九年级数学垂径定理练习题

九年级数学第三章同步练习*3.3 垂径定理1．如图 ，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，DB.则下列结论错误的是( )A .AD ︵＝BD ︵B ．AF ＝BFC ．OF ＝CFD .AC ︵＝BC ︵ 2．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )A ．4B ．6C ．8D ．103．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图4．在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面AB ＝160 cm ，则油的最大深度为( )A ．40 cmB ．60 cmC ．80 cmD ．100 cm5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：如果CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，那么直径CD 为多少寸？请你求出CD 的长．6．如图所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C ，D 是AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：OC ＝OD.7．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果将一个直径为10 mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8 mm (如图)，求此小孔的直径d.8．如图，AB 是⊙O 的直径，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD 9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝42°，D 是弦AC 的中点，则∠DOC的度数是________°.10．图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木桩，使得AB ︵＝BC ︵，并测得点B 到AC 的距离为15米，AC 的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心、CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( ) A .95 B .215 C .185 D .5212．已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm13．如图 ，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( ) A ．6 B ．13 C .13 D ．213第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长． 16．如图所示，隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为12 m ，宽AB 为3 m ，隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7 m . (1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m ，宽2.3 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？详解1．C [解析] ∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为F ，∴AD ︵＝BD ︵，AC ︵＝BC ︵，∴F 为AB 的中点，即AF ＝BF ，故选项A ，B ，D 正确；而OF 与CF 不一定相等．故选C.2．C [解析] 连接OA ，如图．∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3， ∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4， ∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．C [解析] 当M 是AB 的中点时，OM 的长最小．此时OM ⊥AB ，连接OA ，则OM ＝52－32＝4.当M 与点A 或点B 重合时，OM 的长最大为5.因此4≤OM ≤5，只有C 项符合．4．A5．解：设CD ＝2x 寸，则半径OC ＝x 寸．∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，AB ＝10寸， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)，连接OA ，则OA ＝x 寸，根据勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2， 解得x ＝13，∴CD ＝2x ＝2×13＝26(寸)．6．证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE ＝BE . 又∵AC ＝BD ，∴CE ＝DE ， ∴OE 是CD 的中垂线， ∴OC ＝OD .7．解：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点C ，连接OB .由垂径定理，得CD 垂直平分AB . ∴CD ＝h ＝8 mm ，OD ＝CD －CO ＝3 mm.在Rt △ODB 中，BD 2＝OB 2－OD 2，即BD 2＝52－32， ∴BD ＝4(mm)，∴AB ＝2BD ＝8 mm. 答：此小孔的直径d 为8 mm.8．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，CM ＝DM ，∴CD ⊥AB ，CB ︵＝DB ︵，∴CB ＝DB .∵AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，而推不出OM 与MD 相等．故选D.9．48 [解析] ∵AD ＝CD ，∴OD ⊥AC ，∴∠CDO ＝90°，∴∠DOC ＋∠ACO ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝42°，∴∠DOC ＝90°－∠A ＝48°.10．解：设点O 为圆心，连接半径OA ，OB ，设OB 交AC 于点D . ∵AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC ，AD ＝CD ＝30米． 设OA ＝x 米，则OD ＝(x －15)米． 在Rt △AOD 中，有x 2－(x －15)2＝302， 解得x ＝37.5.故人工湖的半径为37.5米． 11．C12．C [解析] 连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C 的位置如图(2)所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．故选C.13．C14．7 2 [解析] A ，B 两点关于MN 对称，因而P A ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B ，C ，P 在一条直线上时，P A ＋PC 的值最小，即BC 的长就是P A ＋PC 的最小值．作BH ⊥CD 交CD 的延长线于点H .易求BH ＝EF ＝7，CH ＝7，则BC ＝7 2.15．解：如图，过点O 作OP ⊥CD 于点P ，连接OC ，则CD ＝2CP .∵AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，∴AB ＝8 cm ， ∴OB ＝OC ＝4 cm ， ∴OE ＝4－2＝2(cm)． 在Rt △OPE 中，∵∠CEA ＝30°，∴OP ＝12OE ＝1 cm.在Rt △COP 中，CP ＝42－12＝15(cm)， ∴CD ＝2CP ＝215 cm.16．解：(1)设圆心为点O ，半径为R m ，连接OE 交AD 于点F ，连接OA ，OD ，由垂径定理的逆定理，得OF 垂直平分AD ，AF ＝6 m ，OF ＝R －(7－3)＝(R －4)m. 由勾股定理，得 AF 2＋OF 2＝OA 2， 即62＋(R －4)2＝R 2，解得R＝6.5，即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.(2)能通过．理由如下：GH＝2.3 m，圆的半径OH＝6.5 m，由勾股定理，得OG＝ 6.52－2.32≈6.08(m)，点G与BC的距离约为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道．。

