2021高一数学下册期中考试 附答案

江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，且，那么实数的值是（ ）A.B. C. -2 D. 22. 若，则实数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知，，则的值为（ ）A. -2B. C. 2D.4. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A. 2B.C. D.6. 在中，点在线段上，且，若，则（）()2,1a=- ()1,b m =a b ⊥ m 1212-231aii i+=++a =tan 3α=-tan 1β=()tan αβ-12-12a b 2a = 1b = 2a b +=a b 30︒60︒120︒150︒ABC △A B C a b c 30B =︒a =3c =sin sin a bA B+=+12ABC △P AB 4BA BP = 22cos sin CP CA CB θθ=⋅+⋅ cos2θ=A. B.C. D.7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即则（ ）A.B.C.D.8.▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为（）A. -1B. 1C. 2D. 3二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 在复平面内，对应的点在第四象限 B. C. 复数和满足方程 D. 12-1214-14C D AB AC BD AB AB ==cos DEC ∠=4cos 40+=︒▲3z i =+z z =z z 26100x x -+=2106z i=+10. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 如果为锐角，为虚数单位，，，则D. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，为边的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若的周长为C.D. 若是中点，三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则实数__________.14. 已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（为虚a b c//a b a b a b ⋅=⋅ //a b //b c //a ca cbc ⋅=⋅ a b= a b a b +=-a b⊥ ABC △A B C a b c A B >a b>AB AC BA BC bc ac⋅⋅<A i 1cos sin z A iB =+2cos sin z B i A =+12z z <sin sin a b A B->-ABC △A B C a b c a =1sin sin 4B C =1tan tan 3B C =D AC 60A =︒ABC △4+BD M BD 34AM CM ⋅=a b 35OA a b =+ 47OB a b =+ OC a mb =+A B C m =z z i数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.15. 已知正六边形的边长为1，当点满足__________时，.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则__________；的值为__________.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.4z z +=-z z -=7z z ⋅=2zz=z =ABCDEF M 32BF BM ⋅= ABCD 50cm 10cm EFGH tan HAB ∠=AG DF ⋅αβ4sin 5α=()tan 2αβ+=-tan β()cos αβ-18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，__________.（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长.19. 若是边长为2的正三角形.请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分.（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点.b ci +=i ABC △6AB AC ⋅=-ABC △A B C a b c 2b c -=1cos 4A =-a D BC 3BD DC =AD ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △EF EF ABC E F AB AC AE xAB =AF y AC =(),0,1x y ∈N BC（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值.21. 已知，，函数.（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由.22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设.13y =BF AN ⋅ M EF 1x y +=MN0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x R ∈()()222()cos cos sin f x x x x αα=++-+()f x αx ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭αO A B C AB AC BC ==AOB θ∠=（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出此时的最大值.参考答案一、单项选择题1-5：DCCBC 6-8：AAB二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD三、填空题13. 114.15. 为直线上任一点均可16.；0四、解答题：17. 解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而.（2）由，得：，则.3πθ=OACB θOC 2-M AD139αβcos 0α>sin 0β>cos 0β>3cos 5α==sin 4tan cos 3ααα==[]tan()tan tan tan ()21tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++sin tan 2cos βββ==22sin cos 1ββ+=sin β=cos β=34cos()cos cos sin sin 55αβαβαβ-=+=+=18. 解：（1）方案一：选择条件①由，解得，则，则.方案二：选择条件②∵，∴，又∵，∴，由，解得，∴，则.方案三：选择条件③∵，；∴，由，解得，∴，则.（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则.在中，由余弦定理得：，22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =1cos 4A =-sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =cos 6b A AB AC c =-⋅= 1cos 4A =-24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =ABC △22211cos 216a cb B ac +-==8a =3BD DC =6BD =ABD △2222cos 19AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=则.19. 解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分.证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上.设，，∴，由（1）知，由得.在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：①在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）20. 解：【法一（基底法）】AD =E A F BC EF ABC △ABF ACF ≅△△ABF △ACF △EF ABC △EF ABC △E AB F AC AE m =AF n =1sin 602AEF S mn =︒=△ABC S =△12AEF ABC S S =△△2mn =AEF △222222cos 60EF AE AF AE AF m n mn mn =+-⋅︒=+-≥m n ==min EF =E AB F AC AE AF AB AC ==EF ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △（1）当时，，，.（2），，则，则.当时，的最小值为【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，（1）由，得，则，，.（2）∵，，13n =13BF AF AB AC AB =-=-1()2AN AB AC =+111223BF AN AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111236AB AB AC AC=--⋅+18=-11()()22AM AE AF x AB y AC =+=+ 1()2AN AB AC =+ 1112222x y x x MN AN AM AB AC AB AC ---=-=+=+MN AN AM =-= =12x y ==MN BC x y ()0,0N ()3,0B -(A ()3,0C 13AF AC =(1,F (0,AN =- (4,BF =18AN BF ⋅=- AE xAB = AF y AC =∴，，为线段的中点，则，则当时，的最小值为21. 解：（法一）（1）定义域是，，∴函数是偶函数.（2）∵，∴，移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有.∵，∴.（法二）.（1）定义域是，(3)(3)E x x --=-(3)(3)F y y -=M EF 3(2M x y ⎛-+ ⎝MN == 12x y ==MN x R ∈222()cos ()cos ()sin ()f x x x x αα-=-++--+-222cos ()cos ()sin ()x x x f x αα=-+++=()f x ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭222222cos ()cos ()sin sin ()sin ()cos x x x x x x αααα++-+=-+++cos(22)cos(22)cos 20x x x αα-++-=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=1cos(22)1cos(22)1cos 2()222x x xf x αα+++--=++3cos 2(2cos 21)2x α+-=x R ∈∵，∴该函数在定义域内是偶函数.（2）由恒成立得：，化简可得：对于任意实数上式恒成立，则，∵，∴.22. 解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为（2）当时在中，由余弦定理得，∴在中，由正弦定理得，即3cos(2)(2cos 21)3cos 2(2cos 21)()()22x x f x f x αα+--+--===()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3cos 2(2cos 21)3cos 2(2cos 21)222x x παα⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=3cos 2(2cos 21)2x α--=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=OAB △2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πθ=+-⋅=+-⨯⨯=OACB 21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△1122=⨯⨯=0θπ<<OAB △2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-AB =AC =OAB △sin sin AB OBOAB θ=∠sin sin OB OAB AB θ∠==又，所以为锐角，∴，∴，在中，由余弦定理得：.则当时，的最大值为3.当时，由余弦定理得：，此时，，当时，，此时，，综上，当时，的最大值为3.OB OA <OAB ∠cos OAB ∠==cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=OAC △2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭23πθ=OC 0θ=22222cos 11211cos 33OC OB BC OB BC πθ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=3OC =<θπ=1233CO CA CB =+CO == 3OC =<23πθ=OC。

