2020届河南省十所名校高三毕业班阶段性测试数学(理)试题Word版含解析

河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试（六）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,3,5,6A =，{}8|0B x N x =∈<<，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．在复平面内，复数20592iz i-=+的共轭复数对应的向量OZ 为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若双曲线1C 与双曲线2C ：22146x y -=有共同的渐近线，且1C 过点(2,3)，则双曲线1C 的方程为（ ）A ．2212y -= B 2212y -= C ．22123x y -=D ．22132y x -=4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，424S S =，则10a =（ ） A ．9B ．11C ．19D ．215．已知正方体1111ABCDA B C D ﹣中，E 、H 分别为1DD 、AB 的中点，点F 、G 分别在线段BC 、1CC 上，且14CF CG BC ==，则在F 、G 、H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．2021年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标()~15,0.0025N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在()14.9,15.05g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为（ ） 参考数据：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 3507．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称，且()()260f x f x -++=，当[]0,4x ∈时，()31,02255,2482xx f x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，则()()()20202021f f f +=（ ）A ．58-B ．38C ．58D ．1388．2021年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.A ．130B ．190C ．240D ．2509．已知函数()sin (0)f x x ωω=>满足对任意x ∈R ，()(π)f x f x =+，则函数()f x 在[0,2π]上的零点个数不可能为（ ） A ．5B ．9C ．21D ．2310．已知2ln m π=，2ln 1n π=-，22ln p π=-，则（ ）A ．n p m >>B ．p n m >>C ．m n p >>D ．n m p >>11．已知ABC 中，点M 在线段AB 上，260ACB BCM ∠=∠=︒，且23CM CB CA λ-=.若||6CM =，则CM AB ⋅=（ ）A ．B ．C ．27D ．1812．已知直三棱柱111ABCA B C ﹣中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，若点M 在线段1AA 上运动，则四棱锥11M BCC B -外接球半径的取值范围为（）A ．,28⎣⎦B ．24⎣⎦ C ．,28⎣⎦ D ．24⎣⎦二、填空题13．已知实数x ，y 满足32623?3x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为_____．14．运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为________.15．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，过点F 和(,0)R m 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点.若RP PF =，则||PQ =________.三、双空题16．已知数列{}n a 满足1281n n na n a +-=-（*n N ∈），12375a a a ++=，记12323434512n n n n S a a a a a a a a a a a a ++=++++，则2a =_____，使得n S 取得最大值的n的值为_____．四、解答题17．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且b =c =2cos 0ABC S B =△（ABCS为ABC 的面积）．（Ⅰ）求tan A 的值；（Ⅱ）已知点M 在线段AB 上，求sin BMBCM∠的最小值．18．已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=，SBC 为等边三角形，平面SBC ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BC SD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段SA 上靠近S 的三等分点，求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值．19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2⎛ ⎝⎭，顺次连接椭圆C 的4个顶点，得到的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：2y kx =+与椭圆C 交于M ，N 两点，若MON ∠为锐角（O 为坐标原点），求实数k 的取值范围．20．某24小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为2天），已知该款寿司的进价为10元/盒，售价为15元/盒，如果2天之内无法销售，就当做垃圾处理，且2天内的销售情况相互独立，若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续200天该款寿司的日销售情况如表所示：（Ⅰ）求便利店该款寿司这200天的日销售量的方差s 2；（Ⅱ）若n 表示该便利店某日的寿司进货量，用这200天的日销售量频率代替对应日需求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断52n =和53n =哪一种进货量更加合适，并说明理由．参考数据：2650.7775206.0375⨯=，2500.162540.625⨯=． 21．已知函数()()211xf x x e =+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[]1,1-上的最值；（Ⅱ）若函数()()g x f x mx =-在[)1,-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y γγ=⎧⎨=+⎩(γ为参数)，曲线2C 的参数方程为1,121s x ss y s -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(s 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐秘系，已知点A 的极坐标为(1,π)，直线l ：θα=(ρ∈R )与2C 交于点B ，其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的普通方程； （2）过点A 的直线m 与1C 交于M ，N 两点，若//l m ，且||||4||AM AN OB +=，求α的值．23．已知正数m 、n 、p 满足2224m n p ++=.（Ⅰ）比较ln ln ln m n p ++与241x x -+-的大小关系，并说明理由； （Ⅱ）若2m n mn +=，求p 的最大值.参考答案1．B 【分析】求出集合A ，B ，图中阴影部分表示的集合为BA ，由此能求出图中阴影部分表示的集合的元素个数． 【详解】解：∵集合{}1,3,5,6A =，{}{}081,2,3,4,5,6,7|B x N x =∈<<=，∴图中阴影部分表示的集合为{}2,4,7BA =，∴图中阴影部分表示的集合的元素个数为3． 故选：B ． 【点睛】本题考查图示法表示集合的相互关系，考查求集合的补集运算，属于基础题. 2．A 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行判断，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()2059220517085292929285i i i iz i i i i ----====-++-，则2z i =+，共轭复数对应的向量()2,1OZ =， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的几何意义及其应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．D 【分析】根据双曲线1C 与双曲线2C ：22146x y -=有共同的渐近线，设双曲线1C 的方程为2246x y λ-=，然后将(2,3)代入求解. 【详解】设双曲线1C 的方程为2246x y λ-=，将(2,3)代入， 解得12λ=-， 故双曲线1C 的方程为22132y x -=.故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题. 4．C 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件列出首项1a 和公差d 的方程，求出通项公式，从而可得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由35a =，424S S =，得11125,? 4684.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，， 所以12(1)21n a n n =+-=-，故1019a =. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查数学运算的核心素养,属于基础题. 5．B 【分析】由题意作出图形，取CE 、1CC 的中点I 、M ，连接AI 、IG 、EM ，证明出//AI GH ，利用线面平行的判定定理可知//GH 平面ACE ，又HF 、GF 均不与平面ACE 平行，即可得出结论. 【详解】作出图形如下所示，取CE 、1CC 的中点I 、M ，连接AI 、IG 、EM ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，E 、M 分别为1DD 、1CC 的中点，//DE CM ∴且DE CM =， ∴四边形CDEM 为平行四边形，//EM CD ∴且EM CD =，I 、G 分别为CE 、CM 的中点，则//IG EM 且12IG EM =， //AB CD 且AB CD =，//EM AB ∴且EM AB =，H 为AB 的中点，//AH EM ∴且12AH EM =，//AH IG ∴且AH IG =， ∴四边形AHGI 为平行四边形，则//GH AI ，又GH ⊄平面ACE ，AI⊂平面ACE ，故//GH 平面ACE ；若//HF 平面ACE ，HF ⊂平面ABCD ，平面ABCD平面ACE AC =，则//HF AC ，由于H 为AB 的中点，则F 为BC 的中点，矛盾，故HF 与平面ACE 不平行； 过点F 作//FN AB 交AC 于点N ，连接IN ，14CF CB =，则14FN AB =，若//FG 平面ACE ，FG ⊂平面FGIN ，平面FGIN 平面ACE IN =，//FG IN ∴，//IG EM ，//AB EM ，//FN AB ，//IG FN ∴，则四边形FGIN 是平行四边形，但1122IG EM AB ==，则IG NF ≠，矛盾. 