24.1圆（第二课时）------垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径，而且均分弦所对的。

2、推论：均分弦（不是直径）的直径，而且均分弦所对的。

【特别注意： 1、垂径定理及其推论本质是指一条直线知足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶均分弦⑷均分弦所对的优弧⑸均分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出此中三个，注意解题过程中的灵巧运用；2、圆中常作的协助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径 r 、弦 a、弦心 d、和拱高h 中已知两个可求此外两个】一、选择题1. 如图，在⊙O 中， OC⊥弦 AB于点 C， AB=4， OC=1，则 OB的长是（）A．B．C．D．2. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不行能为（）．A.2B.3C.4D.5O·A M B3. 在半径为 5cm 的圆中，弦∥,=6cm，=8cm，则和的距离是（）．AB CD AB CD AB CDA.7cmB.1cmC.7cm或 4cmD.7cm或 1cm4. 如图， AB是⊙ O的弦，半径OA＝ 2，∠ AOB＝ 120°，则弦AB 的长是（）．B （A）22（B）23（C）5（D）35OA B5. 如图，AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为M，以下结论不建立的是（）A． CM=DM B．CB DB C ．∠ ACD=∠ ADC D ． OM=MD6．如图，在半径为 5 的⊙ O 中， AB、 CD是相互垂直的两条弦，垂足为P，且 AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4 C．32D．427．如图，AB为⊙ O的直径，弦CD⊥ AB于E，已知CD=12， BE=2，则⊙ O的直径为（）A． 8B． 10C． 16D． 208、如图是一圆柱形输水管的横截面，暗影部分为有水部分，假如水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm 二、填空题1. 如图，是⊙O 的直径，是弦，⊥ ，垂足为，已知=5，则弦=．AB BC OD BC D OD AC CDA·BO2、如图 AB是⊙O的直径，∠ BAC=42°，点 D 是弦 AC的中点，则∠ DOC 的度数是度．3、如图， M是 CD的中点， EM⊥CD，若C D=4， EM=8，则所在圆的半径为．4、如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直均分半径OC，垂足为D，若⊙O 的半径为2，则弦 AB的长为．5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P 在第一象限，P 与x 轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P 的半径为13 ，则点P 的坐标为____________.6．如图， AB为⊙ O的直径， CD为⊙ O的一条弦， CD⊥AB，垂足为E，已知 CD=6， AE=1，则⊙0 的半径为．7．如图， AB是⊙ O的弦， OC⊥ AB于 C．若 AB=2 3， 0C=1，则半径 OB的长为．8.如图，⊙ O的半径为5，P 为圆内一点， P 到圆心 O的距离为4，则过 P 点的弦长的最小值是．PO︵︵9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的 AB），点O是这段弧的圆心，C是 AB上一点，OC⊥ AB，垂足为D， AB＝300m， CD＝50m，则这段弯路的半径是m.D10. 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰巧经过圆心O，则折痕 AB的长为cm ．三、解答题1．如图， AB和 CD是⊙ O的弦，且AB=CD， E 、 F 分别为弦A B、 CD的中点，证明： OE=OF。

2020 九级数学上册圆圆的基本性质-垂径定理课堂测试卷一、选择题：1、如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（）A.8B.4C.10D.52、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB=DBC.∠ACD=∠ADCD.OM=MD3、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A.4B.6C.8D.104、下列判断正确的是( )A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦5、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.86、一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A.4B.6C.8D.97、如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（﹣2，1）C.（﹣2，﹣1）D.（0，﹣1）8、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜59、如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A. B. C. D.10、如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,点D是弧ACB上的动点（不与A、B、C重合）,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，则EF长度（）A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题:11、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm.12、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是.13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10,CD=8，则圆心O到弦CD的距离为.14、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB长是.15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的半径是米.16、如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .三、解答题:17、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长.18、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD.19、如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.20、每位同学都能感受到日出时美丽的景色.右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度.参考答案1、D2、D3、C4、C5、C6、D.7、C8、A9、D10、C11、512、213、答案为：3；14、答案为：10.15、答案为：0.516、答案为：5.17、解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，∴AD=BD=AB.∵OC=5，CD=2，∴OD=OC－CD=3.在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，∴AD===4，∴AB=2AD=8.18、证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，在大圆O中，OE⊥AB，∴AE=BE.在小圆O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AE﹣CE=BE﹣DE.∴AC=BD.19、连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12.∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2.在Rt△CDO中，∠CDO=90°，∴OD=2.在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理,得OA=4，即⊙O的半径是4.20、解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD=AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD==3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟.。