上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．2.已知θ是=_______．3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC =__________．8.已知AB AC ⊥，1AB t = ，AC t =,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅= ，则a b ⋅ 的值为_______.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-=，则15||A A 的最小值为______．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅> ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知25cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．18.已知向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a =，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2=DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x23π-π31x 2x 10π3x ωϕ+0π2π32π2πsin()x ωϕ+0101-0()f x 032y 0（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x ∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a =-与(,2)b x = 共线，则x =_______．【答案】6-【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量(3,1)a =-与(,2)b x =共线，所以()3210x ⨯--=，故6x =-．故答案为：6-.2.已知θ=_______．【答案】cos θ【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.cos θ==，且θ是第四象限角，则cos 0θ>，即cos cos θθ=cos θ=故答案为:cos θ3.已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3π【分析】先结合212S r α=求出r ，再由l r α=求解即可【详解】由2162S r r α=⇒==，则6183l r ππα==⨯=故答案为：3π【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4.已知(1,2),(2,2)a b =-=- ，则a b - 的单位向量的坐标为_______．【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】先由向量的线性运算求得(3,4)a b -=-，再由模的坐标表示求得5a b -= ，从而求得所求.【详解】因为(1,2),(2,2)a b =-=-，所以(3,4)a b -=-，故5a b -== ，则a b - 的单位向量的坐标为34,55a b a b ⎛⎫- ⎪⎝-=⎭-．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭.5.若函数2sin 4=+y x x 的最小值为1，则实数=a __________.【答案】5【分析】由辅助角公式得2sin x x +的最小值为，由此可求得a 值．【详解】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设()sin cos f x a x b x =+，则())f x x ϕ=+，其中tan b aϕ=，ϕ角终边过点(,)a b ．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．6.若关于x 的方程12cos 2ax ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞-【分析】先由三角函数的值域得到[]2cos 2,2y x =∈-，再由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解得到212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，解之即可.【详解】因为[]2cos 2,2y x =∈-，所以由方程12cos 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解可得212a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭或212a⎛⎫⎪⎝<-⎭，因为指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以由111222a->=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1a <-，由212a⎛⎫⎪⎝<-⎭可知a ∈∅，综上：1a <-，则(),1a ∞∈--.故答案为：(),1-∞-.7.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-=====考点：正余弦定理解三角形8.已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t = ,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于________.【答案】13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅ 为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t,4AB AC AP AB AC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭ ()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.9.若1122l log sin si 2n og αβ+=，且()cos cos 1279βα=，求()cos 22αβ+=____________.【答案】4972【分析】将等式化简可得1sin sin 4αβ=,2cos cos 3αβ-=,可得()11cos 12αβ+=,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,()111222log log sin sin l g s 2o in sin ααββ+==,即211sin sin 24αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()cos cos 1279βα=,则3cos cos 233αβ-=,即2cos cos 3αβ-=,则()2111cos cos cos sin sin 3412αβαβαβ+=-=--=-,所以()()()221149cos 22cos 22cos 1211272αβαβαβ⎛⎫+=+=+-=⨯--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭故答案为4972【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10.将函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(ω>0)的图像向左平移3ωπ个单位，得到函数y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移3πω个单位，可知()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，y ＝g(x)在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，可知周期44T π≥，所以1244ππω⋅≥，即2ω≤，ω的最大值为2．考点：三角函数的性质与图像的平移．11.设a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______.【答案】132-【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅= ，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅= ，则,2b c k a c k ⋅=⋅= ，a b c、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得13cos 2θ=，或13cos 2θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==.故答案为：132-．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1,2,3)n n n n A A A A n +++⋅== ，112||||21(1,2,3)n n n n A A A A n n +++⋅=-= ，则15||A A的最小值为______．【答案】263【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出15||A A，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设12||A A x = ，则23||1A A x = ，3445||3,||35A A x A A x== ，设1(0,0)A ，如图，因为求15||A A的最小值，则2(,0)A x ，31(,)A x x ，41(2,)A x x -，52(2,)3A x x--，所以215224||9843A A x x =+≥ ，当且仅当22449x x =，即13x =时取等号，所以15||A A 的最小值为263．故答案为：263.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到212254||94x A A x=+，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数λ，使得λ= m n ，所以m ，n同向，所以||||cos ,0m n m n m n ⋅=⋅⋅> ，即充分性是成立的，反之，当非零向量,a b 夹角为锐角时，满足0m n ⋅>，而λ= m n 不成立，即必要性不成立，所以“存在正数λ，使得λ= m n ”是“0m n ⋅>”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A.π,03⎛⎫⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫-⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【分析】求解出对称中心为ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对k 赋值则可判断.【详解】令ππ3,Z 42k x k -=∈，解得ππ,Z 612k x k =+∈，所以函数π3tan 34y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的对称中心是ππ,0,Z 612k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令2k =-,得函数π3tan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C.15.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A.πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】依题意可得，7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈，从而可求得ω，结合平移后的函数图象可确定ω的取值范围，继而可得ω的值，最后得函数的解析式．【详解】解： 函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位，为ππsin sin 66y x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由图象得：7ππ3π2π,Z 1262k k ωω⨯+=+∈①，解得：82,Z 3k k ω=+∈，又有图可知，最小正周期2πT ω=满足12π7π21232π7π412ωω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，即121877ω<<②结合①②得：2ω=∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：C ．16.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈ (),AD AB R μμ=∈ 且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”,则下面说法正确的是A.M 可能是线段AB 的中点B.,M N 可能同时在线段BA 延长线上C.,M N 可能同时在线段AB 上D.,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【详解】试题分析：解：若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B 不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=矛盾，所以选项C 不正确.若,M N 同时在线段AB 的延长线上，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=矛盾，所以选项D 正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）2725（2）π4【分析】（1）利用22sin cos 1ββ+=将所求式子转化为齐次分式，从而利用sin tan cos βββ=即可得解；（2）先由cos()5αβ+=及π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得5sin()5αβ+=，从而得到1tan()2αβ+=，再利用正切的和差公式求得1tan 3α=，进而得解.【小问1详解】因为1tan 7β=，所以222222cos 2sin sin cos cos 2sin sin cos sin cos ββββββββββ-+-+=+2212tan tan 27tan 125βββ-+==+．【小问2详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为25cos()5αβ+=，所以π02αβ<+<，sin()5αβ+==，所以1tan()2αβ+=，又1tan 7β=，所以由tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，解得1tan 3α=，所以11tan()tan 23tan(2)tan[()]111tan()tan 16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π02αβ<+<，π02α<<，故02παβ<+<，所以π24αβ+=．18.已知向量()cos ,1m x =-r ，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r．（1）求函数()f x 的最小正周期T ，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，1a=，c =(A)f 恰是()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC 的面积．