故在F 、G 、H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为1． 故选：B ． 【点睛】本题考查线面平行的判断，考查了线面平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．D 【分析】根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求出对应的频数． 【详解】由题意知，()~15,0.0025N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以()()0.68270.954514.915.0520.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件）， 又()()10.997315.1532P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态曲线的对称性求概率，属于容易题. 7．A 【分析】推导出函数()y f x =是周期为8的周期函数，据此可得()()20204f f =，()()()202133f f f =-=-，结合函数的解析式求出()()2020f f 和()2021f 的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，定义域为R 的函数()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =为奇函数，则有()()f x f x -=-，由()()260f x f x -++=，得()()()622f x f x f x +=--=-， 变形可得()()8f x f x +=，即函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()2020482524f f f =+⨯=，()()()()20213253833f f f f =-+⨯=-=-，又由当[]0,4x ∈时，()31,02255,2482xx f x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，则()40f =，()538f =.则()()202040f f ==，则有()()()202040f f f ==.故()()()5520202021088ff f +=-=-. 故选：A ． 【点睛】本题考查利用函数的基本性质求函数值，推导出函数的周期是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【分析】设男、女生的人数都为5x ，列出22⨯列联表，计算2K 的值，查表解不等式即可. 【详解】依题意，设男、女生的人数都为5x ，则男、女学生总数量为10x ， 建立22⨯列联表如下所示：故()2222831010553721x x xx K x x x x =⋅⋅⋅⋅-=，由题可知106.63510.82821x <<， 所以139.33510227.388x <<.只有B 符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查独立性检验，考查数学运算、数学建模的核心素养. 9．D 【分析】根据题意，可知π为函数()f x 的最小正周期的整数倍，根据最小正周期公式算得2k ω=，*k ∈N ，分析出当1,2,3,4,5k =时，函数()f x 的零点个数，总结出当2k ω=，*k ∈N 时，函数()f x 在[0,2π]上有41k +个零点，即可得出答案. 【详解】解：由于()(π)f x f x =+，得π为函数()f x 的最小正周期的整数倍，且*2ππ,k kω=∈N ， 所以2k ω=，*k ∈N ，故当1k =，2=ω时，函数()f x 在[0,2π]上有5个零点， 当2k =，4ω=时，函数()f x 在[0,2]π上有9个零点， 当3k =，6ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有13个零点， 当4k =，8ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有17个零点， 当5k =，10ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有21个零点，…，故当2k ω=，*k ∈N 时，函数()f x 在[0,2π]上有41k +个零点，只有选项D 不符合. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，涉及正弦型函数的周期性和零点个数，考查分析和运算能力. 10．A 【分析】 可知21ln m π=>，20ln 1n π=>-，202ln p π=>-，比较三个分式的分母的大小，利用不等式的基本性质可得出结论. 【详解】可知0m >，0n >，0p >，因为22ln 1lnn eππ==-，2222ln lnp e ππ==-， 又223lnlnlnln10e eeπππ-=<=，所以2lnlne eππ<，故n p >，而22ln 1ln m ππ==，而()112ln ln 220ln ln ππππ--=+->>，所以12ln ln ππ>-，即22ln 21n ππ<-，即<m p . 因此，n p m >>. 故选：A ． 【点睛】本题考查代数式的大小比较，考查对数函数单调性与不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题. 11．C 【分析】依题意，得23CM CB CA λ=+，而A ，B ，M 三点共线，所以13λ=.以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设||CA a =，||CB b =，根据条件可得2b B ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，再由1233CM CB CA =+，可建立关于a b ，的方程，可求出a b ，，从而得出答案. 【详解】依题意，得23CM CB CA λ=+，而A ，B ，M 三点共线，所以13λ=.以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设||CA a =，||CB b =，则(,0)A a ，由260ACB BCM ∠=∠=︒，则2b B ⎛⎫⎪⎝⎭，30BCM ∠=︒ 又||6CM =，则M . 由于1233CM CB CA =+，即2,063b a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2633,? b a ⎧+=⎪⎪=⎩解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以(0,9)AB =，所以27CM AB ⋅=. 故选：C【点睛】本题考查三点共线的充要条件、平面向量的基本定理、向量的坐标表示，考查直观想象、数学建模的核心素养，属于中档题. 12．C 【分析】首先把三棱柱体转换为正方体，利用B 、C 、1C 、1B 在球面上，球心G 在线段2OO上，整理出关系式222R x y =+，且2222R y ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭，然后利用勾股定理的应用建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果． 【详解】将三棱柱111ABC A B C -补成一个正方体1111ABDC A B D C -． 设四棱锥体11M BCC B -外接球的球心为G ，1AA 的中点为1O ，1DD 的中点为2O ，12O O 的中点为O ，如图所示，则12OO =，OB =， 由于B 、C 、1C 、1B 在球面上，所以球心G 在线段2OO 上， 设GM GB R ==，1O M x =，1O G y =，则2OG y =-，在1Rt O MG △中，222R x y =+①在1Rt O BG 中，22222R y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②得254x =，由于102x ≤≤，故28y ≤，故2222253325,424432R x y y y ⎛⎡⎤=+=+=+∈ ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭，所以,28R ∈⎣⎦．故选：C ． 【点睛】本题主要考查求几何体外接球的半径取值范围，熟记几何体结构特征即可，属于常考题型. 13．11 【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，根据目标函数的几何意义，结合图像，即可求出结果. 【详解】已知实数x ，y 满足326233x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，因为目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得， 当直线2y x z =-+过点A 时，在y 轴的截距最大，即z 最大，由3263x y y -=⎧⎨=⎩解得()4,3A ，23x y +=此时max 8311z =+=. 故答案为：11．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14．1011 【分析】根据程序框图可得T 是对偶数求和，N 是对奇数求和，再根据循环条件可分别得出奇数、偶数的个数，从而得出答案. 【详解】依题意，024*********T =++++++，135720192021N =++++++，故()()()13254202120201011S N T =-=+-+-++-=.故答案为：1011 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查循环结构，考查直观想象、推理论证的核心素养，属于中档题. 15．9 【分析】根据抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，求得抛物线方程28x y =.再由RP PF =和(0,2)F ，得到点P 的坐标，进而得到直线l 的方程，与抛物线方程联立求得Q 的坐标，再由两点间距离公式求解. 【详解】由抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4， 所以=4p ，所以抛物线方程为28x y =. 因为RP PF =，(0,2)F ， 所以点P 的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P 的横坐标为±，不妨设(P -，则4PF k ==故直线l 的方程为24y x =+，将其代入28x y =得2160x --=.可得Q ， 故||PQ =.故答案为：9 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．25 10 【分析】由已知递推式可得128a =，225a =，322a =，推得()12811n n a a n n n n +-=---，可令1n n a c n+=（2n ≥），运用叠加法可得n c ，313n a n =-，求得()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++==---，令0n b ≥，求得n 的范围，即可得到所求最大值n ． 