《垂径定理及其应用》小节基础练习知识点1、垂径定理的辨析垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．换言之：（1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；（3）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．例1、看下列图形，是否能使用垂径定理？知识点2、垂径定理的应用例2、如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m ）．C D OA B变式训练1、如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．基础练习1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）A．AE=BE B．=C．OE=DE D．∠DEB=90°2．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为( )（A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm3．下列命题中，正确的是（ ）A、经过两点只能作一个圆B、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧C、圆是轴对称图形，任意一条直径是它的对称轴D、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧4．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为　．5．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm，如图所示，则这个小孔的直径AB= mm．6．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC 的长为 ．7.如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=16cm，则CD= cm．8.将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB、CD，且AB⊥CD，垂足为M（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE、AF（如图④），则△AEF的面积是__________．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P，则点P的坐标为__________.10.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F 两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．11.已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？。

精品字里行间精品文档成功是必须的垂径定理练习题一一．选择题1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、42．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.53．高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5B ．7C ．375D ．3774．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）A ．6.5米C ．13米D ．15米二．填空题1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB是 mm ．2．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 3．如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm 的管道．5．如图5，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，则EF = ．三．解答题已知：如图1，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．垂径定理练习题二1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为　400π　.（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是　5　cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为　26　寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　10　m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为　7.5　cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为　26　米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组 综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。