【答案】（1）()f x 的最小正周期πT =.()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.（2）32或34.【分析】（1）先求出()πsin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A ，再利用正弦定理求出角C ，即可求出B ，进而求出ABC 的面积．【小问1详解】因为向量()cos ,1m x =-r，向量1,2n x ⎫=-⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅r r r，所以()()f x m n m=+⋅r r r()3cos ,cos ,12x x x ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭23cos cos2x x x =++1cos 2222x x =++πsin 226x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.令π26t x =+，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为sin y t =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减.【小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：π6A =.在ABC 中，1a =，c =sin sin a c A C =得：13πsin sin 6C =，解得：3sin 2C =.所以π3C =或2π3C =.当π3C =时，π2B =,所以ABC 的面积11sin 11222ABC S ac B ==创;当2π3C =时，π6B =,所以ABC 的面积111sin 12224ABC S ac B ==⨯= .故ABC 的面积为32或34.19.如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2= DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．（1）当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；（2）若||(= DC t t 为大于零的常数），求||PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．【答案】（1）3146PE DA DC=+ （2）334；1324λ=+t 【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF 是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE关于λ的二次表达式，从而可求得||PE 的最小值及相应的λ值.【小问1详解】过C 作//CF AB 交AD 于F ，如图，因为2=DA CB ，所以//DA BC ，2DA BC =，则四边形ABCF 是平行四边形，故22DA BC AF ==，即F 是AD 的中点，所以111111222242===-=-BE BA CF DF DC DA DC ，当13λ=时，23=PC DC ，所以211131324246=++=++-=+PE PC CB BE DC DA DA DC DA DC ．.【小问2详解】因为DP DC λ=，所以(1)λ=- PC DC ，所以111(1)242PE PC CB BE DC DA DC λ=++=-++- 1324DC DA λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2cos60DC DA t t ⋅=︒= ，22= DC t ，24=DA ，所以22221931132724222416PE t t t λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当1324t λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1324λ=+t 时，2PE 取得最小值2716．所以PE的最小值为4，此时1324λ=+t ．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请利用上表中的数据，写出1x 、2y 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若|()|2g x m -<在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+⋅-F x g x g x 在(0,2019π)x∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】（1）14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）62,22⎫-+⎪⎪⎭；（3）2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.【分析】（1）利用“五点法”列方程求出1x 、2y 的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出()g x x =，列不等式组即可求出实数m 的取值范围；（3）令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况，[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-，分类讨论：①1211t t -<<<，②[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-和[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-，③21t =，④11t =-,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：A =所以2y =由2π03ππ32ωϕωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得：12π3ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由11ππ23x +=，解得：14π3x =.综上所述：14π3x =，2y =()f x 的解析式为1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到ππ)2332x x y =-+=，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，所以()g x x =.当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2t g x x ==∈⎣.因为|()|2g x m -<在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以||2t m -<在62t ∈⎣上恒成立，所以||2m t -<在62t ∈⎣上恒成立，所以22t m t -<<+在62t ∈⎣上恒成立，6222m -<<+.即实数m的取值范围为2,22⎫+⎪⎪⎭.【小问3详解】由（2）可知：2()3sin sin 1F x x a x =+-，()F x 周期为2πT =.当(]0,2πx ∈时,令sin t x =,考虑方程2310t at +-=的根的情况：因为2120a ∆=+>，所以方程2310t at +-=在R 上必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<.因为()F x 在(0,2019π)有奇数个零点,所以[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.①若1211t t -<<<，则方程12sin ,sin t x t x ==在(]0,2π共有4个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去；②若[]12(1,1),1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在在(]0,2π共有2个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0F x =在(0,2019π)有20191220182-⨯=个根或201912220202-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：[]21(1,1),1,1t t ∈-∉-也不符合题意，舍去.所以11t =-或21t =③若21t =,则2a =-,方程2310t at +-=的根121,13t t =-=.方程1sin ,1sin 3x x -==在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x -=无解，1sin x =有一个不同的根,,所以()0F x =在(0,2019π)在201913130282-⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭个根，与()F x 有奇数个零点相矛盾，舍去.④若11t =-,则2a =,此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-.方程1sin ,1sin 3x x =-=在(]0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin 3x =有两个不同的根,1sin x -=无解,所以()0F x =在(0,2019π)在201913230292-⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭个根，符合题意.综上所述：2a =,()F x 在(0,2019π)共有3029个不同的零点.。

复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．3.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=__________．6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．8.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．9.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B ++= ，则tan cot A A +=__________．二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.312.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC ，其中3sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．【1题答案】【答案】a【解析】【分析】根据向量的运算法则，即可求解.【详解】根据向量的运算法则，可得2()(2)222a b a b a b a b a +-+=+--=.故答案为：a.2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．【2题答案】【答案】1【解析】【分析】根据虚部的定义得到答案.【详解】复数2i +的虚部是1，故答案为：13.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．【3题答案】【答案】13【解析】【详解】∵πtan tanπtan 14tan 2π41tan 1tan tan 4x x x x x ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅，∴可得1tan 3x =，故答案为13．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．【4题答案】【答案】32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】 余弦函数的减区间为：[2k π，2]()k k Z ππ+∈∴函数3cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间满足[2,2]()4x k k k Z ππππ+∈+∈即224k x k ππππ≤+≤+，k Z∈解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈即函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z∈故答案为：32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z ∈5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅= ，则|2|a b +=__________．【5题答案】【解析】【分析】由|2|a b +=，结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=..6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．【6题答案】【答案】sin 21x -【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数sin y x =的图象向下平移1个单位后得到函数sin 1y x =-的图象，再将sin 1y x =-的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 21y x =-的图象，即()sin 21f x x =-，故答案为：sin 21x -7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．【7题答案】【答案】49【解析】【分析】根据向量的加法运算以及三角形重心定理，表示出向量2()3AH AB AD =+,结合条件得到,λμ的值，求得答案.【详解】设平行四边形ABCD 中对角线交点为O ,则1111223263AH AO AC OC AC C A OH A C=+==++= 2()3AB AD =+,又AH AB AD λμ=+ ，故22,33λμ==，故3224()39λμ==，故答案为：498.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．【8题答案】【答案】9【解析】【分析】设出i z a b =+，化简得到()()()3i 3=26i i 9z z a b +++-+-，从而求出实部.