【详解】 由1281n n na n a +-=-（*n N ∈），可取1n =，即1280a -=，可得128a =，取2n =，可得232281a a -=，即32228a a =-，又12375a a a ++=， 可得225a =，322a =，当2n ≥时，由1281n n na n a +-=-可得()12811n n a a n n n n +-=---，可令1n n a c n +=（2n ≥），则111281n n c c n n -⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，由()()12111111112812321n n n c c c c c c c n n -⎛⎫=+-++-=+-+-++- ⎪-⎝⎭， 可得1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-， 故1283n a n +=-（2n ≥），所以313n a n =-（3n ≥），又128a =，225a =，也符合上式，所以313n a n =-， 于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++==---，由0n b ≥，可得()()()3132832530n n n ---≥，解得18n ≤≤（*n N ∈）或10n =， 又因为98b =-，1010b =，所以10n =时，n S 取得最大值． 故答案为：25，10． 【点睛】本题主要考查由递推关系求数列中的项，以及求数列的前n 项和的最值，属于常考题型.17．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由题意利用三角形的面积公式结合cos 0B ≠，可求tan B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，由正弦定理解得sin 7C =，结合b c >，利用同角三角函数基本关系式可求cos C ，tan C 的值，进而利用两角和的正切函数公式即可求解tan A 的值． （Ⅱ）在ABC 中，由余弦定理可得a 的值，在MBC △中，由正弦定理得sin sin BM CM BCM B ==∠，由（Ⅰ）可知，A ，B 为锐角，可得当CM BA ⊥时，点M 在线段AB 上，CM 取得最小值sin a B =，即可求解sin BM BCM ∠的最小值．【详解】解：（Ⅰ）由题意可得cos 2ABC S ac B =△，即1sin cos 22ac B ac B =， 因为cos 0B ≠，所以tan B =()0,B π∈，所以3B π=，由正弦定理sin sin b cB C=sin 2C=，解得sin C =，因为b c >，故cos C ==tan C =，故()tan tan A B C =-+==（Ⅱ）在ABC中，由余弦定理，可得(2222cos3a π=+-⋅⋅，解得a =，或a =， 在MBC △中，由正弦定理，可得sin sin BM CM BCM B ==∠，由（Ⅰ）可知，A ，B 为锐角，所以当CM BA ⊥时，点M 在线段AB 上，CM取得最小值sin 2a B =， 故sin BMBCM∠的最小值为【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，属于中档题. 18．（Ⅰ）证明见解析；【分析】（Ⅰ）取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，证明BC ⊥平面SDF 即可；（Ⅱ）证明SF 、BC 、DF 两两垂直，由此建立空间直角坐标系F xyz -，求出平面SAB 的一个法向量，再求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，因为SBC 为等边三角形，所以SF BC ⊥； 又四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， 所以BCD 为等边三角形，所以DF BC ⊥； 又SFDF F =，SF ⊂平面SDF ，DF ⊂平面SDF ，所以BC ⊥平面SDF ，又SD ⊂平面SDF ， 所以BC SD ⊥；（Ⅱ）解：因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC平面ABCD BC =，SF BC ⊥，SF ⊂平面SBC ，所以SF ⊥平面ABCD ；又DF BC ⊥，所以SF 、BC 、DF 两两垂直；以点F 为坐标原点，FC 、FD 、FS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系F xyz -，如图所示；不妨设2AB =，则()A -，()1,0,0B -，(S ；所以()1,AB =，(2,AS =； 设平面SAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由00m AB m AS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得3020x y x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得()3,1,1m =-，又1233SE SA ⎛==- ⎝⎭，所以23E ⎛- ⎝⎭， 又()D，所以2,333DE ⎛=-- ⎝⎭，设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ，则23sin 412DE m DE mθ-⋅===⨯+．所以直线DE 与平面SAB所成角的正弦值为35. 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间直线和平面所成角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）由题可知，22115141612242a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解之即可得a 和b 的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，消去y ，结合韦达定理求出12x x 和12y y ，由于MON ∠为锐角，所以0OM ON ⋅>，即12120x x y y +>，代入结论解不等式即可得k 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）由题可知，221151********a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解得2a =，1b =，故椭圆的方程为2214x y +=．（Ⅱ）联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 由()22214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭，得k <或k > 设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122414k x x k +=-+，122314x x k =+， 所以()()()22221212121222238122244111444k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++．因为MON ∠为锐角，所以0OM ON ⋅>，即222311144k k k -++>++，解得24k <，即22k -<<，综上所述，实数k的取值范围为2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查根据点在椭圆上和椭圆的性质求椭圆方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查求参数的范围，属于中档题.20．（Ⅰ）1.5；（Ⅱ）53n =更加合适，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）由频数分布列先求出便利店该款寿司这200天的日销售量的平均数，由此能求出便利店该款寿司这200天的日销售量的方差2s ．（Ⅱ）连续两天需求量的可能情况列表，求出当52n =时，连续两天的销售总利润i Y 的分布列和()1E Y 及当53n =时，连续两天的销售总利润Y 2的分布列和()2E Y ，由()()21E Y E Y >，得到53n =更加合适．【详解】（Ⅰ）日销售量为25，26，27，28，29时，对应的频率分别为0.2，0.05，0.4，0.25，0.1， 则250.2260.05270.4280.25290.127x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴()()()()2222225270.226270.0528270.2529270.1 1.5s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=． （Ⅱ）依题意，连续两天需求量的可能情况如下表：设当52n =和53n =时，连续两天的销售总利润分别为1Y ，2Y 元， 当52n =时，连续两天的销售总利润Y i 的分布列如下：∴()12600.942450.022300.04258.5E Y =⨯+⨯+⨯=， 当53n =时，连续两天的销售总利润2Y 的分布列如下所示：∴()22650.77752500.1622350.022200.04260.1625E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． ∵()()21E Y E Y >， ∴53n =更加合适． 【点睛】本题主要考查了平均值、方差的求法，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题. 21．（Ⅰ）最小值为21e -，最大值为21e -；（Ⅱ）()21,11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与函数单调性，最值即可求解；（Ⅱ）先对函数求导，然后结合导数与函数单调性关系对m 进行分类讨论确定函数的单调性，然后结合函数的性质及零点存在性定理可求． 【详解】（Ⅰ）依题意，()22()12(1)0x xf x x x e e x '=++=≥+， 故函数()f x 在[]1,1-上单调递增， 故函数()f x 的最小值为()211f e-=-，最大值为()112=-f e . （Ⅱ）因为()()211xg x x e mx =+--，故()()21x g x x e m '=+-， ①当0m ≤时，()0g x '≥，()g x 在[)1,-+∞上为增函数，故函数()g x 在[)1,-+∞上不可能有两个零点； ②当0m >时，易知()g x '在[)1,-+∞上为增函数，()01g m '=-，()00g =.（i ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<，故()g x 在[)1,0-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，()()min 00g x g ==，故()g x 在[)1,-+∞上有且仅有一个零点. （ii ）当1m 时，()00g '<，()()()22110m g m m e m m m '=+->+->，故()00,x ∃∈+∞，使得()00g x '=. 所以在[)01,x -上，()00g x '<， 在()0,x +∞上，()00g x '>，所以()g x 在[)01,x -上为减函数，在()0,x +∞上为增函数. 所以()0(0)0g x g <=，又()()2222()11110m g m m e m m m =+-->+--=， 根据零点存在性定理，可知()g x 在()0,x m 上有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0， 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞上有两个零点. （iii ）当01m <<时，()10g m '-=-<，()010g m '=->，所以()'01,0x ∃∈-，使得()'00g x '=.