《圆的面积》重难点分析
一、重点分析：
《圆的面积》是人教版教材六年级上册第四单元的教学内容，属于空间与图形领域。圆形是学生在学习中所接触到的第一个曲边图形，图形“由直到曲”的背后隐匿着丰富的内容和深刻的数学思想，蕴含着巨大教育价值。
在小学阶段，平面图形面积的教学是从长方形、正方形开始的。通过在长方形、正方形里摆单位面积的小正方形，引导学生观察发现长方形、正方形的面积正好是所摆单位面积的小正方形每行个数乘以行数，即长方形的长乘宽来推导出长方形、正方形的面积计算公式。这是所有平面图形面积计算的基础。在此基础上，又通过把平行四边形剪拼成长方形，把两个完全一样的三角形、梯形拼成一个大的平行四边形进一步推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。在这一过程中，学生不但学会了面积计算的方法。同时，也在学生的头脑中建立了有关平面图形面积计算的思维体系。
其具体过程如图所示：
链条中的重要一环。此外，圆的面积也为统计与概率领域中扇形统计图的学习提供了必要的支持。
2.《圆的面积》是数学思想的渗透点
在《圆面积》的学习中蕴含着丰富的数学思想方法，如转化的方法，极限思想，对应思想……而对于学生来说其中最为陌生的就是极限思想，这是学生第一次的真切感悟和经历，是从有限到无限，初步渗透极限思想的关键点。
3.《圆的面积》是培养学习方法的促进点
在《圆面积》的学习过程中需要学生运用转化的方法，将未知图形转化为已知图形，这是以前学习方法的一个巩固和延续。但以前的转化都是将“直到直”，而当下要实现“曲到直”，学生不免会产生一种顾虑——还能转化吗？转化的学习方法是普适的吗？当问题解决后学生会对“转化”这一学习方法产生新的认识。
综上，《圆的面积》无论在知识上、数学思想上还是学习方法上对于学生都是非常关键的，蕴含着丰富育人价值。
二、难点分析：
圆的面积的教学同样要以平面图形面积教学为基础，但却是最难的。因为以前所学到的平面图形都是平面上的直线图形，而圆是平面上的曲线图形。圆能不能转化为已学图形呢？如果能，怎样转化呢？这些都是困扰学生的难点问题。这些难点又是如何形成的呢？我想主要有如下几个方面：
（一）由知识点本身决定的
圆是小学阶段学生接触到的第一个曲边图形，其独有的“曲线”特征对于学生的已有知识经验和活动经验都是一种全新的挑战。我们首先对比一下各版本涉及这部分知识点的教材：
人教版教材
苏教版教材
浙江版教材
北师大版
以上版本教材包括课改前的教材都采用了将圆形通过沿直径平均分成若干份，通过拼摆转化成近似长方形的方法推导面积计算公式。然而，对于能否转化成标准的直边图形学生非常难理解，这需要学生用直观的“有限等分”去想象和理解抽象的“无限等分”，其中的思维跨度是人类历经千年才自然实现的，这与现代学生在短时间内就需要理解和掌握形成了鲜明的对比，其中的困难也就不言而喻了。课改后某些版本的教材，如苏教版教材和浙江版教材又增加了如下的教学内容。这正是教材编者充分的考虑到了学生理解上的困难，是教育结果由“结果向过程”转变的体现。
（二）学生自身认知水平决定的
美国数学家G·波利亚说过：“看似结论是可行的，这似乎是事实，但是人们怎么会发现这些事实呢？而我自己如何才能想到或发现它们呢？”。现实中小学生的抽象概括能力较弱，他们对抽象概念的理解总是借助于对直观事物的了解。因而学生对于抽象的无限分割是很难理解的，而理解的过程又恰恰是本内容学习的关键点。具体从如下几个方面分析：
1.基于以往经验的分析
在以往的教学实践中，学生总是不敢将圆剪开，也就不可能想到将圆转化成长方形进而推导面积计算公式的方法。而当教师给出分割图后，大部分学生认为不能转化。因为圆的便是弯曲的；少数学生认为能够转化，但不知道从哪里入手才能把圆拼成学过的图形。这样看来学生自主探究圆的面积公式是有难度的。应用原来推
导面积计算公式的方法和思维是确定的，但如何在操作中把圆的曲边变成直边是学生最大的思维障碍也是教学中公认的难点。
2.基于对学生调研的分析
课前，对教学班级进行了前测，题目如下：
具体测试数据如下：
通过前测可以看到，多数学生知道圆面积公式，但只有很少的学生知道公式推导过程，而其过程的掌握也只是看书得来的，而不是自己想到的，与我以往教学实践是相吻合的。
综上所述，《圆的面积》在学生几何知识的构建体系中是非常重要且特殊的一环。由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。
教师简介：
王彦伟，北京市东城区教师研修中心小学数学教研员，本科学历，中学高级，北京市数学特级教师。北京市“中小学名师发展工程”首批培养对象，吴正宪小学数学教师工作站首批进站成员。曾获得北京市人民政府颁发的第三届北京市基础教育教学成果一等奖、第四届北京市基础教育教学成果二等奖。曾荣获北京市优秀教师，北京市课改先进个人，东城区优秀青年知识分子，东城区优秀青年人才等荣誉称号。参与人教版教材教师指导用书的编写及北京版小学数学教材1-4册教材编写。曾在教育部主办的“全国教学经验交流与研讨会”上做展示课《可能性的大小》；曾获得北京市教学大赛一等奖，北京市教学设计评比一等奖；论撰写的多篇论文在全国、北京市获奖，并在省级以上刊物发表，指导多名教师获全国、市级赛课一等奖。
吴建成老师，本科学历，中学高级，北京市骨干教师。现任职北京市东城区府学胡同小学数学教学主任，连续十几年被聘为东城区兼职教研员。曾获得东城区“东兴杯”教学
大赛中获决赛一等奖，全国论文评比一等奖，全国教学案例评比一等奖，全国微课一等奖，北京市录像课一等奖，东城区教育成果一等奖，北京市教育成果二等奖，东城区育人奖，东城区教育新秀，东城区优秀教师，北京市基本功比赛高段二等奖等近三十余项奖项。撰写的40余篇论文先后获得多个全国和市、区级奖项，先后承担市、区级研究课30余节次，工作业绩突出。
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