【详解】设i z a b =+，则221a b +=，()()3i 31i z a b +-=-+-，()()33i i 1z a b =+-+++，则()()()()()()33i 3i 131i i z z a b a b =+-+-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()221026i=926i a b a b a b =--+-+-，所以Re[(3)(3)]9i z i z +-++=故答案为：99.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．【9题答案】【答案】23【解析】【分析】由1(0)2f =，求得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，根据063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到函数()f x 关于(,0)4π对称，结合sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，结合0>ω，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数()sin()f x x ωϕ=+，因为1(0)sin 2f ϕ==，可得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，因为063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得ω取得最小值，且1()2634πππ+=，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，可得sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，若112,6k k Z πϕπ=+∈时，可得12246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以211(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以2124(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 210433ω=-+=；若1152,6k k Z πϕπ=+∈时，可得125246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以215(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以21104(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 102433ω=-+=.故答案为：23.10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B++= ，则tan cot A A +=__________．【10题答案】【答案】8【解析】【分析】设外接圆的半径为R ；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到12sin cos 4A A =，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；【详解】解：因为点O 为ABC 外接圆的圆心，设外接圆的半径为R ；所以1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B⋅+⋅+⋅= ，整理得1cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OC OA A C B⋅+⋅-+⋅-= ，所以2221cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OA OC OA OA A C B⋅+⋅⋅-+⋅⋅-= ，故2221cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B C R R C R B A C B ⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，则1cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B CC B A C B +⋅-+⋅-=，所以12sin cos 2sin cos 2sin()2sin 4cos C B B C B C A A=+=+=，所以12sin cos 4A A =，即222sin cos 1sin cos 4A A A A =+所以22tan 11tan 4A A =+，所以2114tan tan A A=+，则1tan 8tan A A +=，即tan cot 8A A +=．故答案为：8二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.3【11题答案】【答案】B【解析】【分析】由由向量的定义可判断①；当0b = ，②不成立；AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，可判断③.【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当0b =，满足//a b 且//b c，但,a c不一定平行，所以②不正确；若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.12.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【12题答案】【答案】D 【解析】【分析】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，可判断A ；对于B ，根据内角和余弦定理得单调性判断即可；对于C ，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断；对于D ，化简cos 2cos 2cos 21A B C +-<为2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，即可判断.【详解】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，故A 正确；对于B ，A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，所以()cos cos cos A B B π>-=-即cos cos 0A B +>，故B 正确；对于C ，在三角形ABC 中，a b c +>，由正弦定理得：2sin 2sin 2R A R B RsinC +>，所以sin sin sin A B C +>，故C 正确；对于D ，cos 2cos 2cos 21A B C +-<得：()22212sin 12sin 12sin 1A B C -+---<，则222sin sin sin 0A B C --+<，则2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D 错误.故选：D.13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π【13题答案】【答案】D 【解析】【分析】将函数()tan33y f x x x π==+-的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令()tan 330y f x x x π==+-=，则tan 33x x π=-，故()f x 在[,7]ππ-上所有零点问题，即为函数tan 3,3y x y x π==-的图象的交点问题；作出函数tan 3y x =在[,3]ππ-上的大致图象，如图示：由于tan 3y x =的最小正周期3T π=,故在517[,66ππ-上正好有tan 3y x =的11个周期，每个周期内图象和直线3y x π=-都有一个交点，故在[,3)ππ-上共有11112+=个交点，由于点(3,0)π为tan 3,3y x y x π==-的对称中心，故在(3,7]ππ上，tan 3,3y x y x π==-图象的交点也有12个，且[,3)ππ-和(3,7]ππ上的交点两两关于(3,0)π对称，因此tan 3,3y x y x π==-图象所有交点的横坐标之和为126375πππ⨯+=，即()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为75π，故选：D14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误【14题答案】【答案】B【解析】【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若()y f x =是周期函数，设周期为T ，则()()f x T f x +=，则(())(())f f x T f f x +=也是周期函数，故①正确；若(())y f f x =是周期函数，设周期为T ，则(())(())f f x T f f x +=，()()f x T f x +=不一定成立，故②错误.故选：B.三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b 可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．【15题答案】【答案】（1）1m =或2（2）2m ≠且32m ≠-【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.【小问1详解】22420m m m --++=得到1m =或2【小问2详解】由已知得,a b 不平行，得到22224m m m -≠-++，所以2m ≠且32m ≠-.17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．【17题答案】【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{,23-2,-44}33---+．【解析】【分析】(1)由题可知，0∆≤，解不等式即可得m 的范围；(2)分方程有两个实根和两个虚根分别求出m 的取值即可﹒当方程有两个不等实根时，根据韦达定理和122x x -=即可求解；当方程有两个虚根时，设两个虚根为1i x a b =+，2x a bi =-，根据韦达定理求出关于a 、b 、m 的方程组，再结合122x x -=求出2b 的值即可求出m 的值．【小问1详解】∵12x x =，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，∴∆≤0，即()22(2)431m m m +-++≤0，即m (3m ＋8)≥0，解得8,[0,)3m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】若方程有两个不等实根，由(1)可知∆＞0解得m 8,03⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()22212121224424314x x x x x x m m m -=⇒+-=⇒+-++=，即23840m m ++=，解得23m =-或2-均满足∆＞0；若方程有两个虚根，则∆＜0，()8,0,3m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，设两个虚根为1i 0x a b a b R b =+∈≠，，，，则2i x a b =-，根据韦达定理得，122222m x x a m a ++==+⇒=，2221231x x a b m m =+=++(*)由21222i 2221x x b b b -=⇒=⇒=⇒=，将21b =、22m a +=代入(*)得，2221312m m m +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简得23840m m +-=，解得43m -±=均满足∆＜0，综上，m 取值的集合为{,23-2,-44,}33---+．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC，其中sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．【19题答案】【答案】（1）1sin 2B =或32，62sin 4C =（2）①2sin 284sin sin 4B S B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②38B π=时，S1-【解析】【分析】（1）由题意，得到3sin 22B =，求得6B π=或3π和512C π=或712π，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合面积公式，即可求解；②利用二倍角公式和积化和差公式，得到21214cos cos 244S B ππ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅+⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为3sin cos 4B B =，可得3sin 22B =，又因为(0,)B π∈，可得23B π=或223B π=，所以6B π=或3π，由4A π=，可得512C π=或712π，所以1sin 2B =或3sin 2B =，75232162sin sin(sin(sin(12124622224C ππππ===+=⨯+⨯=．【小问2详解】解：①在ABD △和ACD △中使用正弦定理，可得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭于是2sin 128sin 24sin sin 4B S bc A B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．②利用二倍角公式和积化和差公式可得：21cos 212242144cos cos 2cos cos 24444B S B B πππππ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭=⋅=⋅+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可得30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 242B π⎡⎫⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭，当cos 214B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即38B π=时，S取到最小值1-．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x ==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．