所以在)'01,x ⎡-⎣上，()'00g x '<，在()'0,x +∞上，()'00g x '>， 所以()g x 在)'01,x ⎡-⎣上为减函数，在()'0,x +∞上为增函数.因为()g x 在()'0,x +∞上有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞上有两个零点，则在)'01,x ⎡-⎣上有且只有一个零点.又()()'000g x g <=，所以()10g -≥，即210em +-≥， 故21m e ≥-，即当211m e-≤<时， ()g x 在[)1,-+∞上有两个零点.综上所述，实数m 的取值范围为()21,11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查用导数的方法求函数的最值，以及由函数零点个数求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于较难型. 22．（1）2sin ρθ=；10x y +-=(1x ≠-)（2）π4α=. 【分析】（1）消去参数即可得曲线1C 、2C 的直角坐标方程，由极坐标方程与直角坐标方程转化公式即可得曲线1C 的极坐标方程；（2）设直线l 的参数方程，进而可得直线m 的参数方程，分别与2C 、1C 联立，可得M ，N ，B 对应的参数M t ，N t ，B p 的关系，代入计算即可得解. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y γγ=⎧⎨=+⎩，(γ为参数)，∴曲线1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，即2220x y y +-=．由sin y ρθ=，222x y ρ=+得曲线1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=．由曲线2C 的参数方程1121s x ss y s -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(s 为参数),可得12111s s x y s s -+=+=++， 又1(1)2211111s s x s s s--++===-+≠-+++， 故曲线2C 的普通方程为10x y +-=(1x ≠-)． （2）A 的极坐标为(1,π)，故A 的直角坐标为(1,0)-，设l ：cos ,sin x p y p αα=⎧⎨=⎩(p 为参数)，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线m ：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立m ：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩与1C 的方程22(1)1x y +-=，得22(sin cos )10t t αα-++=,24(sin cos )40αα∆=+->，联立l ：cos sin x p y p αα=⎧⎨=⎩与2C 的方程10x y +-=(1x ≠-)，得(sin cos )1(tan 2)p ααα+=≠-．设M ，N ，B 对应的参数分别为M t ，N t ，B p ， 则2(sin cos )M N t t αα+=+，1sin cos B p αα=+，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得,,0M N B t t p >， ∴2(||||41||sin cos )sin cos AM AN OB αααα+++==，化简得2sin cos 1αα=即sin21α=， ∴π4α=.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程及极坐标方程之间的转化以及直线参数方程的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.23．（Ⅰ）ln ln ln 241m n p x x ++<-+-，理由见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）利用三元基本不等式得出mnp ≤，然后利用对数的运算性质结合对数函数的单调性得出ln ln ln 1m n p ++<，利用放缩法结合绝对值三角不等式得出2411x x -+-≥，由此可得出结论；（Ⅱ）由2m n mn +=可得出2114m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此可得出()2222211124m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，可得出关于正数p 的不等式，即可解得正数p 的最大值. 【详解】（Ⅰ）因为ln ln ln ln m m n p np =++，而()222233m n p mnp ++≥=，mnp ≥，当且仅当m n p ===时等号成立.所以ln ln ln ln 1m n p e ++≤<=.而24121211x x x x x x -+-≥-+-≥-+-=， 所以ln ln ln 241m n p x x ++<-+-；（Ⅱ）因为2m n mn +=，故112m n +=，即2114m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故()222221114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭21224mn ⎛≥⋅⋅= ⎝， 当且仅当1m n ==时等号成立.因为2224m n p +=-，故242p -≥，则22p ≤，则p ≤0p >，0p ∴<≤，所以p.【点睛】本题考查基本不等式、绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中等题.。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．143．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．165．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2b 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2√23 D ．2√336．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6 8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2] 9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．1210．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．1−π4B．π4C．1−2πD．2π11．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当x∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣312．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝（x﹣2）lnx，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（填写字母）．16．设F1，F2是椭圆C：x2+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，4若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．（1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．19．已知O 为坐标原点，点F （0，1），M 为坐标平面内的动点，且2，|FM →|，2OM →⋅OF →成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点N （0，2）作直线l 交曲线T 于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC →⋅QD →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）＝axe x +（x +1）sin x +cos x ．（1）若a ＝1，x ≥−π2，求函数f （x ）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosx x ，x ∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g （x ）的导函数g '（x ）存在零点，求实数a 的取值范围．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若E ξ1＝E ξ2，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系p ＝f （k ）； （ⅱ）若p =1−1√e 4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值．（ln 4＝1.386，ln 5＝1.609，ln 6＝1.792，ln 7＝1.946，ln 8＝2.079，ln 9＝2.197）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|．（1）求函数f （x ）的最大值M ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝M ，求a a+2+2b 2b+1的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B＝（1，+∞），故选：B．【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．14【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z=1(i−1)2=1−2i=i−2i⋅i=12i，则|z|=12．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元【分析】根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．16【分析】求出展开式的通项，然后分别求出x2，x4项的系数相加即可．解：（x+1）5＝（1+x）5，所以展开式的通项可写为：T k+1=C5k x k，k＝0，1， (5)所以a2+a4=C52+C54=15．故选：C．【点评】本题考查二项展开式通项的应用．注意系数与二项式系数的区别．属于基础题．5．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A，B两点，若△AOB的面积为2b2，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2√23D．2√33【分析】写出双曲线的渐近线方程，求得|AB|，代入三角形面积公式，整理可得双曲线C 的离心率．解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，则|AB|=2bca，则S△AOB=12×2bc a×c=2b2，即c4﹣4a2c2+4a4＝0，则（c2﹣2a2）2＝0．∴c2＝2a2，得e=ca=√2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．22【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果．解：数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数， 所以：a 2＝1，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝16．