线性系统理论第二章 系统状态空间模型

x1 (k 1) 1.01 (1 0.04) x1 (k ) 1.01 0.02 x 2 (k ) 1.01 5 10 4 u (k ) x 2 (k 1) 1.01 (1 0.02) x 2 (k ) 1.01 0.04 x1 (k ) 1.01 5 10 4 u (k )
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2.1 系统的状态空间描述
电路系统状态空间描述的列写示例
R1
duc diL u R C L 0 2 c dt dt duc di R1iL R1C L L e dt dt
1 & ( R R )C u c 1 2 & R1 iL L( R1 R2 ) u R2 R2 R1 R2
Ra
i f const
J, F
e(t )
La
AX Bu X 上式可表为形如 Y CX Du
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2.1 系统的状态空间描述
连续时间线性系统的状态空间描述
动态系统的结构
u1
u2
x1 x2
பைடு நூலகம்
y1 y2

up
动力学部件

xn
输出部件

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
离散时间线性时变系统
X (k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ) Y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
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2.1 系统的状态空间描述
状态空间描述的特点
状态方程形式上的差分型属性
描述方程的线性属性
变量取值时间的离散属性
D( k )
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2.2 系统按其状态空间描述的分类
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 该系统称为时不变系统 若向量 f，g不显含时间变量 t，即 g g ( x, u )
f f ( x, u , t ) 该系统称为时变系统 若向量 f，g显含时间变量 t，即 g g ( x, u , t )
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2.1 系统的状态空间描述
离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统
X (k 1) Gx(k ) Hu (k ) Y (k ) Cx(k ) Du (k )
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
线性系统理论
第二章 系统状态空间模型
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
第2章 线性系统的状态空间描述
2.1
系统的状态空间描述
2.2 系统按其状态空间描述的分类
2.3 化输入-输出描述为状态空间描述
2.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型
2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵 2.6 线性系统在坐标变换下的特性 2.7 组合系统的状态空间描述
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第2章 线性系统的状态空间描述
2.1 系统的状态空间描述
2.2
系统按其状态空间描述的分类
2.3 化输入-输出描述为状态空间描述
2.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型
2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵
2.6 线性系统在坐标变换下的特性
2.7 组合系统的状态空间描述
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第2章 线性系统的状态空间描述
2.1 系统的状态空间描述
2.2 系统按其状态空间描述的分类
2.3
化输入-输出描述为状态空间描述
2.4 状态方程的对角线规范型和约当规范型
2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵
2.6 线性系统在坐标变换下的特性
2.7 组合系统的状态空间描述
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2.2 系统按其状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u , t ) x 设系统的状态空间描述为 y g ( x, u , t )
g1 ( x, u , t ) f1 ( x , u , t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) 2 ，g ( x, u , t ) 2 向量函数 f ( x, u , t ) g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) q n
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
(1) 系统的外部描述
外部描述常被称作为输出—输入描述 例如:对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n 1) b1u (1) b0u
若f(x,u,t)，g(x,u,t)的全部或至少一 个组成元为x、u的非线性函数,该 系统称为非线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方 法化为线性系统
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u 的线性函数,该系统称为线性系统
对于线性系统
& A(t ) X B (t )u X Y C (t ) X D (t )u
(2) 系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表 征——状态方程和输出方程
(3) 外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部
结构的不能控或不能观测的部分 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力 学特性.
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 状态变量组：一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时 间域行为的一个最小内部变量组
x1 (t ), x2 t ,, xn (t ) x1 (t ) x (t ) 2 x ( t ) 所组成的一个列向量 x ( t ) n

e(t )
L
iL
C Uc
iC
R2 U R2

R1 1 uc ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C e R1R2 R 2 iL L( R1 R2 ) L( R1 R2 )
以上方程可表为形如
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2.3 化输入-输出描述为状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
对于单输入，单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y ( n ) a n 1 y ( n 1) a1 y (1) a0 y bm u ( m ) bm1u ( m1) b1u (1) b0 u
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
up
x1 , x2 , , xn
y2
yq
考察一个系统由一些相互制约的部分构成整体，可用上图所示的一个方 块来表示。方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入， 系统对环境的作用为系统输出，两者分别用 u 和 y 表示，称其为系统外 部变量。用以刻画系统在每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量， 用 来表征，这些变量随着时间的变化体现了系统的行为。系统的数学描 述就是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。
写成矩阵形式
x1 (k 1) 0.9696 x (k 1) 0.0404 2 0.0202 x1 (k ) 5.05 104 u (k ) 4 0.9898 x2 (k ) 5.05 10
x1 (k ) y (k ) 1 1 x2 (k )
H (k )
x(k 1)

单位延迟
x(k )

C (k )
u (k )

y (k )
G (k )
离散时间线性系统的方块图
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2.1 系统的状态空间描述
人口分布问题状态空间描述的列写示例
假设某个国家，城市人口为107,乡村人口为9x107，每年4%的城市人 口迁移去乡村，2%的乡村人口迁移去城市，整个国家的人口的自然增长 率为1% 设k为离散时间变量， x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k) 为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励 5×104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5×104乡村人口 去城市, y(k)为第k年全国人口数
当且仅当系统的输入变量，状态变量和输出变量只取值于离散时间 点，反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程，该系统称 为离散时间系统。
X (k 1) Gx (k ) Hu (k ) Y (k ) Cx(k ) Du (k )
X (k 1) G (k ) x(k ) H (k )u (k )
AX Bu X Y CX Du
R1R2 uc R2 e R1 R2 iL R1 R2
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2.1 系统的状态空间描述
机电系统状态空间描述的示例
R a i a La dia c e e dt d c M i a f J dt ce Ra 1 &a L i i La a e a La c f & M 0 J J i 0 1 a
Y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
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2.2 系统按其状态空间描述的分类
确定性系统和不确定性系统
称一个系统为确定性系统，当且仅当不论是系统的特性和参数还是 系统的输入和扰动，都是随时间按确定的规律而变化的 称一个动态系统为不确定性系统，或者系统的特性和参数中包含某 种不确定性，或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等
同于状态的维数
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
几点解释
(1) 状态变量组对系统行为的完全表征性
(2) 状态变量组最小性的物理特征 (3) 状态变量组最小性的数学特征 (4) 状态变量组的不唯一性 (5) 系统任意两个状态变量组之间的关系 (6) 有穷维系统和无穷维系统 (7) 状态空间的属性
连续时间系统和离散时间系统
当且仅当系统的输入变量，状态变量和输出变量取值于连续时间点， 反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程，该系统称为连续 时间系统
& AX Bu X Y CX Du
& A(t ) X B (t )u X Y C (t ) X D (t )u
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
线性系统的状态空间描述
系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程）:描述系统输入、输出和
状态变量之间关系的方程组 • 状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）
• 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
A(t ) x B(t )u, t t0 x y C (t ) x D(t )u
bn 1 s n 1 b1 s b0 y( s) n 复频率域描述即传递函数描述 g ( s ) u ( s ) s an 1 s n 1 a1 s a0
u1
yq
u2
up
x1 , x2 ,, xn
y2
yq
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2.1 系统的状态空间描述
系统的状态和状态空间
& AX Bu X Y CX Du
线性时变系统
& A(t ) X B (t )u X Y C (t ) X D (t )u
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2.1 系统的状态空间描述
连续时间线性系统的方块图
D (t )
U
B (t )
& X


A(t )
X
C (t )
Y
& AX Bu X Y CX Du