专题24.1 垂径定理【典例1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DH=12 CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH=∴AH∴AC＝AH﹣CH＝2．1．（2022•芜湖一模）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（ ）A．B．C．D．【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解题过程】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12AB=12×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM=3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=故选：C．2．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）A．5B．2.5C．3D．2【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，即CD的最大值为2.5，故选：B．3．（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A．1个B．3个C．6个D．7个【思路点拨】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解题过程】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD=12×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM==1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=8，AD=6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）A．0)B．(−4+0)C．(−40)D．0)【思路点拨】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解题过程】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD==∴OD＝FD﹣OF＝4，∴D（4，0）．故选：B ．5．（2022•新洲区模拟）如图，点A ，C ，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，若AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2，则⊙O 的面积为（ ）A ．125π4B ．275π4C ．125π9D ．275π9【思路点拨】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON ，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，MO 的延长线于AB 延长线交于N ，则四边形BCMN 是矩形，∵OM ⊥CD ，CD 是弦，∴CM ＝DM =12CD ＝1＝BN ，∴AN ＝AB +BN ＝4+1＝5，设ON ＝x ，则OM ＝8﹣x ，在Rt △AON 、Rt △COM 中，由勾股定理得，OA 2＝AN 2+ON 2，OC 2＝OM 2+CM 2，∵OA ＝OC ，∴AN 2+ON 2＝OM 2+CM 2，即52+x 2＝（8﹣x ）2+12，解得x =52，即ON =52，∴OA 2＝52+（52）2=1254，∴S⊙O＝π×OA2=1254π，故选：A．6．（2021秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A．910B．65C．85D．125【思路点拨】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解题过程】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3 2，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB==5，∵12AC•BC=12AB•CF，∴CF=AC×BCAB=4×35=125，∴OG＝CF﹣OC=125−32=910，∴MG===6 5，∴MN＝2MG=12 5，故选：D．7．（2022•吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝　4　．【思路点拨】根据含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据垂径定理求出AC=AD，求出AC＝AD＝2，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB＝2AC即可．【解题过程】解：∵CD⊥AB，∴∠AED＝90°，∵AE＝1，∠D＝30°，∴AD＝2AE＝2，∠ABC＝∠D＝30°，∵AB⊥CD，AB过圆心O，∴AC=AD，∴AC＝AD＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×2＝4，故答案为：4．8．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为【思路点拨】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．【解题过程】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI=12OP=12×4=2，由勾股定理得：DI==∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝即CD＝DI+CI＝故答案为：9．（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是　3　，⊙C上的整数点有　12　个．【思路点拨】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解题过程】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12×10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO3，∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L （5，3），即共12个点，故答案为：3；12．10．（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C 同时也在AB 上，若点P 是BC 的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 −8　．【思路点拨】作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，利用勾股定理得到r 2＝x 2+42①，r 2＝（x +2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x ＝2，所以r ＝DE ＝2，然后根据三角形面积公式，点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值．【解题过程】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，在Rt △BOD 中，r 2＝x 2+42①，在Rt △OCF 中，r 2＝（x +2）2+22②，②﹣①得4+4x +4﹣16＝0，解得x ＝2，∴OD ＝2，∴r =∴DE ＝OE ﹣OD ＝2，∵点P 是BC 的一个动点，∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为12×8×（2）＝8．故答案为：8．11．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为【思路点拨】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD【解题过程】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD∴AO＝故答案为：12．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【思路点拨】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解题过程】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，AC=BC，AD=BD．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴AC=BC，AD=BD．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE 的长．【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．【解题过程】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r ＝3.4，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE 的长为1.8．14．（2021秋•芜湖月考）如图，在△ABC 中AB ＝5，AC ＝4，BC ＝2，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，延长BC 交⊙A 于点D ，试求CD 的长．【思路点拨】过点A 作AE ⊥BD 于点E ，如图，则DE ＝BE ，利用双勾股得到AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解方程得到BE =134，然后计算BD ﹣BC 即可．【解题过程】解：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，如图，则DE ＝BE ，在Rt △ACE 中，AE 2＝AC 2﹣CE 2，在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2﹣BE 2，∴AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解得BE =134，∴CD ＝BD ﹣BC ＝2BE ﹣2＝2×134−2=92．答：CD 的长为92．15．（2022•江西开学）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，AB ，CD 之间的距离为1．（1）求圆的半径．（2）将弦AB 绕着圆心O 旋转一周，求弦AB 扫过的面积．【思路点拨】（1）过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，即可得出DF＝CF＝3，再因为AB∥CD，则可得到OE⊥AB，进而得到AE＝BE＝4，最后根据勾股定理计算即可；（2）先判断出将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形，再根据圆面积公式计算即可．【解题过程】解：（1）如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，则DF＝CF＝3，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AE＝BE＝4，设OE＝x，则OF＝x+1，根据题意可得：x2+42＝（x+1）2+32，∴x＝3，∴=5；（2）将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形是以点O为圆心，以3为半径的圆与以5为半径的圆所围成的环形，故弦AB扫过的面积为π×52﹣π×32＝16π．16．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB 的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．【解题过程】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．17．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD 的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．【思路点拨】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．【解题过程】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．∵BB′⊥CD∴BD=B′D，∵∠AOD＝80°，B是AD的中点，∴∠DOB′=12∠AOD＝40°．∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，又∵OA＝OB′，∴∠A=180°−∠AOB′2=30°．∵AE是圆的直径，∴∠AB′E＝90°，∴直角△AEB′中，B′E=12AE=12×4＝2，∴AB′=．18．（2022•中山市模拟）已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足．（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】（1）连接OA，根据垂径定理得出AE＝CE，AD＝BD，根据AB＝AC求出AE＝AD，再根据矩形的判定和正方形的判定推出即可；（2）根据勾股定理得出OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，根据AB＞AC求出AD＞AE，再得出答案即可．【解题过程】（1）证明：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，∵AC＝AB，∴AE＝AD，∵AB、AC为互相垂直的两条弦，∴∠EAD＝90°，即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；（2）解：OD＜OE，证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，∴AD＞AE，在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD2＜OE2，即OD＜OE．19．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【思路点拨】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解题过程】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM=12CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM=4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．20．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE=r−12，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．【解题过程】（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，∠GEB=∠DEBBE=BE∠GBE=∠DBE，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE=r−1 2，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（r−12）2+42＝r2，解得：r=13 3，即⊙O的半径为13 3．21．（2021•遵义一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：（1）如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1，求，AB长；（2）如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求⊙O 的半径．【思路点拨】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F=12O1F，再根据勾股定理，即可得出结论；（2）同（1）的方法先判断出O2C＝2rcm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】解：（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F=12O1E=12×4＝2（cm），连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，根据勾股定理得，AF cm），∴AB＝2AF＝；（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，设⊙O2的半径为3rcm，则O2C＝2r（cm），∵O2C⊥弦AB，∴AC=12AB＝5（cm），连接O2A，在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2﹣（2r）2＝25，∴r∴O2A＝3r＝cm），即⊙O2的半径为．22．（2021•浙江自主招生）以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．【思路点拨】设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），由勾股定理得出x，y，a的关系，再由垂径定理PQ和RS，最后由完全平方公式求得最大值和最小值．【解题过程】解：如图，设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），且x2+y2＝a2．所以PQ＝2PB＝RS＝所以PQ+RS＝2∴（PQ+RS）2＝4（2﹣a2而x2y2＝x2（a2﹣x2）＝﹣（x2−a22）2+a44．当x2=a22时，（x2y2）最大值=a4 4．此时PQ+RS=当x2＝0或x2＝a2时，（x2y2）最小值＝0，＝2（1+此时（PQ+RS）最小值。

《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。

分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。

证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。

分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。

解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。

例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。

例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

第三节垂径定理一．选择题1．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（）A．2B．2C ．D．22．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A ．cm B．8cm C．6cm D．4cm3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC 为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．205．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C ．D ．6．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸7．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm8．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P 是上一点，则∠APB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（）A．3B ．C．2.5D．211．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．5B ．C．3D ．13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC 是（）A．4B．5C．6D．614．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2B．4C．4D．815．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF ⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A ．B ．C．1D．216．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．217．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．3418．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB 的长为（）A．3B．4C．5D．2.5二．填空题19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O 半径为．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．22．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为．24．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是．25．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有个．26．如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE＝3cm，AD＝4cm，DF＝5cm，则⊙O的直径等于．27．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是．28．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为。

九年级数学暑假训练（6）----圆的概念与垂径定理一、知识点1．有关概念：弦、弧、点与圆的位置关系2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