圆的面积教学重难点及教法说明 说课内容是全日制小学数学课本第十二册"圆的面积"。本课是在学生已经掌握长方形面积的面积公式推导出圆面积的计算公式。 圆的面积是本单元的教学重点也是今后进一步学习圆柱体圆锥体等知识的基矗本节课的 教学目的要求是 通过学生操作、观察推导出圆面积的计算公式并能使用公式准确计算圆的面积。 通过教学培养学生初步的空间观点。 渗透转化数学思想。本节课的教学重点是观察操作总结圆面积公式。难点是理解公式的推导过程。关健是弄清圆与转化后的近似长方形之间的关系。本课教学采用直观演示和学生动手操作等方法充分使用电教媒体辅助教学由圆转化为近似的长方形总结出圆的面 积公式并能在实际中加以使用。 课堂教学程序设计 本节课分四个环节来设计教学。 第一个环节复习导入新课 为了激发学生的学习兴趣在计算机的屏幕上显示出一个红颜色的圆请同学看这圆一周的 长度叫什么这个圆所占平面的大小又叫什么引出课题"圆的面积"。 第二个环节新授 教学中使用转化的方法将未知转化为已知不但能够化繁为简化难为易而且能够勾 通知识之间的联系。能够协助学生理解新知识提升课堂教学效率。鉴于此新授部分我是这样设计的。 一公式的推导 准备题请同学们回忆平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来的。再想想三角形、梯形又都是转化成哪一种图形推导出它们的面积计算公式的。本课就用这种转化的方法来推导圆面积的计算公式。 推导圆面积公式 第一层次教授转化的方法。让学生看屏幕上的圆老师把它平均分成份先把上面的等份和下面的等份分开再交叉地拼在一起看看拼成了一个什么图形的近似图形为什 么说是近似的平行四边形呢让学生继续观察我们将其中左边的一个等份再平均分成 份将一小份移到右边拼起来现在拼成的图形近似什么图形由圆转化成近似的长方形什么发生了变化什么没有变
《圆的面积》重难点分析 、重点分析: 《圆的面积》是人教版教材六年级上册第四单元的教学内容， 属于空间与图形领域。圆 形是学生在学习中所接触到的第一个曲边图形， 图形“由直到曲”的背后隐匿着丰富的内容 和深刻的数学思想，蕴含着巨大教育价值。 在小学阶段，平面图形面积的教学是从长方形、正方形开始的。通过在长方形、正方形 里摆单 位面积的小正方形，引导学生观察发现长方形、正方形的面积正好是所摆单位面积的 小正方形每行个数乘以行数，即长方形的长乘宽来推导出长方形、正方形的面积计算公式。 这是所有平面图形面积计算的基础。 在此基础上，又通过把平行四边形剪拼成长方形， 把两 个完全一样的三角形、 梯形拼成一个大的平行四边形进一步推导出平行四边形、 三角形、梯 形的面积计算公式。 在这一过程中，学生不但学会了面积计算的方法。 同时，也在学生的头 脑中建立了有关平面图形面积计算的思维体系。 其具体过程如图所示: 《圆的面积》在课程体系中的作用非常突出，具体说有如下三点： 1. 《圆的面积》是知识体系的转折点 圆的教学是在学生学习了一些直边图形的周长和面积的基础上进行的，是“由直到曲” 的起点；圆的面积是六年级第二学期学习圆柱、 圆锥的基础， 也是初中学梯形面积 六年级 ---------- k 圆的面积 几何学 ＞正方形面积 直边 八 图形 曲边 重难点：体会极限思想, 掌握圆面积计算公式的 推导过程。 图形 四年级 长方形面积 三角形面积 五年级 组合图形面积 VZ 平行四边形面积
习平面几何的基础。因此，圆在空间与图形领域的学习中是一个转折点起着承上启下的作用。圆的面积是在圆的认识、圆周长基础上进行的是形成“由直到曲”认识链条中的重要一环。此外，圆的面积也为统计与概率领域中扇形统计图的学习提供了必要的支持。 2. 《圆的面积》是数学思想的渗透点在《圆面积》的学习中蕴含着丰富的数学思想方法，如转化 的方法，极限思想，对应思 想……而对于学生来说其中最为陌生的就是极限思想，这是学生第一次的真切感悟和经历，是从有限到无限，初步渗透极限思想的关键点。 3. 《圆的面积》是培养学习方法的促进点在《圆面积》的学习过程中需要学生运用转化的方法，将未知图形转化为已知图形，这是以前学习方法的一个巩固和延续。但以前的转化都是将“直到 直” ，而当下要实现“曲到直”，学生不免会产生一种顾虑——还能转化吗？转化的学习方法是普适的吗？当问题解决后学生会对“转化”这一学习方法产生新的认识。 综上，《圆的面积》无论在知识上、数学思想上还是学习方法上对于学生都是非常关键的，蕴含着丰富育人价值。 二、难点分析： 圆的面积的教学同样要以平面图形面积教学为基础，但却是最难的。因为以前所学到的平面图形都是平面上的直线图形，而圆是平面上的曲线图形。圆能不能转化为已学图形呢？如果能，怎样转化呢？这些都是困扰学生的难点问题。这些难点又是如何形成的呢？我想主要有如下几个方面： （一）由知识点本身决定的 圆是小学阶段学生接触到的第一个曲边图形，其独有的“曲线” 特征对于学生的已有知识经验和活动经验都是一种全新的挑战。我们首先对比一下各版本涉及这部分知识点的教材：人教版教材
小学数学六年级上册《圆的面积》教学 设计 一、教材分析 1、首先提出圆的面积计算和其他已经学过的图形的面积计算有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 在学习本课之前应具备的基本知识和技能： 二、内容分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： 掌握平面图形的计算方法 2、学习本课的入手点及目的： 在学习圆的面积之前，学生已经掌握其他平面图形的计算方法。这节课的目的就是让学生从平行四边形、长方形的面积计算方法和圆的面积的关系，总结出圆面积计算方法。 三、教学目标及其对应的课程标准： （一）教学目标：
1、经历探索圆面积计算方法的过程，进一步发展推力能力。 2、能运用圆面积公式进行简单的计算。 （二）知识与技能：通过动手实践推导出圆面积计算公式；探索圆面积计算方法和长方形面积计算方法飞关系，并能正确运用公式进行计算。 （三）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （四）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。 四、教育理念和教学方式： 1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀 2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。 3、教学评价方式： （1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。