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：根据三视图中的数据，所以AE ＝2，BE ＝CE ＝1，DE ＝2，所以AD =√22+22=2√2，AB ＝AD ＝AC ＝CD =√12+22=√5．则S △ABD =S △ACD =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6．S △ABC =S △BCD =12×2×2=2．故几何体的表面积S ＝2×2+2×√6=4+2√6． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换．几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2]【分析】求出函数的单调递增区间为，结合单调性之间的关系建立不等式组进行求解即可．解：由2k π−π2≤ωx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ， 得2k π−5π6≤ωx ≤2k π+π6，k ∈Z ， 即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，k ∈Z∵f （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增， ∴此时函数单调递增区间经过原点，则当k ＝0时，增区间为[−5π6ω，π6ω]． 此时满足{−5π6ω≤−π6π6ω≥π3，得{ω≤5ω≤12，解得0＜ω≤12， 即ω的取值范围是（0，12]，故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数的单调性求出递增区间，建立不等式关系是解决本题的关键．难度不大．9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．12【分析】根据条件建立坐标系，求出各点坐标，以及对应向量的坐标，代入数量积，结合二次函数的性质即可求解．解：因为平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°， 对角线AC 与BD 相交于点O ， 故ABCD 为菱形，建立如图坐标系；则A （−√3，0），B （0，﹣1），C （√3，0），D （0，1）；故直线BC 的方程为：y =√33x ﹣1；∵点M 是线段BC 上一点；故M （x ，√33x ﹣1）；且 0≤x ≤√3； ∴OM →=（x ，√33x ﹣1）；CM →=（x −√3，√33x ﹣1）； 故OM →•CM →=x （x −√3）+（√33x ﹣1）2=43x 2−5√33x +1；对称轴x =5√38∈[0，√3]∴当x =5√38时，OM →•CM →取最小值为：43×（5√38）2−5√33×5√38+1=−916；故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于基础题．10．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则P （B |A ）＝（ ）A ．1−π4B ．π4C ．1−2πD ．2π【分析】由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用对立事件的概率求出P （B |A ）的值．解：由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ， 则圆I 的半径为r ＝a ，面积为πa 2； 正方形EFGH 的边长为√2a ，面积为2a 2； ∴所求的概率为P （B |A ）＝1−2a 22=1−2π．故选：C ．【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题．11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），且当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）＝（ ） A ．6 B ．3 C ．0 D ．﹣3【分析】根据题意，分析可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性求出f （0）、f （1）、f （2）、f （3）、f （4）、f （5）的值，即可得f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值，结合周期性分析可得答案．解：根据题意，对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），则有f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f （3）＝﹣f （0）＝0， 又由当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （1）＝3，f （2）＝f （﹣1+3）＝﹣f （﹣1）＝f （1）＝3，f （4）＝f （1+3）＝﹣f （1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39【分析】V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，由此能求出四棱锥P﹣AMEN体积的最小值．解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，∴V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，M ，O ，V 三点共线，且PN →=λPD →，PM →=μPB →，|PD →||PN →|=1λ，|PB →||PM →|=1μ，PV →=23PO →=13(PD →+PB →)=13λPN →+13μPM →，13λ+13μ=1，∴2|PN →|+2|PM →|=3，∵3=2|PN →|+2|PM →|≥2√2|PN →|⋅2|PM →|，∴|PN →|•|PM →|≥169，当且仅当2|PN →|=2|PM →|时，取“＝”， ∴V P ﹣AMNE =12S △PMN =12×12×|PN →|×|PM →|×sinπ3≥12×12×169×√32=29√3． ∴四棱锥P ﹣AMEN 体积的最小值为2√39．故选：D ．【点评】本题考查四棱锥体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝（x ﹣2）lnx ，则函数f （x ）在x ＝1处的切线方程为 x +y ﹣1＝0 ． 【分析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．解：∵f′(x)=lnx +x−2x，∴f′（1）＝﹣1，f（1）＝0，故切线方程为：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝4．【分析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．解：数列{a n}为公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，由a1，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，化为a1＝d，由S5＝15，可得5a1+10d＝15，即a1+2d＝3，解得a1＝d＝1，则a4＝a1+3d＝4．故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是K（填写字母）．【分析】根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，7．结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知E→灰1；L→白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰7→H．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白5→F．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰5→P．则灰4只能在K位置，白3→M，白4→N，白1→I，灰2→J．故选：C．【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于中档题．16．设F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为4．【分析】由题意四边形为平行四边形，设平行线间的距离为d，所以四边形的面积为S= 12|AB|•d，分两条直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在且不为0时，设直线l1的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，再求平行线间的距离d的值，求出面积S的表达式，换元再由均值不等式求出面积的取值范围，进而求出面积的最大值．解：由题意可得椭圆的焦点F1，F2的坐标分别为（−√3，0），（√3，0），因为l1∥l2，设平行线间的距离为d，所以四边形ABCD面积为S=12|AB|•d，①当直线的斜率不存在时，可得四边形ABCD为矩形，设直线AB的方程：x＝±√3，代入椭圆的方程可得y＝±b2a=±12，所以|AB|＝|CD|＝2×12=1，d＝|F1F2|，这时S ABCD＝|F1F2|•|AB|＝2√3×1＝2√3，②当直线的斜率存在且不为0时，且m≠0，由椭圆的对称性可得ABCD为平行四边形，设l1的方程为：x＝my−√3，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程{x=my−√3x24+y2=1，整理可得（4+m2）y2﹣2√3my﹣1＝0，x1+x2=2√3m4+m2，x1x2=−14+m2，所以|AB|=√1+m2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+m2√12m2(4+m2)2−4×(−1)4+m2=4(1+m2)4+m2，可得两条平行线间的距离d=√3√1+m，所以S ABCD＝|AB|•d=4(1+m2)2⋅√3√1+m=8√3√1+m22=8√3√1+m2(1+m2)2+6(1+m2)+9=8√3•√1(1+m2)+91+m2+6令t＝1+m2＞1，则t+9t+6≥2√9+6＝12，所以0＜1t+9t+6≤112，所以S≤8√3⋅√112=4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，及换元法的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．【分析】（1）证明A1A⊥AC，AA1⊥A1C1，结合A1P⊥AA1，证明AA1⊥平面A1C1P，推出AA1⊥C1P．（2）以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面A1CP的一个法向量，求出直线BC1对应的向量，然后利用向量的数量积求解直线BC1与平面A1CP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由A1C=2√2，AC＝AA1＝2，所以A1C2=A1A2+AC2，所以A1A ⊥AC，因为A1C1∥AC，所以AA1⊥A1C1，又A1P⊥AA1，A1P∩A1C1＝A1．所以AA1⊥平面A1C1P，所以AA1⊥C1P．（2）解：由（1）知AA1⊥AC，又AA1∥CC1，所以AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，AC⊂平面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC．取BC中点O，由△BCC1为正三角形知C1O⊥BC，C1O⊂平面B1BCC1，又平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，所以C1O⊥平面ABC，以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0），C （0，﹣1，0），B （0，1，0），C 1(0，0，√3)，A 1(2，0，√3)，P(0，32，√32)，A 1P →=(−2，32，−√32)，CP →=(0，52，√32)，BC 1→=(0，−1，√3)，设平面A 1CP 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则n →⋅A 1P →=0且n →⋅CP →=0， 所以{−4x +3y −√3z =05y +√3z =0，取z ＝5，则x =−2√3，y =−√3，n →=(−2√3，−√3，5)．所以cos〈BC 1→，n →〉=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=√32×40=3√3020， 所以直线BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：sin〈BC 1→，n →〉=cos〈BC 1→，n →〉=3√3020，BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：3√3020．【点评】本题考查直线与平面所成角的三角函数值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3． （1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．【分析】（1）利用三角函数化简已知条件，然后通过余弦定理求出BC ，再根据三角形的面积公式即可求出；（2）通过同角的三角函数的关系，正弦定理求出AD ，利用余弦定理求出．解：（1）由tan∠ABC =−√5知，cos∠ABC =√66，sin∠ABC =√306，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝CD ＝3由余弦定理，知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC ，所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍），所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×1×√6×√306=√52．（2）在△ADC 中，因为cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，所以sin∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin∠ACD =√74，由正弦定理CDsin∠DAC=AD sin∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22，又cos ∠BAD ＝cos （∠DAC +∠ACD ）＝cos ∠DAC cos ∠ACD ﹣sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， 在△ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7， 所以BD =√7．【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力．19．已知O为坐标原点，点F（0，1），M为坐标平面内的动点，且2，|FM→|，2OM→⋅OF→成等差数列．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线T，过点N（0，2）作直线l交曲线T于C，D两点，试问在y轴上是否存在定点Q，使得QC→⋅QD→为定值？若存在，求出定点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出点的坐标，根据条件整理即可求得结论；（2）设出直线方程，与曲线的方程联立，再代入数量积求解即可．解：（1）设M（x，y），由条件知|FM→|=1+OM→⋅OF→，所以√x2+(y−1)2=1+y(y≥−1)，两边平方得，x2+y2﹣2y+1＝y2+2y+1，所以x2＝4y满足（y≥﹣1），所以点M的轨迹方程为x2＝4y．（2）由题意知直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，与x2＝4y联立得，x2﹣4kx ﹣8＝0，所以△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，又设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（0，y0），则QC→⋅QD→=(x1，y1−y0)⋅(x2，y2−y0)=x1x2+(y1−y0)(y2−y0)＝x1x2+（kx1+2﹣y0）（kx2+2﹣y0）=(k2+1)x1x2+k(2−y0)(x1+x2)+(2−y0)2=−8(k2+1)+4k2(2−y0)+(2−y0)2=(2−y0)2−8−4y0k2为定值，从而得y0＝0，所以存在定点Q（0，0），使得QC→⋅QD→为定值﹣4．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．20．已知函数f（x）＝axe x+（x+1）sin x+cos x．（1）若a＝1，x≥−π2，求函数f（x）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosxx，x∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g（x）的导函数g'（x）存在零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），通过对x分类讨论：x∈[−π2，π2]，x＞π2，可得：e x+cos x＞0，进而得出单调性．（2）由题意得，g（x）＝ae x+sin x，x∈[−π4，0)∪(0，7π4]，函数g'（x）有零点，即g'（x）＝ae x+cos x＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，可得a=−cosxe x，利用导数研究其调调性即可得出．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），当x∈[−π2，π2]时，e x＞0，cos x≥0，所以e x+cos x＞0，当x ＞π2时，e x ＞1，|cos x |≤1，所以e x +cos x ＞0， 所以当x ≥−π2时，e x +cos x ＞0．故由f '（x ）≥0，得x ≥﹣1；由f '（x ）＜0，得−π2≤x ＜−1， 所以f （x ）的减区间为[−π2，−1)，单调递增区间为[﹣1，+∞）， 所以f （x ）的最小值为f(−1)=−1e+cos1．（2）由题意得，g （x ）＝ae x +sin x ，x ∈[−π4，0)∪(0，7π4]， 函数g '（x ）有零点，即g '（x ）＝ae x +cos x ＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，所以a =−cosxe x ，设m(x)=−cosxe x ，则m′(x)=sinx+cosxe x， 若m '（x ）≥0，则sin x +cos x ≥0，即√2sin(x +π4)≥0，解得−π4≤x ≤3π4，且x ≠0； 若m '（x ）＜0，则sin x +cos x ＜0，即√2sin(x +π4)＜0，解得3π4＜x ＜7π4，所以m （x ）在[−π4，0)，(0，3π4]上是增函数，在(3π4，7π4]上是减函数． 而m(−π4)=−√22e π4，m （0）＝﹣1，m(3π4)=√23e −3π4，m(7π4)=−√22e −7π4，又−√22e −7π4＞−1，所以−√22e π4≤a ＜−1，或−1＜a ≤√22e −3π4．所以实数a 的取值范围是[−√22e π4，−1)∪(−1，√22e −3π4]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数的单调性、分类讨论方法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n∈一、选择题*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）若p=1−1√e4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，得到k（1﹣p）k＞1．结合p=1−e−14，推出(e−14)k＞1k，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解k的最大值．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则P(A)=A22A44 A66=1 15，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115．（2）（ⅰ）由题意知E ξ1＝k ，ξ2取值的可能有1，k +1，p(ξ2=1)=(1−p)k ，p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，所以Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ， 由E ξ1＝E ξ2，得k ＝k +1﹣k （1﹣p ）k ，即(1−p)k =1k ，所以p =1−(1k )1k ，所以p 关于k 的函数关系p =1−(1k)1k (k ∈N ∗，2≤k ≤n)．（ⅱ）由题意知，E ξ1＞E ξ2，所以k ＞1+k ﹣k （1﹣p ）k ，即k （1﹣p ）k ＞1． 所以1k ＜(1−p)k ，又p =1−e −14，所以(e −14)k ＞1k，两边同时取对数，得−k 4＞−lnk ，即lnk −k 4＞0，设f(x)=lnx −x4，则f′(x)=1x −14，易知函数f （x ）在（4，+∞）上单调递减， f （8）＝ln 8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，f(9)=ln9−94=2.197−2.25＜0， 所以k 的最大值为8．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，古典概型概率的求法，构造法的应用，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 28+y 22=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．转换为直角坐标方程为√22x +√22y =8√2，整理得x +y ﹣16＝0．（2）曲线C 的直角坐标方程转换为极坐标方程为(ρcosθ)28+(ρsinθ)22=1，直线l 的直角坐标方程转换为极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）＝16， 设A （ρA ，θ），B （ρB ，θ），M （ρ，θ）， 由于M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，所以ρA2=ρ⋅ρB ，整理得ρA 2=1cos θ8+sin 2θ2=16⋅ρcosθ+sinθ，所以cosθ+sinθ=16ρ(cos 2θ8+sin 2θ2)，转换为直角坐标方程为x +y ＝2x 2+8y 2， 即2x 2+8y 2﹣x ﹣y ＝0．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|． （1）求函数f （x ）的最大值M ；。

