空间向量及其加减数乘运算

8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。

第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。

4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。

5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（ ）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（ ）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。

空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。

假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。

在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。