《圆的面积》教学设计 教学目标： 1、引导学生推导出圆面积的计算公式，能运用公式灵活的计算，已知圆的半径、直径，求圆的面积。 2、在圆面积公式的推导过程中，通过猜测、观察、对比、发现、尝试等数学方法，探索圆面积的计算公式，培养学生迁移、分析、合作和创新的能力,发展学生的空间观念。 3、使学生感受圆的面积的奥秘，培养学生学习数学的兴趣，并将所学知识运用于生活实际。教学过程：一、创设情境，导入新课。课件演示：在草地的一个木桩上拴着一只羊，想一想这只羊能吃到草的最大范围在哪里？师：现在你想提什么数学问题?——揭示课题：圆的面积二、探索合作，推导公式。 1、认识圆的面积师出示一个圆片：圆的面积在哪里？请同学们拿出圆片，用手摸一摸，感受一下圆的面积,你想说什么? 出示结语：圆所占平面的大小叫做圆的面积 [设计意图：通过多媒体演示圆的面积让学生在充分直观感知圆面积的基础上，概括出圆面积的意义。]1、估算圆的面积师:圆的面积有多大呢?我们先来估计一下吧.如图所示:以这个圆的半径r为边画一个小正方形。 提问：小正方形的面积怎样表示？（板书：r2）大正方形的面积又怎样表示？如果用r来表示大正方形的面积又如何表示？（4 r2）那么，认真观察一下，与大正方形比，圆的面积与大正方形有什么关系？（老师把学生答案写在黑板上。）师：很显然，这个圆的面积小于＜4 r2.这个估计只能是个大概，要准确地求出圆的面积，还必须找到科学的方法。 [设计意图:巧设估算圆的面积这个环节 ,使学生对圆面积与r2的倍数关系,获
得十分鲜明的表象, 让学生带着悬念去探索推导公式,与后面得出圆面积计算公式后的验证前后呼应,加深学生对圆面积的计算公式的理解和记忆。] 3、积极动脑,讨论推导方法回忆一下:我们以前学平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时都是用什么方法推导出来的? ——引导转化[设计意图：创设问题情境，启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。激起学生用旧知探索新知的兴趣,并明确用转化的数学思想方法。] 4、小组合作,推导公式师:那圆可转化为哪一个学过的图形呢?小组可以剪一剪、拼一拼，试试看！哪怕是近似的图形也可以。小组讨论，设计方案。展示在投影仪上并汇报。师：比较一下，你更喜欢哪一种？为什么？你们是沿着什么来剪的？为什么要沿着半径来剪呢? (圆的面积与半径有关)。师:这种思路给了我们很大的启发！按照这种思路拼成的近似的平行四边形你们都很满意了吗？那么有没有什么办法让它的边变得更直呢?再剪几份，你是说把它分得更多份些，是吗？(可以把它分得更多份些)师:请拿出手中的圆片试着折一折,展开来,看看你折成了几等份?(学生展示并汇报)如果再折下去可以吗?现在老师就把你们折的这几种方案输入电脑。八等份、十六等份、三十二等份。（课件演示八分法、十六分法、三十二分法的展开图）师：观察这三种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？——发现：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。［设计意图：通过小组汇报、采访小组等不同形式，来调动学生的多种感官参与学习，发挥学生的主体作用，培养学生主动探究、互助合作的精神，并通过电脑验证，使学生进一步明确圆可以拼成的近似的长方形，渗透化曲为直的方
圆的面积计算练习题 一、填空 1．一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（）平方米。 2．已知圆的周长，求d=（），求r=（）。 3．圆的半径扩大2倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。 4．环形面积S＝（）。 5．用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。 6．大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，小圆面积是大圆面积的（）。 7．圆的半径增加，圆的周长增加（），圆的面积增加（）。 8．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是（）平方分米。 9．将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。 10．在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是（）平方厘米。 11．大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。 12．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。 13．鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（）平方米。 14．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是（）平方厘米 15．一只羊栓在一块草地中央的树桩上，树桩到羊颈的绳长是 3米。这只羊可以吃到（）平方米地面的草。 16．一根 2米长的铁丝，围成一个半径是30厘米的圆，（接头处不计），还多（）米，围成的面积是（） 17．用一根 10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（），面积是（） 18．从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）19．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（） 20．一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大（）倍。