二、训练题1.如图，OA 、OB 为 ⊙O 的两条半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，求证：AD =BC .2. 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ,求证：AB ∥CD .3. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，求证：AC ⊥BC .4. 如图，CD 是⊙O 的直径，∠A =20°,AB =OC ,求∠DOE 的度数5.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，若DE =OB ，∠BEC =70°，求∠BOC 的度数.6．如图，平面直角坐标系中，O 1是第三象限内一点，O 1A ⊥x 轴于A （-2，0），以O 1A 为径的⊙O 1交y 轴负半轴于B 、C 两点，B （0，-1）（1）求O 1、C 两点坐标（2）求证：∠ABO 1 =∠ABO7.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9㎜，如图所示，则这个小孔的直径AB 的长度是( ).(A )6mm(B )(C ) (D )8mm8. 要测量一个钢板上小孔的直径, 通常采用间接的测量方法. 如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上, 测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm (如图所示), 求此小孔的直径d .9.在⊙O 中，两弦AC 、BD 垂直相交于M ，若AB =6，CD =8，求⊙O 的半径．10.如图，两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC =BD .O DC B A O DC B A O C BA O E DCB AAB A11.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于P ,且P 为OB 的中点，∠APC =30°,已知AB =16，求CD 的长.12.如图，矩形与圆相交，若AB =4,BC =5,DE =3,求EF 的长.13.如图， AB 、AC 、AD 分别是⊙O 中的弦，若圆的半径为r ，r AB =，r AC 2=，r AD 3=，求∠CAD和∠BAD 的度数.14.如图，三孔桥的横截面的三个孔都呈弓形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度 AB ＝16米，最高点M 距水面4米(MC ＝4米)，小孔最高点N 距水面2米(即ND =2米). ⑴求大孔所在圆的半径；⑵当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度EF 为多少?15.南京长江大桥主跨是圆弧形拱桥，它的跨度AB 为522米，拱高PM 为26米，如图所示，(1)求主跨桥拱的半径；(2) 汛期洪水来临，水位上涨，主跨跨度变为72 米，一艘万吨级货轮宽 30米，高20米，能否在汛期安全通过大桥主跨？16. 高致病禽流感是比SARS 病毒传染速度更快的传染病. 为防止禽流感蔓延到当地养殖场, 政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区；离疫点3至5千米范围为免疫区, 所有免疫区的禽类强制免疫；同时, 对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理. 现有一条笔直的公路AB 通过禽流感病区, 如图所示, 在扑杀区内的公路CD 长为4千米, 问这条公路在免疫区内有多少千米.72m ND C P 522m MBA POD CB A P OF E D C BA O D C BA正常水位M N F E D C B A。