2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

河南省天一大联考2020届高三阶段性测试（全国卷）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：本题选择A选项.2. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B3.）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得4. 下列说法中，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】选项C，平面由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. ）D.【答案】D，结合本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. ，且函数）B. C.【答案】A7. ）【答案】C，，据此可得：本题选择C选项.8. 250，则判断框中可以填（）C.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. ，第一周的比赛中，踢了3场，4场，2队未踢过，队与）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】DCD D队参加的比赛为：已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，中进行的比赛中，，2场，即余下的比赛为：综上可得，第一周的比赛共11本题选择D选项.10. 的左焦点，过点轴的直线分别在第二、三象限交双曲线的渐近线方程为（）D.【答案】A可得：，则：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D.【答案】D两三棱柱相交部分的面积为：，本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. ）B. C. D.【答案】B所以在得令，，在，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。

…………○…………装…………学校:___________姓名：_________…………○…………装…………绝密★启用前河南省大联考2020届高三阶段性测试（七）理科数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（ ） A.2B.4C.6D.82.下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（ ）A.2.2B.4.2C.6.2D.6.43.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）答案第2页，总18页…………装…………○…………………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※答※※题※※…………装…………○…………………○…………线…………○A.16B.48C.96D.1284.函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.已知函数())2sin cos 12sin 2f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的图象关于直线6x π=对称D.()f x 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）6.若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________. 三、解答题（题型注释）7.某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．8.已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AFO π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 9.已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.10.在极坐标系Ox 中，曲线C 2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，设l 与C 交于,A B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于,E F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；答案第4页，总18页（2）求证：||||||||MA MB ME MF ⋅=⋅. 11.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值. 四、新添加的题型12.已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（ ） A.{}0x x < B.{}3x x <C.{}23x x <<D.{}230x x x <<<或13.已知双曲线()2221016x y b b -=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（ ） A.4B.5C.8D.1014.若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A.21B.16C.13D.1115.《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（ ） A.第10日B.第11日C.第12日D.第60日16.已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值范围是（ ） A.[]4,4-B.[]8,9-C.[]4,8-D.[]0,1217.已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A.30,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ B.22⎡-⎢⎣⎦………装……__________姓名：____………装…… C.0,22⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦ D.2⎫+∞⎪⎪⎣⎭18.若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A.20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.21,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C.42,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D.11,2e e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 19.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________.20.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________. 21.已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________. 22.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若a =2c =，求ABC 的面积.23.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角.答案第6页，总18页参考答案1.B【解析】1.【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4． 2.C【解析】2.根据条形图，可求出,x y ，由回归直线经过样本点的中心(),x y ，可求出a . 本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =. 故选：C. 3.B【解析】3.列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环.第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 4.B【解析】4.由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B. 5.B【解析】5.先利用三角恒等变换化简函数得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数性质求解即可. 由题可知()1sin 2sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误； 函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确； 函数()f x 的最大值为1，故D 错误； 故选：B. 6.【解析】6.本题考查圆台的几何特征.设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即2h =所以h =. 7.（1）见解析（2）需要，见解析【解析】7.（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；答案第8页，总18页（2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-； 若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.8.（1）22143x y +=；（2）见解析.【解析】8.（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. （1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AFO π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴==因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=，且122843km x x k +=-+，212241243mx x k -=+，1211k k k =-，1212k k k k ∴=+，1212=，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130k k x x k m x x m-+-++-+=，化简得((23m m =-，3m ≠，(3m ∴=，3m ∴=+， 直线:MN y kx =+MN 过定点⎛ ⎝. 9.（1）证明见解析；（2）12【解析】9.（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. （1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x a f x e x a -'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.答案第10页，总18页（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a -'=-=+，即001x ae x a-=+（*）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. ∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=， 把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 10.（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】10.（1）将曲线C 的极坐标方程变形为22(si )2n ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点,A B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标； （2）求得||||MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得||||ME MF ⋅的值，进而可得出结论. （1）曲线C 的极坐标方程可化为222(sin )ρρθ=-， 即22(si )2n ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，第11页，总18页所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112xy x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则点(0,1)A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，402323+=,111323-+=-, 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由（1）得||||3MA MB ==，8||||9MA MB ∴⋅=， 易知AB 的垂直平分线EF 的参数方程为23132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C 的普通方程得2340233t --=， ,E F 对应的参数为12,t t ，12483392t t =-=-1212483|||||39|||||2ME MF t t t t -∴====⋅⋅，因此，||||||||MA MB ME MF ⋅=⋅. 11.（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】11.（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ． （1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，答案第12页，总18页当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++ 1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． 12.D【解析】12.【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 13.D【解析】13.【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 14.B【解析】14.【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直第13页，总18页…………○…………线…………学校:_____…………○…………线…………线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．15.A【解析】15.本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第()*n n ∈N日行程为()155********nan n =+-=+，同理，可得驽马第()*n n ∈N 日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 16.C【解析】16.本题考查平面向量的数量积.以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-.17.C【解析】17.本题考查直线与抛物线的综合问题.答案第14页，总18页设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FMOF FP OF OP OF OP OFp ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得020023263OM y k y p y ppy p ==++.当00y >时，2OM k ≤=，当00y <时，00222OM k y p p y =-≥=---，故OM k ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦. 18.D【解析】18.本题考查利用导数研究函数极值.由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xx a e +=.函数()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2xx a e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x x y e +=的图象在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11e g x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2ea <<. 19.1172第15页，总18页【解析】19. 本题考查概率的计算.甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 20.4或0【解析】20.本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.21.2【解析】21.本题考查空间几何体与球的相切问题.如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为2323BE =⋅=，AB a ，所以sin 3BAE ∠=.所以1AO =，2AO =.又1212AO AO O O =+，所以r R ++=，所以2R r ===答案第16页，总18页……线…………○……线…………○22.（1）3π；（2）【解析】22.（1）由cos sin 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得sin sin cos B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以sin cos cos sin sin cos sin A C A C A C A C +=， 即cos sin sin sin 3A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan A = 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=.由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=. 所以4b =.所以ABC 的面积11sin 42222S bc A ==⨯⨯⨯= 23.（1）证明见解析；（2）45︒.第17页，总18页……○…………订______班级：___________考号……○…………订【解析】23.（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM . 则12PN PM NA MB ==， 所以MNAB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD . 所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C . 所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,2CM m CM m CM m⋅〈〉==， 所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°.答案第18页，总18页。

河南省十所名校2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x｜y ，B ＝{x ｜x 2－7x ＋6＜0}，则（C R A ）∩B ＝A ．{x ｜1＜x ＜3}B ．{x ｜1＜x ＜6}C ．{x ｜1≤x ≤3}D ．{x ｜1≤x ≤6}2．已知z 1＝5－l0i ，z 2＝3＋4i ，且复数z 满足1211z z z ＝＋，则z 的虚部为 A ．225i B ．－225i C ．225 D ．－2253．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7 ：10．为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为A ．14B ．20C ．21D ．704．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若23a a ＝72a ，5S ＝40，则7a ＝A ．13B ．15C ．20D ．225．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝l ，（a －b ）⊥b ，则向量a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米．跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2．5小时，则他平均每分钟的步数可能为A ．60B ．120C ．180D ．2407．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为AB．6 C． D．6＋ 8．已知双曲线E ：2213x y －＝，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2，0），△PQF的周长为段PQ 的长为A ．2 B． C ．4 D．9．已知函数f （x ）＝x （e x －e －x ），若f （2x －1）＜f （x ＋2），则x 的取值范围是 A ．（－13，3） B ．（－∞，－13） C ．（3，＋∞） D ．（－∞，－13）∪（3，＋∞） 10．已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为－14，则椭圆C 的离心率为 A ．14 B ．12CD11．设函数()2sin f x x ππ＝－在（0，＋∞）上最小的零点为x 0，曲线y ＝f （x ）在点（x 0，0）处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x ＝－上有一点Q ，则｜PQ ｜的最小值为A．10 B．5 C．10 D．512．已知四棱锥P －ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为A ．23B ．23C．3 D ．13或3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量x ，y 满足约束条件70102x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≤，－－≤，≥，则目标函数11y z x －＝－的最大值为__________． 14．已知正项等比数列{n a }满足2a ＝4，4a ＋6a ＝80．记n b ＝2log n a ，则数列{n b }的前50项和为__________．15．在（1－2x ）5（3x ＋1）的展开式中，含x 3项的系数为__________．16．已知角α满足3tan tan 42παα⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝，则cos （2α－4π）＝__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～2l 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知平面四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，且内角B 与D 互补．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 与CC 1的中点，G 为△ABN 的重心．（Ⅰ）求证：MG ⊥平面ABN ；（Ⅱ）求二面角A 1－AB －N 的正弦值．19．（12分）已知动圆M 过点P （2，0）且与直线x ＋2＝0相切．（Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）斜率为k （k ≠0）的直线l 经过点P （2，0）且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x轴于点N ，求ABNP 的值．20．（12分）一间宿舍内住有甲、乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生．游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子（点数为1～6），若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日．从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A ．（Ⅰ）求P （A ）．（Ⅱ）设p n （n ∈N *）表示“第n 天甲值日”的概率，则p 1＝l ，p n ＝ap n －1＋b （1－p n －1）（n ＝2，3，4，…），其中a ＝P （A ），b ＝P （A ）．（i ）求p n 关于n 的表达式．（ii ）这种游戏规则公平吗?说明理由．21．（12分）设函数，f （x ）＝klnx ＋（k －1）x －12x 2． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设函数f （x ）的图象与直线y ＝m 交于A （x 1，m ），B （x 2，m ）两点，且x 1＜x 2， 求证：1202x x f ⎛⎫'⎪⎝⎭＋＜．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m⎧⎨⎩＝＋，＝－＋（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ＝－，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求｜MN ｜．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋｜x －2｜．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥4的解集；（Ⅱ）设a ，b ，c ∈R ＋，函数f （x ）的最小值为m ，且111234m a b c＋＋＝，求证： 2a ＋3b ＋4c ≥3．。