《圆的面积》重难点的确立以及依据 一、重点分析： 《圆的面积》是六年级上册的教学内容，属于空间与图形领域。圆形是学生在学习中所接触到的第一个曲边图形，图形“由直到曲”的背后隐匿着丰富的内容和深刻的数学思想，蕴含着巨大教育价值。 在小学阶段，平面图形面积的教学是从长方形、正方形开始的。通过在长方形、正方形里摆单位面积的小正方形，引导学生观察发现长方形、正方形的面积正好是所摆单位面积的小正方形每行个数乘以行数，即长方形的长乘宽来推导出长方形、正方形的面积计算公式。这是所有平面图形面积计算的基础。在此基础上，又通过把平行四边形剪拼成长方形，把两个完全一样的三角形、梯形拼成一个大的平行四边形进一步推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。在这一过程中，学生不但学会了面积计算的方法。同时，也在学生的头脑中建立了有关平面图形面积计算的思维体系。 《圆的面积》在课程体系中的作用非常突出，具体说有如下三点： 1.《圆的面积》是知识体系的转折点 圆的教学是在学生学习了一些直边图形的周长和面积的基础上进行的，是“由直到曲”的起点；圆的面积是六年级第二学期学习圆柱、圆锥的基础，也是初中学习平面几何的基础。因此，圆在空间与图形领域的学习中是一个转折点起着承上启下的作用。圆的面积是在圆的认识、圆周长基础上进行的是形成“由直到曲”认识链条中的重
要一环。此外，圆的面积也为统计与概率领域中扇形统计图的学习提供了必要的支持。 2.《圆的面积》是数学思想的渗透点 在《圆面积》的学习中蕴含着丰富的数学思想方法，如转化的方法，极限思想，对应思想等。而对于学生来说其中最为陌生的就是极限思想，这是学生第一次的真切感悟和经历，是从有限到无限，初步渗透极限思想的关键点。 3.《圆的面积》是培养学习方法的促进点 在《圆的面积》的学习过程中需要学生运用转化的方法，将未知图形转化为已知图形，这是以前学习方法的一个巩固和延续。但以前的转化都是将“直到直”，而当下要实现“曲到直”，学生不免会产生一种顾虑——还能转化吗？转化的学习方法是普适的吗？当问题解决后学生会对“转化”这一学习方法产生新的认识。 综上所述，《圆的面积》无论在知识上、数学思想上还是学习方法上对于学生都是非常关键的，蕴含着丰富育人价值。本节课确定教学重点是：圆的面积公式的推导。 二、难点分析： 圆的面积的教学同样要以平面图形面积教学为基础，但却是最难的。因为以前所学到的平面图形都是平面上的直线图形，而圆是平面上的曲线图形。圆能不能转化为已学图形呢？如果能，怎样转化呢？这些都是困扰学生的难点问题。这些难点又是如何形成的呢？我想主要有如下几个方面：
《圆的面积》第一课时教学设计 新民镇胡家坡小学宫文涛 教学内容：圆的面积（北师大版义务教育课程标准实验教书六年级数学上册第16页到第18页内容） 教学目标： 1.结合面积的意义了解圆面积的含义，通过对圆面积计算公式的推导，掌握圆的面积计算方法。 2.能正确运用公式计算圆的面积，并能运用圆面积计算方法解决简单的有关圆面积计算的实际问题。 3.通过面积单位的回顾使学生初步体会“化曲为直”的思想。 教学重点:圆的面积计算公式的推导和圆面积的计算。 教学难点：圆面积公式的推导。 教学准备：课件、圆面积演示仪。 教学过程： 一、回顾与导入。 1.说出圆周长的计算公式。 2.在计算半圆周长的时候，我们计算过圆周长的一半。你能用字母式子表示圆周长的一半吗？ 3.想一想，说一说。 （1）桌面大还是凳子面大？教室的地面大还讲台 面大？ （2）右面的两个圆哪个大哪个小？ （3）引导学生回顾什么是面积，从而引入“圆的面积”。 二、探究新知。 1.课件展示情境图（教材第14页浇灌图），引导学生想到要知道这个喷水装置转一周能喷多大的面积，就是要求圆的面积。那么圆的面积怎样
计算呢，这就是我们这节课要探讨的内容。同学们有兴趣吗？ 2.估一估半径5m的圆的面积有多大。 课件呈现在边长10m的正方形中画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，通过数方格的方法让学生估一估。（鼓励学生用多样的方法估一估） 3.回顾面积单位，引导学生体会“化曲为直”的思想。 请同学描述一下1平方米、1平方分米、1平方厘米有多大？ 这样的正方形就是度量面积的“尺子”，请同学们对比一下正方形和圆，看能准确地量出圆的面积吗？（课件演示帮助学生思考）互相交流自己的看法和想法。（只有想办法把圆转化成直线图形） 4.师生一起操作，体会“化曲为直”。 （1）学生用自己8等分的圆转化 师：你拼出的图形是什么样？ 生：像平行四边形。 师：请同学们把边上的一份拿出来平均分成两份，给拼成的图形两边各补一份，看看有什么变化？ 生：像长方形。 （2）教师用16等分的教具演示，学生观察。 师：你发现教师的操作与你们有什么不同？ 生：分成的份数多，拼成的图形更像长方形。 （3）课件展示分的更多份数的拼法，引导学生想像最终可以拼成一个比较标准的长方形。 5.引导学生推导圆面积的计算公式。
《圆的面积》 【重难点】：圆面积公式的推导 【突破方法】： 1、尝试“转化”： 师：圆形的面积该怎样计算呢？能不能把圆形转化为我们已学过的其它图形呢？（板书课题：圆的面积） 请大家看屏幕（利用课件演示），老师先给大家一点提示。 师：（教师配合课件演示作适当说明）如果我们把一个圆形平均分成16份，其中的每一份都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？ 师：是的，其中的每一份都是一个近似三角形。请同学们再想一想，这个近似三角形这一条边（教师指示）跟圆形有什么关系呢？ （引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。） 师：如果我们用这些近似三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其它图形了。同学们，拿出你们课前准备的圆形，请你们动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其它图形，开始吧！ （学生利用这种近似三角形拼组图形会有一定的难度，教师要加强巡视和有针对性的指导，既鼓励学生拼出自己想象中的图形，又要引导他们拼出最简单、最容易计算面积的图形。） 2、探究联系。 师：同学们，“转化”完了吗？