九年级上册数学垂径定理专项训练一、填空题（共5小题；共25分）1. 如图，AB，AC是⊙O的弦，∠BAC=90∘，点D，E分别是弦AB，AC的中点，连接OD，OE．若BD=3，CE=4，则四边形ADOE的面积为．2. 刻度尺与⊙O按如图所示的方式摆放时，有刻度的一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），已知⊙O的半径是5cm，则圆心O到刻度尺的最小距离为．⏜），O是这段弧的圆心，C是AB⏜的中点，连接AB，3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ABOC交于点D．若AB=30m，OA=25m，则CD=m．4. 如图，在⊙O中，点D既是OC的中点，也是弦AB的中点，若AD=√3，则⊙O的半径为．5. 如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是DF⏜的中点，BC= 2，则OC的长为．二、选择题（共25小题；共125分）1. 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D，AD=4，则下列说法正确的是( )A. OC=4B. AB=8C. OD=3D. AB垂直平分OC2. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为( )A. 3√34R2 B. 3√32R2 C. 6R2 D. 32R23. 下列判断中正确的是( )A. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 平分弦的直线垂直于弦D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦4. 如图，已知△ABC（AC<BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是( )A. B.C. D.5. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( )A. 1.0厘米/分B. 0.8厘米/分C. 1.2厘米/分D. 1.4厘米/分6. 下列命题中，正确的是( )A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为6，则AB的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 16⏜=AD⏜；②8. 如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC⏜；③EO=EB；④EC=ED，其中一定成立的是( )BC⏜=BDA. ①③B. ①④C. ①②④D. ①②③④9. 下列命题中，真命题是( )A. 平分弦的直径垂直于弦B. 垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C. 在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D. 经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线10. 已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，OM=2，则AB的长为( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB =6 cm ，圆心 O 到 AB 的距离 OC =3 cm ，则 OA 的长度是 ( )A. 3 cmB. 3√2 cmC. 4 cmD. 3√3 cm 13. 如图，⊙O 的直径 CD =20，AB 是 ⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为 M ，OM:MC =3:2，则 AB的长为 ( )A. 8B. 12C. 16D. 2√91 14. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AB ，CD 相交于点 E ，且点 E 是弦 CD 的中点，则下列结论中错误的是 ( )A. AB ⊥CDB. BC ⏜=BD ⏜C. AC ⏜=AD ⏜D. OE =BE15. 如图，如果 AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，那么下面结论中，错误的是 ( )A. CE =DEB. BC ⏜=BD ⏜C. ∠BAC =∠BADD. AC >AD16. 下列命题中，正确的是 ( )A. 圆是轴对称图形，对称轴只有一条B. 在同圆中，互相垂直的两弦不能互相平分C. 直径一定平分弦D. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧17. 给出下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对应的两条弧的中点连线垂直平分弦． 其中正确的命题有 ( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 18. 如图，AB ，AC 是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径，且 AD 平分 ∠BAC ，下列结论中不一定正确的是 ( )A. AB ⏜=DB ⏜B. BD ⏜=CD ⏜C. BC ⊥ADD. ∠B =∠C19. 如图，CD 是 ⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点 E ，则下列结论不一定成立的是 ( )A. EA =EBB. DA ⏜=DB ⏜C. EO =EDD. CA ⏜=CB ⏜ 20. 下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧． 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①③C. ②④D. ①④21. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6，PC=4，则sin∠CAD等于( )A. 35B. 23C. 34D. 4522. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120∘，AB=AC，BD是⊙O的直径，若AD=3，则BC=( )A. 2√3B. 3√3C. 3D. 423. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15∘，则阴影部分的面积为( )A. 16π−12√3B. 16π−24√3C. 20π−12√3D. 20π−24√324. 正六边形的周长为12，则该正六边形的内切圆的半径为( )A. 1B. √3C. 2D. 325. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程(x−3)(x−5)=0的一根，则此三角形的外接圆的半径是( )A. 3.2B. 258C. 3.5D. 4三、解答题（共6小题；共78分）1. 如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为点P，且AB=CD=16，求OP的长．2. 如图，AB是⊙O的一条弦，CD经过圆心O且与AB交于点E，若AE=BE，AB=2√7，ED=1，求CD的长．⏜的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是BCDE=1，求AC的长．⏜的中点，AB，OC相交于点M．试4. 如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的√3倍，C为AB判断四边形OACB的形状，并说明理由．5. 如图，在⊙O中，OC与AB交于点D，D是弦AB的中点，∠CBA=30∘．求证：OA∥BC．。

《垂径定理》习题一、选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．82．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．3C．4D．53．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm 4．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心5．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米B．8米C．7米D．53米第5题图第8题图6．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为( )A．1cm B.7cm C．3cm或4 cm D．1cm或7cm二、填空题7．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB于C，OC＝3cm，则⊙O的半径为cm 8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3cm，则CD＝____ cm.9．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m.11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是 .12．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB＝10，EF＝8，那么AD＝ .三、解答题13．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.14．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC ＝8， AD ＝10．求：（1）OE 的长； （2）∠B 的正弦值15．如图，已知⊙O 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是弧AB 的中点．求AC 的长．ABCDE O ．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。

27.1.2第2课时垂径定理姓名：_______班级_______学号：________1．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（）A．713B．1213C．712D．13122．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为()A．363B．243C．183D．723 3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，已知4cos5CDB∠=，5BD=，则OH的长的长度．4．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．13．已知：在圆O内，弦AD MN OG．结,题型5垂径定理的推论A．3B的弦AB 15．如图，OA．8A B C在16．已知点,,A．若半径OB平分弦B．若四边形OABCA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm21．（2022·浙江宁波·统考模拟预测）AB=，则垂足为M，且8cmA．25cm B．22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图已知圆心O在水面上方，且运行轨道的最低点，则点C23．（2023·安徽·统考中考真题）在Rt ABC △中，M 是斜边AB 的中点，将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置，点D 在直线AB 外，连接,AD BD ．(1)如图1，求ADB ∠的大小；(2)已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2，连接CD ，求证：BD CD =；（ⅱ）如图3，连接BE ，若8,6AC BC ==，求tan ABE ∠的值．。