河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。

河南省部分重点中学2020届高考质量监测理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{|ln(1)}M x y x ==+.{}|xN y y e ==，则MN =（ ）A.(1,0)-B.(1,)-+∞C.(0,)+∞D.R2.已知复数552iz i i-=-，则z =（ ）B. C. D.3.已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c b a << B.b a c << C.c a b <<D.b c a <<4.已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若过抛物线214y x =焦点的直线与抛物线交于A B 、两点（不重合），则OA OB ⋅ (O 为坐标原点）的值是（ ） A.34 B. 34- C. 3 D. 3- 6.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===则按照以上规律，若=“穿墙术”，则m ，n 满足的关系式为（ ） A.n =2m -1B.n =2(m -1)C.n =(m -1)2D.n =m 2 -17.已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B.C. D.8.执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A.1=+n n ，S S n =+B.2=+n n ，S S n =+C.S S n =+，1=+n nD.S S n =+，2=+n n9.已知函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+-+（0>ω，2πϕ<）的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为π，3x π=为函数()g x 的一条对称轴，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A.06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U的近似值为（ ）A.2123kcq x x RB.2123kcq x x R -C.21232kcq x x RD.21232kcq x x R -11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P 、Q 两点，且90OPQ ∠=，O 为坐标原点，若OPQ △内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ）12.设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C.1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.己知()1,2a =，()2,b x =，且这两个向量的夹角的余弦值为45，则x = ________. 14.若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是______.15.()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项的系数是____________.(用数字作答)16.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且AD BC ∥，AD DC ⊥，224===AD DC CB，AP PD ⊥，PA PD =，=PC AD 的中点为E ，则四棱锥-P BCDE 外接球的表面积为________.三、解答题（题型注释）,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.18.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4. （1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.19.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20.已知函数()2ln 1af x x x=+-，a ∈R . （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在()1,+∞上的极值；（3）设函数()()2ln g x x a x =-，若2a ≥-，且对任意的实数[]1,x e ∈，不等式()24g x e ≤恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t,y =m −t（t 为参数，m ∈R ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ（ρ>0,θ∈[0,π]）.（1）求曲线C 1、C 2的直角坐标方程.（2）若P 、Q 分别为C 1、C 2上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为2√2，求实数m 的值. 22.已知实数正数x ， y 满足1x y +=. （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.参考答案1.C【解析】1.根据函数ln(1)y x =+的定义域和函数xy e =的值域，化简集合,M N ，按照交集定义，即可求解.{|ln(1)}(1,)M x y x ==+=-+∞，{}|(0,)x N y y e ===+∞， (0,)MN ∴=+∞.故选：C. 2.B【解析】2.先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.552i z i i -=∴-()525551725i i iz i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B 3.A【解析】3.由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解.由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 033c ππ===<， 故01c b a <<<<. 故选：A. 4.D【解析】4.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D . 5.D【解析】5.抛物线为24x y =，焦点为()0,1F ，设:1AB y kx =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，由21{4y kx x y =+=有2440x kx --=，所以124x x =-， ()212121116y y x x ==，故1212·3OAOB x x y y =+=-，选D.6.D【解析】6.根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.由题可知：==，====则可归纳：== 所以21n m =- 故选：D 7.A【解析】7.先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 8.D【解析】8.根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立，所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立，所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D 9.C【解析】9.先利用辅助角公式化简函数为()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()34g x x ωππωϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，然后根据()g x 的最小正周期为π，3x π=为()g x的一条对称轴，求得()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.由题意知，()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()334g x f x x πωππωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=， 所以()2234g x x ππϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为3x π=为()g x 的一条对称轴，则42k ππϕπ-=+（k ∈Z ），即34k πϕπ=+（k ∈Z ）， 因为2πϕ<，可得4πϕ=-，所以函数()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令7222262k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ）， 解得536k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ）， 当0k =时，536x ππ≤≤. 故选：C 10.D【解析】10.将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 11.B【解析】11.作出图形，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ，可知四边形MTPN 为正方形，可求得MN 、ON ，进而求得b a，然后利用公式e =可求得该双曲线的离心率e 的值. 如图，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ， 由2F P OP ⊥得四边形MTPN 为正方形，双曲线的右焦点()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为2F P b ==，又2OF c =，所以OP a ===，由13NP MN a ==，得23a ON OP NP =-=， 所以，1tan 2MN bMON a ON =∠==，故c e a =====. 故选：B. 12.C【解析】12.()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 13.1【解析】13.直接根据向量夹角公式计算得到答案. 两个向量的夹角的余弦值为45，故45a b a b⋅=⋅，即22x +=， 解得1x =或11x =-，验证11x =-不成立. 故答案为：1. 14.35【解析】14.利用函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增，得出不等式0y '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，可求得实数a 的取值范围，再由几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.函数2x a yx +=在区间[)2,+∞单调递增，22210a x ay x x -'∴=-=≥在[)2,+∞恒成立，2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立，4a ∴≤，又因为[]1,6a ∈，[]1,4a ∴∈，所以函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-. 故答案为：35. 15.300【解析】15.求出62x⎛+ ⎝展开式中的常数项和含3x 的项，分别与3x 和1相乘，即可求解.62x⎛ ⎝展开式的通项为36662166(2)2k k k k k k k T C x C x---+==⋅， 0,1,6k =，令360,42k k -==，363,22k k -==，62x⎛ ⎝展开式中，常数项为4256260T C =⋅=，含3x 项为2433362240T C x x =⋅=，()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项系数为60240300+=.故答案为：300. 16.283π【解析】16.由已知得，ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=，2DC CB ==，那么DEBC 是正方形，由AD ⊥平面PBE ，可知BC ⊥平面PBE ，可解得PB ，可知PBE △是等边三角形，-P BCDE 外接球的球心O 到,,,B C D E 四点距离相等，设O 在平面BCDE 的投影为H ，根据勾股定理可知点H 是对角线的交点，在ROB 中可得222222R OB HB h h ==+=+，过P 作PF EB ⊥于F ，再根据())222221R OP PF h HF h==-+=+，可求出2R ，由外接球面积公式即得。

2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =I （ ） A ．[]1,4 B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B I . 【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. Q 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．182C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） A ．5B 5 C ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得5q =因为{}n a 是递增的等比数列，所以5q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以2153a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949πB ．3349πC ．233πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=o ，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===o.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率2233349493r P ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式22R BG OG =+可计算出球O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=o ，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==. 由正弦定理得32sin 603BC BG ==o，则433BG =， 所以外接球O 的半径22283R BG OG =+=O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=o ，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B ．322-C ．24D 21【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得21a b =（负值舍去），故2322ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-r ，1b =r ，2a b ⋅=r r ，则向量a r 与b r的夹角θ=______.【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-r ，所以5a =r ，因为1b =r ，2a b ⋅=r r ，所以2cos 512a b a bθ⋅===⨯r r r r .因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A 到右焦点F的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c e a ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f ，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++Q ，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-L ； （2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-L 24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2+. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈Q ，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin 3sin A C a ==. 因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26cos 1sin C C =-=， 所以()323sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C +=+=+=. 所以ABC ∆的面积11323sin 32226ABC S ac B ∆+==⨯⨯⨯3232+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）453151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面ACE . 因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=o ， 所以2AB AD BD ===，23AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点， 所以()3,0,0C -，()3,0,2E，31,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()23,0,2CE =u u u r，31,42CF ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r .设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则232031402nCE x z n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v . 令3x =，得()3,21,3n =--r.易知()0,0,1m =u r为平面ABCD 的一个法向量.设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以()()()()()2223,21,30,0,1453cos 1514533213m n m nθ--⋅⋅====⋅+-+-u r r u r r ， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为453151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=L ，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=L .设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==L ，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。

河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。

故答案为D。

2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。

3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。

4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。

故答案为A。

5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。

6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。

8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。