【21题答案】【答案】（1）①是；②不是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）取211,a x x ≥>，利用“缓降函数”定义证明；（3）先证明充分性，再利用反证法证明必要性得证.【小问1详解】解：①是；②不是.【小问2详解】证明：当,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，我们显然有sin 2x x π≥>，所以再结合所给事实可得：当,()0x ∈+∞时，sin x x <．令()cos g x x ax =+，再取211,a x x ≥>，于是()()()212121cos cos g x g x x x a x x -=-+-()()212121212sin sin (1)022x x x x a x x a x x +-=-+->--≥这说明cos y x =是“缓降函数”．【小问3详解】证明；令1()sin g x ax x=+充分性：已知0m >，取2121,x x m a m >>>则()()()()21212121212111111111sin sin 2cos sin 22g x g x a x x a x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()212112*********a x x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>-⋅-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是1sin ,(,)y ax x m x =+∈+∞是严格增函数，所以1sin ,(,)y x m x=∈+∞是缓降函数．必要性：用反证法，当0m =时，若存在0a >使()()g x f x ax =+是严格增函数，令[]1k a =+，这里[]a 代表不大于a 的最大整数取1211222x x k k πππ=<=+．此时()()21211111111224222g x g x ax ax a a k k k k ππππ⎛⎫ ⎪-=--=⋅--=⋅- ⎪⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭我们知道101,011422a k k π<<<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，这说明()()210g x g x -<与严格增函数矛盾．此即说明1sin,(0,)y x x=∈+∞不是缓降函数．证毕．。

2021年高一（下）期中数学试卷含解析一、选择题1．（5分）（xx春•济南校级期中）角﹣1120°是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断．解答：解：∵﹣1120°=﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．故选：D．点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）（xx春•济南校级期中）要从已编号（1到50）的50名学生中随机抽取5名学生参加问卷调查，用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解答：解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．3．（5分）（xx春•衡水校级期中）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．解答：解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）（xx•长春模拟）如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图可知10位学生身高数据，将它们一一从小到大排列，即可求出中位数．解答：解：由茎叶图可知10位学生身高数据：155，155，157，158，161，163，163，165，171，172．中间两个数的平均数是162．∴这10位同学身高的中位数是162cm．故选B．点评：本题考查读茎叶图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5．（5分）（xx•山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x n﹣）2]即可求得．解答：解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选B．点评：本题考查平均数与方差的求法，属基础题．6．（5分）（xx秋•常德校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D． 5考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义建立方程关系即可．解答：解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，∴cosα==﹣，则b＞0，平方得，即b2=9，解得b=3或b=﹣3（舍），故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，注意求出的b为正值．7．（5分）（xx春•济南校级期中）tan10°tan20°+=（）A．﹣1 B．C． 1 D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把题中的tan10°+tan20°换成tan30°（1﹣tan10°tan20°），化简可得所给式子的值．解答：解：tan10°tan20°+=tan10°tan20°+•tan30°（1﹣tan10°tan20°）=tan10°tan20°+1﹣tan10°tan20°=1，故选：C．点评：本题主要考查两家和的正切公式的应用，属于基础题．8．（5分）（xx春•济南校级期中）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．则不低于60分的人数是（）A．800 B．900 C．950 D．990考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出不人数．解答：解：由频率分布直方图得，低于60分的频率=0.005×20=0.1，低于60分人数=0.1×1000=100．则不低于60分的人数是：900．故选：B．点评：本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．9．（5分）（xx•陆丰市校级模拟）从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.7 D．0.68考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：本题是一个频率分布问题，根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，写出质量在[4.8，4.85）g范围内的概率，用1去减已知的概率，得到结果．解答：解：设一个羽毛球的质量为ξg，则根据概率之和是1可以得到P（ξ＜4.8）+P（4.8≤ξ＜4.85）+P（ξ≥4.85）=1．∴P（4.8≤ξ＜4.85）=1﹣0.3﹣0.32=0.38．故选B．点评：本题是一个频率分布问题，主要应用在一个分布列中，所有的概率之和是1，这是经常出现的一个统计问题，常以选择和填空形式出现．10．（5分）（xx春•济南校级期中）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解．解答：解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了诱导公式和两角和的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）（xx春•济南校级期中）如图所示的程序框图，若输出结果是990，则判断框内应填入的条件是（）A．i≥10 B．i＜10 C．i≥9 D．i＜9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=11，S=1满足条件，S=11，i=10满足条件，S=110，i=9满足条件，S=990，i=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为990．故判断框内应填入的条件是i≥9．故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运行的结果判断退出循环的条件是解决本题的关键，属于基础题．12．（5分）（xx•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．13．（5分）（xx•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．14．（5分）（xx春•济南校级期中）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），又∵，∴．根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==．因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣）=．故选：C点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题．15．（5分）（xx•江西）已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1考点：二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题；压轴题．分析：由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案解答：解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C点评：本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要二、填空题16．（5分）（xx•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．解答：解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．17．（5分）（xx春•济南校级期中）已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为36．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：设样本容量为n，则，解得n=36，故答案为：36．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．18．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：点评：本题考查几何概型问题，属基础知识的考查．19．（5分）（xx秋•正定县校级期末）已知tanθ=2，则=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanθ=2，∴原式====﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．20．（5分）（xx春•济南校级期中）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可得cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣），结合已知可得．解答：解：∵sin（α﹣）=，∴cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案为：．点评：本题考查诱导公式，涉及整体角的思想，属基础题．三、解答题21．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣，若f（α）=，求sin2α的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用倍角公式化简已知可得f（x）=（cosx﹣sinx），可得cosα﹣sinα=，两边平方利用倍角公式即可得解．解答：解：∵f（x）=cos2﹣sincos﹣==（cosx﹣sinx），∴f（α）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴解得：sin2α=．点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式，余弦函数公式的应用，属于基础题．22．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=Acos（+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）设α，β∈[0，]，f（4α+π）=﹣，f（4β﹣π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用条件求得A的值．（2）由条件根据f（4α+π）=﹣，求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值；由f（4β﹣π）=，求得cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值；从而求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=Acos（+），x∈R，由f（）=Acos=A=，可得A=2．（2）由于α，β∈[0，]，f（4α+π）=2cos（+）=2cos（α+）=﹣2sinα=﹣，∴sinα=，∴cosα==．又f（4β﹣π）=2cos（+）=2cosβ=，∴cosβ=，∴sinβ==．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．23．（13分）（xx春•济南校级期中）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率解答：解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6；（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==．点评：本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．24．（13分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）若角α是第四象限角，且cosα=，求f（α）．考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式可得sin（x+）≠0，可得x+≠kπ，k∈z，由此求得x的范围，可得函数的定义域．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=，显然，sin（x+）≠0，∴x+≠kπ，k∈z，求得x≠kπ﹣，k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ﹣，k∈z }．（2）∵角α是第四象限角，且cosα=，∴sinα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，则f（α）=====﹣．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，属于基础题．F 34677 8775 蝵22260 56F4 围26109 65FD 旽mHRc^23430 5B86 宆39589 9AA5 骥30212 7604 瘄。