好，请大家来展示一下你们“转化”后的图形。（分组逐个展示，并将其中“转化”成长方形的一组的作品贴在黑板上。如果有小组转化成了不规则的图形，教师应及时引导他们转化为我们已学过的平面图形。） 师：好，各个小组都不错。现在请同学们思考一个问题：你们把一个圆形“转化”成了现在的图形之后，它们的面积有没有改变？ 师：谁来告诉大家，它们的面积有没有改变？ 师：是的，没有改变，就是说：这个近似的长方形的面积＝圆的面积。 师：虽然我们现在拼成的是一个近似的长方形，但是如果把圆等分成32份、64份、128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，拼成的图形就变为真正的长方形了。（动画演示） 3、推导公式。 师：现在我们就来看这个长方形。同学们，如果圆的半径为r，你们知道这个长方形的长和宽分别是多少吗？现在请小组为单位进行讨论讨论。 师：好，同学们，谁能首先告诉老师，这个长方形的宽是多少？ （根据学生的回答，教师演示，同时闪烁圆的半径和长方形的宽，并标示字母r，）师：那这个长方形的长是多少呢？请大家看屏幕，这个红色的半圆展开后，其中这条黄色的线段就是长方形的长（如图十），请同学们仔细观察（课件继续演示，半圆展开后再还原，再展开，），这个长方形的长究竟与圆的什么有关？究竟是多少呢？ （教师引导学生明白：这个长方形的长与圆的周长有关，并且是圆的周长的一半
《圆的面积》重难点突破 圆的面积公式推导、圆面积计算及其应用突破建议： 1．激发学生原有知识经验，促进正迁移，实现圆面积公式的推导。圆这一单元的学习是学生小学阶段学习平面图形的最后一部分内容。尽管知识的学习内容与先前的平面图形有显著区别，但许多概念和思维的策略、推理的方式存在密切的联系。因此，教学时要充分激发学生原有的知识经验，为学习新知提供铺垫与准备。例如新课一开始，就可围绕“怎样计算一个圆的面积呢”引导学生回忆已学过的一般图形的面积的含义，促进对圆面积概念的理解。同时，再引导学生回顾以前研究的多边形面积时，我们是采取怎样的办法，将多边形转化为已学的图形来求面积，为学生学习圆面积公式的推导提供思维策略的支撑。在此基础上提出“是否也可以把圆转化为已学的图形呢？”，后续的教学便顺理成章，水到渠成，有利于学生展开自主探索、合作交流，进而抽象概括归纳出圆的面积公式。 2．借助有关圆知识的学习，在“做”的过程和“思考”的过程中体悟掌握“转化、推理、极限”等数学思想方法。圆这一单元的学习，除了有关圆知识的概念、公式、计算外，还包含着“化曲为直”“转化”“推理”“极限”等数学思想方法，因此在教学时在理解掌握知识的同时，更要让学生充分感受和掌握这些数学思想方法，以体现数学教学的本质。 借助有关圆知识的学习，充分展示学生“做”的过程和“思考”的过程，是渗透数学思想方法、引导学生体会掌握的有效途径。例如在要求学生用剪开后的近似于等腰三角形的小纸片拼一拼时，提出“你发现了什么”，引导学生对比圆与长方形，发现形变的过程面积不变，再通过寻找长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系，推导圆的面积算公式，这一过程，就很好地培养了学生的推理能力。利用信息技术手段，展示把圆分成32份、64份甚至更多份的情况，让学生直观地看到图形的变化趋势，并不断启发引导学生展开想象。经历这些过程，学生自然地感受体会到极限的思想，也积累了一定的活动经验。又如在教学例3时，当学生经历问题解决的全过程，在顺利解决外切正方形与圆之间的面积时，接着求圆与内接正方形之间面积，发现无法直接求出圆内正方形的边长，怎么办？引导学生思考：能与正方形发生关系的只有圆的直径与半径，该如何充分利用这些已知信息呢。在比照、观察、分析中发现，直径恰好是正方形的对角线，虽然仍然不能求出长方形的边长，但添上这根辅助线后发现可以把正方形的面积转化为两
苏教版圆的面积教学设计 教学内容：国标本苏教版教科书小学数学五年级下册第103～105页“圆的面积”以 及相应的“练一练”、练习十九第1题。 教学内容分析： 圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形 面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和 挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出 圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕“转化”思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成 对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。 学生情况分析： 小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。 本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，五年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到 数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活 动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具 开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想， 从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学 会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。 教学目标： 1、让学生经历操作、观察、填表、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌 握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数 学模型。 2、让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已 有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考。 3、让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程， 提高学习数学的兴趣。 教学重难点： 重点：圆的面积计算公式的推导和应用。 难点：圆的面积推导过程中，极限思想化曲为直的理解。
