a n +n -2n -1,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,证明:S n <53.解析:(1)由题意得a 2=2a 1-12+3=2-1+3=4,a 3=2a 2-22+6=8-4+6=10.(2)∵数列{a n +λn 2+μn }是公比为2的等比数列,即a n +1+λ(n +1)2+μ(n +1)=2(a n +λn 2+μn ),而a n +1=2a n -n 2+3n ,代入得2a n -n 2+3n +λ(n +1)2+μ(n +1)=2(a n +λn 2+μn ),即λn 2+(μ-2λ)n -λ-μ=-n 2+3n , 故⎩⎪⎨⎪⎧λ=-1μ-2λ=3-λ-μ=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-1μ=1.(3)证明:由(2)得a n -n 2+n =(a 1-12+1)·2n -1=2n -1, ∴a n =2n -1+n 2-n ,故b n =1a n +n -2n -1=1n 2.∵b n =1n 2=44n 2<44n 2-1=22n -1-22n +1, ∴n ≥2时,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n <1+(23-25)+(25-27)+…+(22n -1-22n +1)=1+23-22n +1<53. 又b 1=1<53,∴S n <53(n ∈N *).。
一、等差数列选择题1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .2402.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .03.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .54.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .35.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1627.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-,则13525a a a a ++++=( )A .350B .351C .674D .6758.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .249.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .1610.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .15111.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .312.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +13.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸14.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1915.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1316.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5617.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S > D .70S <,且80S <18.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202119.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2220.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=,则下列说法正确的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1{}nS 为递增数列22.题目文件丢失!23.题目文件丢失!24.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23 C .32D .325.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =26.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( ) A .2490a a += B .数列{}n S 中最大值的项是25S C .公差0d >D .数列{}na 也是等差数列28.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =-D .24n S n n =-29.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >30.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,6914a a ⋅=-.12n n n n b a a a ++=⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )A .320n a n =-B .325n a n =-+C .当4n =时,n T 取最小值D .当6n =时,n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B. 2.A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 3.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 4.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7.A 【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时,21112112a S ==+⨯-=;当2n ≥时,()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式,2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此,()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=;故选:A. 【点睛】易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.8.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 9.A【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 10.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 11.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D12.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 13.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 14.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈,所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 15.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 16.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 17.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 18.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=,所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 19.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列, 则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 20.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .二、多选题21.AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求S n ,最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-=因此数列1{}n S 为以114S =为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确; 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=,即A 正确; 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,即B ,C 不正确; 故选:AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.22.无23.无24.BD【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论.【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-, 212131()2a ∴==--; 32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD .【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.25.BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为30S =,46a =, 所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=, 故选:BC26.AC【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误.【详解】 令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222n n n na d S d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误.故选:AC .【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定;3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断.27.AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+,1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,1492a d =-,10a >,所以0d <,所以C 选项错误. 对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭,令0n a ≥得51510,22n n -≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确. 对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列{}na 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误. 故选:AB【点睛】等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.28.AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,进而得13,2a d =-=,故25n a n =-,24n S n n =-.【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得:1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解方程组得:13,2a d =-=,所以()31225n a n n =-+-⨯=-,24n S n n =-.故选:AD.29.ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误.故选:ABC .【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.30.AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值.【详解】解:在递增的等差数列{}n a 中,由5105a a +=,得695a a +=,又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)3963a a d ---===-,16525317a a d =-=--⨯=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.故A 正确,B 错误;12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.故选:AC .【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题.。