2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。

2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。

高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。

山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题 1.下列命题正确的是 A. 若 a ＞b,则a 2＞b 2B. 若a ＞b ，则 ac ＞bcC. 若a ＞b ，则a 3＞b 3D. 若a>b ，则1a ＜1b【答案】C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立. 故选C2.设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βD. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确； B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确； C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确； D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3..以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）A.3πB.23πC. πD.43π【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以2112233V S h R hπ=⨯⋅=⨯⋅2122(1)133ππ=⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4.ABC∆的三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c.已知23b=6Bπ=，6c=，则A=（）A.6πB.2πC.6π或2πD.3π或2π【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.2363,sinsin2CC∴=因为c＞b,所以3Cπ=或23π.所以2Aπ=或6π.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】D 【解析】 【分析】设数列为{}n a ，由题得77=91a 即得解. 【详解】设数列为{}n a ，由题得131113++++=91a a a a ，所以777=91=13a a ∴，. 所以这个数列的中间项为13. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a =7b =，4A π=，则ABC ∆的形状可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得sin B =>, 求出角B 的范围，再求出角C 的范围得解.【详解】由正弦定理得7sin sin 262B B =∴=>, 因为b a >，4A π=，所以233B ππ<<,且2B π≠,所以7115,12121212A B C ππππ<+<∴<<. 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且2135n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A. 38B.23 C.1116D.1932【答案】D 【解析】 【分析】利用95595599S a a T b b ==即可得解. 【详解】由题得955955929119939532S a a T b b ⨯+====⨯+. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.设0a >，0b >，若3是3a 与9b 的等比中项，则12a b+的最小值为（ ） A.92B. 3C.32+ D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题得22a b +=，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】因为3是3a 与9b 的等比中项， 所以223393,22aba ba b +=⋅=∴+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222a b a b a b a b a b b a+⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥⋅+=当且仅当23a b ==时取等 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()24f x x mx =++，若()0f x >对任意实数()0,4x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞ C. (],4-∞-D. (),4-∞-【答案】B 【解析】 【分析】由题得4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题得已知函数240x mx ++>对任意实数()0,4x ∈恒成立， 所以4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，因为4()4x x -+≤-=-（当且仅当x=2时取等） 所以4m >-. 故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+两个零点，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A. 3 B. 4C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】先求出210n aa n =-+，再得到1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，即得解.【详解】因为等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+的两个零点，所以24=6=22,6(2)(2)210n a a d a n n ∴=-∴=+-⨯-=-+，，. 令2+1005n n -≥∴≤，. 所以1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，所以数列前4项或前5项的和最大. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）A. 4+B. 12+C. 16+D.20+【答案】B 【解析】 【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出21()2(+)42S a b a b =+++，再利用基本不等式求出a+b 的范围，利用二次函数的图象得解. 【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得222221412,1(),=82R R c c a b π=∴==+∴=∴+.由题得该“堑堵”的表面积为2+222+2S ab a b ab a b =++⋅=++因为222221()8,()28,()4,424a b a b a b ab ab a b a b ++=∴+-=∴=+-≤∴+≤.所以21()2(+)42S a b a b =+++令4),a b t t +=<≤21242S t t =++，所以当t=4时，S 最大为12+故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A. n n T M ≥ B. n n T M >C. n n T M <D. n n T M ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n a a a aa n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴<假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和14233n n S t -=⋅-，则t =______. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出1423a t =-，2=43n n a t -⋅，解方程1214=2433a t t --=⋅即得解. 【详解】当n=1时，114=23a S t =-， 当n ≥2时，12221=232323(31)43n n n n n n n a S S t t t t ------=⋅-⋅=⋅-=⋅，适合n=1.所以1214=243,23a t t t --=⋅∴=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知函数1a >，12b >，若实数()()1211a b --=，则2+a b 的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出1112b a+=，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1122,12ab a b b a=+∴+=，所以1122=(a+2b)()22422a b b a b a ++=++≥+=a b . 当且仅当2,1a b ==时取等. 故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中，6A π=，A 的角平分线AD 交BC 于点D，若AB =AC =AD =______.【解析】 【分析】先利用余弦定理求出BC AB =，得到4ADB π∠=，再利用正弦定理得解【详解】在△ABC中，由余弦定理得22622,BC BC AB =+-=∴=. 所以263C B ππ==，.所以4ADB π∠=. 在△ABD2AD =∴=.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，动点N 在体对角线1A C 上（点N 与点1A ，C 不重合），则平面AMN 可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）【答案】11,,A B C 【解析】 【分析】取1CC 中点E ，取11A B 中点F, 1,A C 在平面1AMEB 两侧，1,A C 在平面1AMC F 两侧，分析即得解. 【详解】见上面左图，取1CC 中点E ，因为ME 1//AB ,所以A,M,E,1B 四点共面，1,A C 在平面1AMEB 两侧，所以1A C 和平面1AMEB 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1B ;见上面右图，取11A B 中点F,因为1//AF C M ,所以1,,,A F C M 四点共面，1,A C 在平面1AMC F 两侧，所以1A C 和平面1AMC F 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1C ;综上，平面AMN 可能经过该正方体的顶点是11,,A B C . 故答案为：11,,A B C【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数()3,x ∈-+∞<.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数()3,x ∈-+∞，恒成立，<只需证明2929x x ++++， 只需证明22+918920x x x x +<++， 只需证明1820<， 而1820<显然成立，所以对任意实数()3,x ∈-+∞<.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()sin 2sin 0c B b A B ++=. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为4，求a c +. 【答案】（Ⅰ）2;3B π=（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简()sin 2sin 0c B b A B ++=即得角B 的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c 的大小即得解.【详解】（Ⅰ）由题得sin 2sin 0,2sin sin cos sin sin 0c B b C C B B B C +=∴+=,因为sin sin 0B C ≠,所以12cos ,0,23B B B ππ=-<<∴=.（Ⅱ）由题得1152a c ac ⨯⨯=∴=. 由222222149=2()()()152a c ac a c ac a c ac a c +-⨯-=++=+-=+-， 所以8a c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()1110n n nS n S n n +-+++=，且110a =.求数列{}na 的前n 项和.【答案】数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩【解析】 【分析】先通过已知求出=212n a n -+，再分类讨论求出数列{}n a 的前n 项和.【详解】由题得()()1110n n nS n S n n +-+++=，所以 ()110n n n nS nS S n n +--++=， 所以()()1110,1n n n n na S n n S na n n ++-++=∴=++.当n ≥2时，111=(1)+2,2n n n n n n n a S S na n a n a a -++-=--∴-=-当n=1时，21212202S S a a -+=∴-=-，. 