“圆的面积计算公式”教学设计 【教学内容】 “圆的面积计算公式”的推导 【教学目标】 1．学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式。 2．能够利用公式进行简单的面积计算。 3．渗透转化思想，初步了解极限思想，培养学生的观察能力和动手操作能力。 【教、学具准备】 1．ppt课件； 2．把圆8等分、16等分和32等分的硬纸板若干个； 3．剪刀若干把。 【教学过程】 一、尝试转化，推导公式 1．确定“转化”的策略。 师：同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形的面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？ 预设： 引导学生明确：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形的方法推导出了平行四边形的面积计算公式。 师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？ 师：对了，我们将平行四边形、三角形“转化”成其它图形的方法来推导出它们的面积计算公式。 2．尝试“转化”。 师：那么，怎样才能把圆形转化为我们已学过的其它图形呢？（板书课题：圆的面积） 请大家看屏幕（利用课件演示），老师先给大家一点提示。
师：（教师配合课件演示作适当说明）如果我们把一个圆形平均分成16份（如图三），其中的每一份（如图四，课件闪烁其中1份）都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？ 师：是的，其中的每一份都是一个近似三角形。请同学们再想一想，这个近似三角形这一条边（教师指示） 跟圆形有什么关系呢？ 预设： 引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。 师：如果我们用这些近似三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其它图形了。同学们，老师为你们每个小组都准备了一个已经等分好了的圆形，请你们动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其它图形，开始吧！ 预设： 学生利用这种近似三角形拼组图形会有一定的难度，教师要加强巡视和有针对性的指导，既鼓励学生拼出自己想象中的图形，又要引导他们拼出最简单、最容易计算面积的图形。一般情况下，学生会拼出如下几种图形（如图五、图六、图七）。 3．探究联系。 师：同学们，“转化”完了吗？好，请大家来展示一下你们“转化”后的图形。 预设： 分组逐个展示，并将其中“转化”成长方形的一组的作品贴在黑板上。如果有小组转化成了不规则的图形，教师应及时引导他们转化为我们已学过的平面图形。
“圆的面积”的教法探讨 圆是小学阶段最后的一个平面图形，学生从学习直线图形的认识，到学习曲线图形的认识，不论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，都有所变化，是学习上的一次飞跃。 通过对圆的研究，我让学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念来说，进入了一个新的领域。因此，通过对圆有关知识学习，不仅加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为以后学习圆柱，圆锥和绘制简单的统计图打下基础。这节课中，我渗透了曲线图形与直线图形的关系，即化曲为直的思想。本节课，我认为我主要有以下几个亮点： 一、故事激趣，渗透“转化”重视自主探究，发挥学生主体性。 教学“圆的面积”计算公式推导时，故事激趣，渗透“转化”我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，看看他们的推导方
法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。 二、大胆猜测，激发探究 在凸现圆的面积的意义以后，我让学生猜测圆的面积可能与什么有关。当学生猜测出圆的面积可能与圆的半径有关系时，设计实验验证：以正方形的边长为半径画一个圆，用数方格的方法计算出圆的面积，探索圆的面积大约是正方形面积的几倍。这一内容是旧教材所没有的。学生的好奇心、求知欲被充分调动起来，而这些，又正好为他们随后进一步展开探究活动作好了“预埋”。明确了概念，认识圆的面积之后，自然是想到该如何计算图的面积？公式是什么？怎么发现和推导圆的面积公式？这些都是摆在学生面前的一系列现实的问题。此时的学生可能一片茫然，也可能会有惊人的发现，不管怎样都要鼓励学生大胆的猜测，设想，说出他们预设的方案？你打算怎样计算圆的面积？课堂上根据学生的反映随机处理，估计大部分学生会不得要领，即使知道，也可以让大家共同经历一下公式的发现之路。此时，由于学生的年龄小，不能和以前的平面图形建立联系，这就需要教师的引导，以前学过哪些平面图形？让学生迅速回忆，调动原有的知识储备，为新知的“再创造”做好知识的准备。