专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）A．8B．10C．16D．202．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）A．B．6C．D．3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（）A．2B．4C．6D．84．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．»»AC BC =D ．»»AD BD=5．如图，点A ，B ，C ，D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ^B ．若CD AB ^，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，CD 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．»»AD BD =C ．OE DE =D ．»»AC BC=7．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）EC=A．2OE=B．2C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）A．1B．2C．3D．410．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA C为»AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD 是⊙O 的直径， 弦 AB ⊥CD 于P ，CP =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长是 （ ）寸A ．20B ．23C ．26D ．30二、填空题13．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =_______cm ．14．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．15．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =则AB 和CD 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为_____米．17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=，则AB=________cm．Ð的度数为18．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则AOC______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．24．已知O e 的半径为2，弦BC =，A 是O e 上一点，且»»AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题25．如图，在⊙O 中，直径AB =10，弦AC =8，连接BC ．(1)尺规作图：作半径OD 交AC 于E ，使得点E 为AC 中点；(2)连接AD ，求三角形OAD 的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC ）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．27．已知：如图，在O e 中，AB AC 、为互相垂直的两条弦，,OD AB OE AC ^^，D 、E 为垂足．(1)若AB AC =，求证：四边形ADOE 为正方形．(2)若AB AC >，判断OD 与OE 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ^于点F ，OE AC ^于点E ，若3OE =，OB=，求OF的长．5参考答案1．D【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点E 为CD 的中点，且OE ⊥CD ，在Rt △OEC 中，根据勾股定理，即可得出OC ，从而得出直径．解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt △OEC 中，由勾股定理得：OC 2=OE 2+EC 2，即OC 2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D ．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.2．C【分析】连接OC ，求出∠COB =45°，根据垂径定理求出CD =2CE ，根据勾股定理求出CE 即可．解：连接OC ，则OC =12AB =12×12=6， ∵OA =OC ，∠CAB =22.5°，∴∠CAB =∠ACO =22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE，即CD=2CE，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．3．B【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根据垂径定理即可判断．解：CD Q 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，AE EB \=，»»AC BC =， »»AD BD=．故选：B ．【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．解：A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B 、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C 、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D 、AB 若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．C【分析】根据垂径定理判断即可；解：∵直径CD 垂直于弦AB 于点E ，则由垂径定理可得，AE BE =，»»AD BD=，»»AC BC=，故选项A ，B ，D 正确；OE DE =无法得出，故C 错误．故选C ．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．7．A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．8．D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；∵OC⊥AB于点E，∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得OC的长解：OA OBQ点C是AB的中点，=Q ⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，1,42OC AB AC BC AB \^===在Rt AOC △中3OC ==故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．10．C【分析】根据弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，判定出四边形OACB 是平行四边形，再由AB OC ^，即可判定四边形OACB 是菱形.解：∵弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，OC 为半径，∴12AP AB AO AB OC ==^，，∴1122OP OA OC ===，∴12PC OC =，即OP PC =，∴四边形OACB 是平行四边形，又∵AB OC ^，∴四边形OACB 是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．11．A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，∵点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，，∴两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2)．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x 的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD =26（寸）．故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．13．6【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得2AB AC = ，然后利用勾股定理求出3AC cm =，即可求解．解：根据题意画出如下图形，半径5OA cm = ，OC AB ^ ，则4OC cm = ，∵半径5OA cm = ，OC AB ^ ，∴2AB AC = ，在Rt AOC △ 中，由勾股定理得：3A C cm === ，∴26A B A C cm == ．故答案为：6 ．【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到2AB AC =是解题的关键．14．16【分析】连接OA ，由垂径定理可得2AB AE =，在Rt AOE D 中利用勾股定理即可求得AE 的长，进而求得AB ．解：连接OA ，∵OE ⊥AB 于E ，∴2AB AE =，在Rt AOE D 中，10OA =，OE ＝6，∴8AE ==，∴216AB AE ==，故答案为：16【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．±【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．解：作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，\==OEV中，在Rt OCFQ，C F4OC==\==OF当圆心O在AB与CD之间时，=+=EF OF OE当圆心O不在AB与CD之间时，=-=-EF OF OE即AB和CD之间的距离为故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．16【分析】先根据勾股定理CF8=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF8=米，∵OF⊥DC，DC为弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=16米，故答案为：16．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．17．【分析】根据∠D =30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH ，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB =2AH 计算出AB ．解：在Rt AHD V 中，∠D =30°∴2AD AH=∴AH =cm∵弦AB ⊥CD∴2==AB AH故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．18．45°【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：OC AB ^，4AB =，122AC AB \==，2OC =Q ，AC OC \=，Rt AOC \V 是等腰直角三角形，45AOC =\а，故答案为：45°．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．20．(1,0)．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用A点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接AB，AC，作AB，AC的中垂线，交点是点D则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：(1,0)．故答案是：(1,0)．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．21．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．22．48【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．23．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222 OB OC BC=+222(20)40r r =-+化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．24．1或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得OD ，进而分两种情况讨论即可．