所以数列{}n a 是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列， 所以=10+(n 1)(2)212n a n -⨯-=-+. 所以n ≤6时，0n a ≥，n ＞6时，0n a <. 设数列{}n a 的前n 项和为n T , 当n ≤6时，21(10122)112n n nT a a n n n =++=+-=-+；当n ＞6时，221676666(2122)11602n n n T a a a a n n n -=++---=-+--+-=-+.所以数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1AA 的中点.问：在棱11A D 上是否存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点. 【解析】 【分析】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .证明平面1NEC //平面1B MC 即得解.【详解】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .由题得1//NE B C ,因为NE ⊄平面1B MC ，1B C ⊂平面1B MC ， 所以NE //平面1B MC .由题得111//,C E MB C E ⊄平面1B MC ,1MB ⊂平面1B MC ,所以1//C E 平面1B MC . 因为11,,NEC E E NE C E =⊂平面1NEC ,所以平面1NEC //平面1B MC ， 因为1C N ⊂平面1NEC , 所以1C N //平面1B MC .所以在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，1122n n n S S S +-++=，且10S =，24a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 满足22331b a b a ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）=44n a n -;（Ⅱ）214(1)()2n n T n -=-+.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1122n n n S S S +-++=得到数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）由题得2n ≥时，111124,4n n n n n n n S S S S S S S +-+-+=+∴--+=，+14n n a a ∴-=，因为10S =，24a =.所以数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列. 所以=44n a n -.（Ⅱ）因为22331b a b a ==，所以1111,,()222n n b q b ==∴=. 所以211=(4n 4)()(1)()22nn n n a b n -⋅-=-.所以01221111=0+1()2()3()(1)()2222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯，123111111=0+1()2()3()(1)()22222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得122111111=1+1()1()+()(1)()22222n n n T n --⨯+⨯+--⨯， 所以2111[1()]1122=1+(1)()12212n n n T n -----⨯-， 所以214(1)()2n n T n -=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 1=，且11a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T 满足262n T t t <-对任意正整数n 恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设134nn n c a +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，问：是否存在正整数m ，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）21n an =-；（Ⅱ）3t ≥或1t ≤-；（Ⅲ）m=3时，使得m n cc ≥对一切正整数n 恒成立. 【解析】【详解】1=，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，21),n n S n -=∴=.当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，适合n=1.所以21n a n =-. （Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1111111111()(1)2133521212212n T n n n =-+-++-=-<-++， 所以216232t t t ⨯≤-∴≥，或1t ≤-. （Ⅲ）3(21)4nn c n ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以1+133352(23)(21)4444n n nn n n c c n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+-⋅+=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n ≤2时，+13210n n c c c c c ->∴>>，. n ＞2时，+13450n n c c c c c -<∴>>>，所以m=3时，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列{}n a 中，12a =，26a =.当2n ≥时，1122n n n a a a +-+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，求12320192019201920192019...a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】2021 【解析】 【分析】构造1n n n b a a +=-，推出数列{}n b 是4为首项2为公差的等差数列，求出12n n a a n --=，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=， 由题意可得111()()2n n n n n n a a a a b b +-----=-=，(n ≥2). 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故142(1)22n n n b a a n n +=-=+-=+，故214a a -=，326a a -=，438a a -=，⋯，12n n a a n --=以上1n -个式子相加可得1(1)(42)4622n n n a a n -+-=++⋯+=，(1)n a n n =+．所以1111n a n n =-+， ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-++ ∴122019201920192019201920192020a a a ++⋯+=- 则1220192019201920191[][2018]20182020a a a ++⋯+=+=． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．己知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）i 1i 1iz -=+A ．的虚部为B ．的共轭复数对应的点在第三象限z zC ．的实部为1D ．的共轭复数的模为1z z 【答案】D【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC 选项，然后求出z =，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD 选项.z，所以，=z ==所以的虚部为A 错误；z，其对应的点是，在第一象限，故B 错误；zC 错误；z，故D 正确，z 1=故选：D.2．已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：,,a b c ,αβ①，则；,a b αα∥∥a b ②，则；,a b b c ∥∥a c ③，则；,a αβα∥∥a β∥④，则.,,a b a b αα⊄∥∥a α其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②④D ．③④【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可．【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；,a b αα∥∥a b 对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；,a αβα∥∥a β∥a β⊂对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误，,,A B C //AC BC故选：A 4．已知复数是纯虚数，则实数（ ）()()1i 1i z λ=-++λ=A ．B ．C ．0D ．12-1-【答案】B【分析】由纯虚数的定义得出实数.λ【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，()()i11z λλ+-=+()()1i 1i z λ=-++10λ+=10λ-≠解得.1λ=-故选：B5．在中，，则中最小的边长为（ ）ABC 60,75,2A B a ===ABC ABC D【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.45C =C 【详解】由题意，，故中最小的边长为.180607545C =--=ABC c 由正弦定理，故.sin sin a c A C=sin sin a Cc A===故选：B6．已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，P ABCD -ABCD 则四棱锥的体积最大值为（ ）P ABCD -A BC D【答案】D【分析】当球心在高线上时，四棱锥的体积最大，求出高，进而得出体积.O P ABCD -【详解】底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若四棱锥的体积最大，P ABCD -P ABCD -则四棱锥的高最大，即球心在高线上，P ABCD -O 设四棱锥的高为，可得，则P ABCD -h GB=22h ==故四棱锥的体积最大值为.P ABCD -1(22)2)3⨯⨯⨯=故选：D7．已知在线段上，且，设，OA ⊥ E AB 30BOE ∠=OE mOA nOB =+ ，则的值分别为（ ）(),m n R ∈,m n A ．B ．13,4412,33C ．D ．11,2213,24【答案】C【分析】根据题意可知为直角三角形，且，结合余弦定理证得为Rt ABC 90,30O B ∠=∠=E 的中点，从而得出结论.AB 【详解】根据题意可知为直角三角形，且，又因为，所以，Rt ABC 90,30O B ∠=∠= 30BOE ∠=BE OE =设，则，所以，则，故为的中点，BE OE t ==OB ==OA t =2AB t =E AB 因此，即，1122OE OA OB =+ 11,22m n ==故选：C.8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形1111ABCD A B C D -1,,M N 1,BC CC P （包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）11BCC B 1//PA AMN 1PAA ．B．C ．D．【答案】B 【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值1A AMN P 1PA 范围即可.【详解】如图，分别作的中点,连接111,B C BB ,E F 11,,EF A E AF显然,//EF MN 1//A E AM 且平面，；平面,1,A E EF ⊂1A EF 1A E EF E ⋂=,AM MN ⊂AMN AM MN M⋂=所以平面平面1A EF //AMN平面平面1A EF 11BCC B EF=所以动点在正方形的轨迹为线段P 11BCC B EF在三角形中，，1AEF 112EF BC ==11A E A F ===所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为P 1A 11A E A F ==1A EF EF=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【答案】BD【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.【详解】对A ，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A 错误；对B ，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确；对C ，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C 错误；对D ，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D 正确；故选：BD10．下列说法中正确的有（ ）A ．已知在上的投影向量为且，则；a b 12b5b = 252a b ⋅= B ．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；()()1,2,1,1a b ==a ab λ+ λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若非零向量满足，则与的夹角是.,a b ||||||a b a b ==- a a b + 30 D ．在中，若，则为锐角；ABC 0AB BC ⋅>B ∠【答案】AC【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A 选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B 选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C 选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D 选项.