圆的面积教学设计 一、概述： 圆的面积义务教育课程标准实验均教科书（人教版）数学六年级上册，第四单元《圆的面积》第一课时。教材第67、68页例1。主要内容是通过学生动手操作、自主探索、推导出圆的面积公式和应用圆的面积公式解决实际问题。圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲线图形的面积计算，学生还是第一次接触到。在本单元中，本节内容安排在“认识圆，圆的周长”之后，这样可以让学生借鉴在学习圆周长时的经验来研究圆的面积；有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法。所以教材直接提出：运用转化的思想来求圆的面积。让学生完全自主地探索如何把圆珠笔转化成学过的图形有很大的难度，教材给出了明确提示，让学生操作中自主、发现圆的面积和拼成的图形的关系，并推导出圆的面积计算公式。因此本课的教学运用转化思想，联系已学知识把新知识纳入已有知识中研究、分析、归纳完成新知识的建构过程。 二、教学目标分析： 知识与技能： 1、让学生经历操作、观察、填表、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题。 2、培养学生观察、操作、分析、归纳的能力，以及逻辑推理能力 3、培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力 过程与方法： 1、引导学生学会利用已有知识，运用数学思想方法，动手实践，推导、归纳出圆珠笔的面积计算公式。 2、渗透极限、转化、以直代曲等数学思想方法，发展学生的空间观念让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，培养运用以有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考。 情感态度价值观： 通过实例引入，让学生体验数学来源于生活，又服务于生活；向学生展示生动、活泼的数学天地，唤起学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，在参与中体验成功的乐趣。培养学生认真观察、深入思考的良好思维品质，体验自主发现新知的快乐，培养学生数学的兴趣。 重点：圆的面积计算公式的推导和应用
《圆的面积》教学设计 商丘市梁园区谢集镇良浩第四小学张志海 教学内容：六年级数学上册第67-68页圆的面积。 教学目标： 1：认知目标 理解圆的面积的含义；理解和掌握圆的面积公式。 2：过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3：情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 教学重点：正确掌握圆面积的计算公式。 教学难点：圆面积计算公式的推导过程。 达标规程：操作---观察---引用---概括---记忆---应用 教学准备： 学生：圆形纸板、剪刀、彩笔、三角板等学具。 教师：相应课件或圆的面积演示教具 教学过程： 一、复习。 1、口算。 22 42 0.32 0.52 2π 12.56÷π 2、长方形的面积计算公式是什么？平行四边形呢？三角形呢？ 3、已知圆的半径r，圆周长的一半怎样求？ 二、导入新课，揭示课题。 1、首先利用课件或教具演示，让学生直观感知画圆留下的轨迹是条封闭的曲线；其次，在内填充颜色并分离，让学生明确：这条封闭的曲线长度是圆的周长；填充的部分是曲线围成的面是圆的面积。接着，让学生摸一摸手中圆形纸片的面积和周长，亲身体验一下，并理解圆的面积指的是圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2、以幻灯片1的情境图创设情境，引入课题。 预设：（出示幻灯片1的情境图） 师：同学们，请看上面的这幅图，想一想，从图中你发现了什么信息？（学生观察思考） 师：请你来说说。生1：我发现图上有一匹马拴在了树上。 师：请你也来说说。生2：我发现马儿吃草的最大范围可能是个圆形。 师：哦，是个圆形，还有没有？请仔细观察。生：我发现一个马儿提出了一个问题。 师：这个问题是什么？生：这个小马说“我的最大活动范围有多大？”。 师：你们能帮它解决这个问题吗？怎么办？（生：我认为要知道用多大范围，就得知道马儿它走过的圆形面积。） 师：只要知道圆的面积就可以解决这个问题是吧？今天我们就要一起来学习圆的面积。（板书课题“圆的面积”）在学习这节课之前，老师想问问你们，你们有什么想法？你们有什么问题吗？你想从这节课中学到什么知识？（生：……） 三、探究新知。 （一）圆的面积计算公式的推导 1．确定“转化”的策略。
圆的面积 教学目标： 知识与能力：使学生理解和掌握圆的面积计算公式，能利用公式计算圆的面积，解决一些简单的实际问题。培养学生操 作，观察，分析和概括等能力。 过程与方法：通过学生动手操作，培养学生的创新意识和创新精神。 情感、态度、价值观：渗透极限思想，并使学生进一步认识转化的数学思想和方法。 教学重点、难点：圆的面积推导过程 教具、学具： 用于圆面积推导演示的相应的5个圆面积展开模型，彩纸圆形，剪刀，多媒体电脑及相关课件。 教学内容：教材第67页第四单元第三课时：圆的面积计算 教学过程： 一、导入新课 1、电脑演示：用一根绳子把斑马栓到草地中心一棵树上，斑马走一圈。 2、提问：看着刚才的动画，你能想到什么问题？斑马吃草的最大
面积是多少？也就是求什么的面积？（从学生熟悉的事物引入，激发学生的学习兴趣。） 4、我们已经认识了圆，圆的直径，半径。周长之间的关系。 3、那么我们该怎样求圆的面积呢？今天我们就一起来研究与这有关的问题。（板书课题）“圆的面积”。 出示：概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 二、转化 1、师：我们先来回忆一下，以前学过的平行四边形的面积公式是怎样推导转化而来的呢？（根据学生回答电脑演示：平行四边形的转化过程。） 2、师：请同学们自己动手操作。利用你桌面上的圆片，把它们各自平均分成8等份，16等份， 32等份。试一试，能拼成什么图形？我们以前学过的图形的边都是直的，而圆的边是曲的怎么办呢？（学生动手操作） 3、根据学生操作的结果，计算机边演示转化过程边归纳。 （1）把圆平均分成4等份，拼成近似平行四边形。看拼成的图形像什么图形？ （2）把圆平均分成8等份，拼成近似平行四边形。看看这个图形像什么？是不是有点像平行四边形？（有点像平行四边形）要怎样变