解：如图，连接OB ，»»AB AC =Q ，\由垂径定理可知，OA BC ^，BD CD ==则在Rt OBD △中，1OD ==，211AD r OD \=-=-=或213AD r OD =+=+=，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．25．(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O 作OD ⊥AC ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ；（2）由题意可得OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，继而可得118422AE AC ==´=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．(1)解：如图，点E 即为所求；(2)解：如图，连接AD ，∵⊙O 的直径是10，∴OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，∴118422AE AC ==´=，∴11541022OAD S OD AE =×=´´=V ．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．26．这块圆形木材的直径（AC ）是26寸【分析】设O e 的半径为x 寸，根据题意可得AD BD =，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，勾股定理求解即可．解：设O e 的半径为x 寸，∵OE AB ^，10AB =寸，∴152AD BD AB ===寸，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，由勾股定理得()22215x x =-+，解得13x =.∴O e 的直径226AC x ==（寸）.答：这块圆形木材的直径（AC ）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．27．(1)见分析(2)OD ＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，且∠ADO ＝∠AEO ＝90°，加上∠DAE ＝90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB ＝AC ，所以AD ＝AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE 是矩形，可得OE ＝AD ＝12AB ，OD ＝AE ＝12AC ，又AB ＞AC ，即可得出OE 和OD 的大小关系．(1)证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴四边形ADOE 为矩形，且OD 平分AB ，OE 平分AC ，∴BD ＝AD ＝12AB ，AE ＝EC ＝12AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，∴四边形ADOE 为正方形．(2)解：OD ＜OE ，理由如下：由（1）得四边形ADOE 是矩形，∴OE ＝AD ，OD ＝AE ，∵AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴OE ＝12AB ，OD ＝12AC ，又∵AB ＞AC ，∴OD ＜OE ．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．28．1.4【分析】根据垂径定理得到AE EC =，CF FD =，根据勾股定理求出AE ．设OF x =，再次根据勾股定理得到等式2222AC AF OC OF -=-，代入求值即可解答．解：连接OC ，∵AB CD ^，OE AC ^，∴AE EC =，CF FD =，∵3OE =，5OB =，∴5OB OC OA ===，∴在Rt OAE △中，4AE ===，∴4AE EC ==，∴8AC =，设OF x =，∵在Rt CAF V 中，222CF AC AF =-，在Rt OFC V 中，222CF OC OF =-，∴2222AC AF OC OF -=-，∴()2222855x x -+=-，解得： 1.4x =，即 1.4OF =．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC ＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．42．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（）A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm3．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36B．24C．18D．724．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC ⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm5．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A．B．C．1D．26．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错二．填空题7．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB 上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB 的长为．8．如图，以AB为直径的⨀O中，点C为⨀O上一点，且AC＝BC＝，过点O作OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为．9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．10．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为．11．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦AB＝，点C是弦AB中点，P（+1，﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的面积为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为．13．如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题14．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．15．石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．16．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．17．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm （EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？20．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？参考答案一．选择题1．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，且OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故选：C．2．解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝20cm，AB＝16cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM＝8cm，∵半径OA＝10cm，∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，∴OM＝6cm．故选：B．3．解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四边形ACBD的面积＝．故选：A．4．解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．5．解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故选：D．6．解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等边三角形，故①正确，∵∠CP A＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥P A，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正确，故选：A．二．填空题7．解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，设OA＝ON＝OF＝OB＝r，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝r2，∵正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，∴a2+b2＝16，∴r2＝16，解得r＝4（负值舍去），∴AB＝2r＝8．故答案为：8．8．解：要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，则BP+PC最小即可，∵OD⊥AC，∴点C关于PD的对称点为点A，即当P点与O点重合时，BP+PC最小，即弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，连接OC，∵AC＝BC＝，∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝BC＝＝1，∴弧BC的长为＝，∴弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小为：2+．故答案为：2．9．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．10．解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．∵CH是直径，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根据勾股定理CH＝＝2，故答案为2．11．解：连接OC，OA，如图，∵点C是弦AB中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，∴OC＝＝．∵弦AB在⊙O上滑动，∴点C的轨迹为以点O为圆心，以为半径的圆，如图中的虚线⊙O，过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，则OD＝OE＝．利用勾股定理可求得PO＝，∵PD，PE是虚线⊙O的切线，∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．∴∠OPD＝30°，∴∠OPE＝30°，∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，∴∠DOE＝120°．∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，∴线段PC扫过的面积为2×PD•OD+＝+π．故答案为：+π．12．解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案为：4．13．解：如图1，∵OC•OD•sin∠COD，∴当∠COD＝90°时，△COD面积有最大值，且最大值＝×4×4×1＝8；设△APO的PO边上的高为h1，△DPO的边PO上的高为h2，如图，∵S△CDO＝S△PCO+S△DPO，∴当△COD面积有最大值时，PO×h1+PO×h2＝8．∴×3×（h1+h2）＝8，∴h1+h2＝．∴CH的最大值为．故答案为：8；．三．解答题14．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．15．解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．16．（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．17．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．解：连接OA、OC，∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，∴CG＝CD＝10cm，在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，OC2＝102+（OC﹣2）2，解得：OC＝26（cm），则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，∴262＝222+AE2，∴AE＝8，∵OE⊥AB，OE过圆心O，∴AB＝2AE＝16cm．20．解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKM是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．。