《圆的面积》重难点突破预设方案 教学内容:人教版六年级《圆的面积》。 教材分析:把未知的问题转化为已知的问题是常用的思想方法，而“化曲为直”是推导圆面积公式的基本思想，教材注重这些思想方法的渗透，引导学生用这个思想来推导圆的面积计算公式。 教学预设：教材首先创设了一个“节水型灌溉”的生活情境，呈现了一个旋转喷水器喷水的情境，喷水区域形成一个圆，并提出一个问题“喷水头转动一周可以浇灌多大的面积”，帮助学生在具体情境中了解圆的面积的含义，体会计算圆的面积的必要性，并引发研究圆面积的兴趣。教学时，先要引导学生理解情境，如可以让学生讨论“喷头旋转一周，喷到的地方形成什么图形”“圆的面积是指哪一部分”“圆的半径是多少”等。 教学目标： 1. 通过操作，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。 2. 激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3. 渗透转化的数学思想和极限思想。 教学重点：正确计算圆的面积。 教学难点：圆面积公式的推导。 学情分析：本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 学法指导：教学本课时，重点引导学生提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念。 教具准备：多媒体课件，圆片。 学具准备：把圆片分成十六等分，并按课本图所示，剪拼并贴成近似长方形。 教学设计： 一、复习旧知，导入新课
一、圆的面积计算 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆面积公式 圆的面积公式：S 圆=πr 2 ；变形可得到： r 2 = S ÷ π 12 圆的面积公式： S =πr 2 ÷2或S = 12 πr 2 14 圆的面积公式： S =πr 2 ÷4 或S = 14 πr 2 注：1、已经圆的面积可以用变形公式求出圆的半径。 2、 一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 3、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 4、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 5、圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：1 6、圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：1 7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。 二、环形的面积：（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差） 一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 。（R ＝r ＋环的宽度．） 环形的面积公式：S 环 = πR2－πｒ2 或S 环 = π（R2－ｒ2）。 例：左图中大圆的半径R=6cm ，小圆半径r=2cm ，阴影部分（圆环） 的面积得： S 环 = π（62－22）cm 2=32π（cm 2） 三、扇形的面积计算公式：S 扇 = πr 2× 360 n （n 表示扇形圆心角的度数）
四、确定起跑线 （1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 （2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（3）每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度 （4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
《圆的面积》重难点分析 一、重点分析： 《圆的面积》是人教版教材六年级上册第四单元的教学内容，属于空间与图形领域。圆形是学生在学习中所接触到的第一个曲边图形，图形“由直到曲”的背后隐匿着丰富的内容和深刻的数学思想，蕴含着巨大教育价值。 在小学阶段，平面图形面积的教学是从长方形、正方形开始的。通过在长方形、正方形里摆单位面积的小正方形，引导学生观察发现长方形、正方形的面积正好是所摆单位面积的小正方形每行个数乘以行数，即长方形的长乘宽来推导出长方形、正方形的面积计算公式。这是所有平面图形面积计算的基础。在此基础上，又通过把平行四边形剪拼成长方形，把两个完全一样的三角形、梯形拼成一个大的平行四边形进一步推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。在这一过程中，学生不但学会了面积计算的方法。同时，也在学生的头脑中建立了有关平面图形面积计算的思维体系。 其具体过程如图所示：
链条中的重要一环。此外，圆的面积也为统计与概率领域中扇形统计图的学习提供了必要的支持。 2.《圆的面积》是数学思想的渗透点 在《圆面积》的学习中蕴含着丰富的数学思想方法，如转化的方法，极限思想，对应思想……而对于学生来说其中最为陌生的就是极限思想，这是学生第一次的真切感悟和经历，是从有限到无限，初步渗透极限思想的关键点。 3.《圆的面积》是培养学习方法的促进点 在《圆面积》的学习过程中需要学生运用转化的方法，将未知图形转化为已知图形，这是以前学习方法的一个巩固和延续。但以前的转化都是将“直到直”，而当下要实现“曲到直”，学生不免会产生一种顾虑——还能转化吗？转化的学习方法是普适的吗？当问题解决后学生会对“转化”这一学习方法产生新的认识。 综上，《圆的面积》无论在知识上、数学思想上还是学习方法上对于学生都是非常关键的，蕴含着丰富育人价值。 二、难点分析： 圆的面积的教学同样要以平面图形面积教学为基础，但却是最难的。因为以前所学到的平面图形都是平面上的直线图形，而圆是平面上的曲线图形。圆能不能转化为已学图形呢？如果能，怎样转化呢？这些都是困扰学生的难点问题。这些难点又是如何形成的呢？我想主要有如下几个方面： （一）由知识点本身决定的 圆是小学阶段学生接触到的第一个曲边图形，其独有的“曲线”特征对于学生的已有知识经验和活动经验都是一种全新的挑战。我们首先对比一下各版本涉及这部分知识点的教材： 人教版教材