【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即a b αa b 12b1cos 2b a bb ⋅⋅=α，所以，故A 正确；1cos 2a b ⋅=α 125cos 5522a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=α因为，则，又因为与夹角为锐角，()()1,2,1,1a b == ()1,2a b λλλ+=++ a a b λ+ 所以，且与不共线，即，解得，所以则的取()0a a b λ⋅+> a ()a b λ+ ()()1220212λλλλ⎧+++>⎪⎨+≠+⎪⎩530λλ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩λ值范围是，故B 错误；()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭因为，两边同时平方得，即，所以，即a a b=- 22a a b=- ()22a a b=- 2222a a b a b=+-⋅ ，22b a b=⋅因此cos ,a a b +，又因为向量夹角的范围是，所以，故C 正确；=0,180⎡⎤⎣⎦ ,30a a b +=因为，所以，0AB BC ⋅> ()cos cos 0AB BC AB BC B AB BC B ⋅=⋅⋅-=-⋅⋅> π因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D 错误，0,0AB BC >>cos 0B <()0,B π∈,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ∠故选：AC.11．下列说法中正确的有（ ）A ．已知复数满足（为虚数单位），则复数z ()1i 4z +=iz B ．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；20222022i (1i)z =++i z C ．在中，若，则为等腰或直角三角形；ABC sin sin A B =ABC D ．在中，若，则为等腰三角形.ABC 0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ABC 【答案】ABD【分析】结合复数的四则运算以及复数在复平面内所对应点的特征即可判断AB 选项，结合正弦定理即可判断C 选项，根据平面向量数量积的定义以及诱导公式即可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以()1i 4z +=()()()()41i 41i 422i 1i 1i 1i 2z --====-++-，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；(22i 22iz =-=-(()2,2-，所对应的点的坐标是，在第三象限，101120222102202211i (1i)i (1i)i1i 1z ==-+⎡⎤==+++⎦-+-⎣()1,1--故B 正确；因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C 错误；sin sin A B =a b =ABC 因为，所以，即0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 0AB BC AC BC AB AC ⋅+⋅= ，即，()cos cos 0AB BC B AC BC CAB AC ⋅-⋅+⋅⋅=π()cos cos 0B C -+=π所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D 正确，cos cos B C =()()0,,0,B C ππ∈∈B C =ABC 故选：ABD.12．如图在正方体中，分别是棱的中点，点是线段上1111ABCD A B C D -,,M N Q 1111,,D C A D BC P 1BD 的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（ ）A ．MN 平面APC ；B ．存在唯一点，使得平面；P 1C Q APC C ．点到平面的距离为定值；P MNQD ．若为棱的中点，则四面体的体积为定值.H 1BB 11PA C H 【答案】BD【分析】对A ，举反例在平面上即可；对B ，根据平面，结合线面平行的判定P MNAC 1//C Q NAC与性质判断即可；对C ，推导可得在平面两侧即可判断；对D ，连接交于，1,B D MNQ 1111,A C D B O 连接，根据平面判断即可.OH 1//D B 11A C H 【详解】对A ，因为分别是棱的中点，故，所以共面，故当,M N 1111,D C A D 11//MN A C ,,,M N A C 是线段与平面的交点时，平面不成立，故A 错误；P 1BD MNAC //MN APC对B ，因为分别是棱的中点，易得均全等，故,N Q 11,A D BC 1111,,,ND C NA A QBA QCC ，所以四边形为菱形，故.11NC NA C Q AQ ===1NC QA 1//NA C Q 又平面，平面，故平面.NA ⊂NAC 1C Q ⊄NAC 1//C Q NAC 又因为，连接交于，此时平面；当不为交点时，与11//A D BC 1,NC D B P 1//C Q APC P 1,NC D B 1C Q 平面不平行，故B 正确；APC对C ，取中点，由A 可得，同理，又，故.AB R 11//MN A C //RQ AC 11//AC A C //MN RQ 故平面即平面，易得在平面两侧，故点到平面的距离不为定值，MNQ MNRQ 1,D B MNRQ P MNQ 故C 正确；对D ，连接交于，连接.因为为中点，故，平面1111,A C D B O OH ,O H 111,D B BB 1//OH D B OH ⊂，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故四面体11A C H 1D B ⊄11A C H 1//D B 11A C H P 11A C H 的体积为定值，故D 正确；11P A C H-故选：BD三、填空题13．已知平面向量，则与的夹角为______.()3,0,a b ==ab 【答案】3π【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解，【详解】由题意得，，，1cos 2||||a b a b θ⋅===[0,]θπ∈3πθ=故答案为：3π14．一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为______.【答案】【分析】先求出该四棱锥的高以及侧棱长，进而得出该四棱锥的侧面积.【详解】设侧棱长为，该四棱锥的高为a h=则，解得12243hV h ⎧=⎪⎨=⨯⨯⨯=⎪⎩a =即该四棱锥的侧面积为1422S =⨯⨯=故答案为：15．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为A B ､P （点与在地面上的投影O 在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得3060 ､A B ､P 140AB =高度______米.PO =【答案】【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.30APB PAB ∠=∠=︒140PB =【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得30APB PAB ∠=∠=︒140PB =sin 60sin 90PO BP︒︒=米.sin 60sin 49100BP PO =︒==︒⋅故答案为：四、双空题16．如图，三角形中，，点在线段上，，则ABC ||||AB AC = D BC 0,4,2AB AD BDCD ⋅===面积为______，点是外接圆上任意一点，则最大值为______.ABD △P ABC AB AP ⋅【答案】【分析】利用勾股定理及余弦定理求得，从而可求得，即可得出面积，利用余弦定理求AD ,AB AC 出，设外接圆的圆心为，半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，再以为原点BAC ∠ABC O R O 建立平面直角坐标系，设，利用坐标法结合三角函数的性质即可()[],,0,2πP θθθ∈得出答案.【详解】解：因为，所以，0AB AD ⋅=AB AD ⊥则，222216AB BD AD AD =-=-又222222cos 44cos AB AC AD CD AD CD ADC AD AD ADB==+-⋅⋅∠=++∠，222442416ADAD AD AD AD BD =++⋅=+=-解得，2AD =所以AC AB ===所以，12ABD S AB AD =⋅= 在中，，ABC6AB AC BC ===则，2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅又，所以，()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=设外接圆的圆心为，半径为，ABC O R则，所以，2sin BCRBAC ==∠R =则为等边三角形，，AOB π3OAB OAC ∠=∠=如图，以为原点建立平面直角坐标系，O 则，()(),A B-设，()[],,0,2πP θθθ∈则，)(),AB AP θθ==+则，π6cos 612sin 66AB AP θθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当时，.π3θ=()max18AB AP⋅=故答案为：18.五、解答题17．已知为虚数单位.i (1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；()()()22236i R z m m m m m =--++-∈m (2)若复数满足，求复数.z 13iz z -=-z 【答案】(1)12m -<<(2)43iz =+【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；z m （2）根据复数相等以及模长公式得出复数.z 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，z 所以，2223060m m m m ⎧--<⎨+-<⎩得的取值范围是：m 12m -<<（2）设复数，由条件得，()i ,z a b a b R =+∈i 13iz a b --=-所以解得：，所以1b a ==4a =43iz =+18．已知的内角所对的边分别为，______且，请从ABC ,,A B C ,,,3a b c A π=2b =①，②③这三个条件中任选一个补充在横线上，cos sin a B b A=sin cos B B +=222ba c =+求出此时的面积. ABC 【分析】选择①：由正弦定理的边化角得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a选择②：由辅助角公式结合三角函数的性质得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即B a 可.选择③：由余弦定理得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a 【详解】解：若选择①，则，cos sin a B b A =sin cos sin sin A B B A =因为，所以，sin 0A ≠sin cos B B =因为，所以()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a b AB =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C=== 若选择②，sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，因为，所以，sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，所以；42B ππ+=4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A Bb ππ===ABC sin sin a b A B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C ===若选择③，222b ac =+由余弦定理，因为，所以；222cos 2a c b B ac +-===()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a bA B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C === 19．如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD (1)求证：平面；1BD AMC (2)若为的中点，求证：平面平面.N 1CC AMC 1BND 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；AC BD O = OM 1OM BD （2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根1CND M 1D N CM ∥1D N AMC 据面面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）证明：设，接，AC BD O = OM 在正方体中，四边形是正方形，是中点，1111ABCD A B C D -ABCD O ∴BD 是的中点，，M 1DD 1OM BD ∴∥平面平面1BD ⊄ ,AMC OM ⊂,AMC 平面；1BD ∴ AMC（2）证明：为的中点，为的中点，N 1CC M 1DD ，11,CN D M CN D M ∴∴=∥四边形为平行四边形，，∴1CND M 1D N CM ∴∥又平面平面平面，MC ⊂ 1,AMC D N ⊄ 1,AMC D N ∴ AMC 由（1）知平面平面平面，1BD 1111,,AMC BD D N D BD ⋂=⊂ 11,BND D N ⊂1BND 平面平面.∴AMC 1BND20．如图所示，正三棱柱所有棱长均为分别为棱的中点.111ABC A B C - 2.,D E 1111,A B B C(1)求三棱锥的体积；1B BDE -(2)求直线与所成角的余弦值.AD BE【答案】(2)710【分析】（1）根据锥体的体积公式结合转换顶点法运算求解；（2）先证，故即为AD EF FEB ∠直线与所成角或其补角，利用余弦定理运算求解.AD BE【详解】（1）由题意可知：点到上底面的距离为2，，B 111A BC 111114B DE A B C S S ==所以.11123B BDE B B DE V V --===（2）取中点，连接，AC F ,DE EF ∵分别为棱的中点，,D E 1111,A B B C ∴，11111,2DE A C DE A C =∥又∵分别为棱的中点，则，F AC 11111,2A C AF AF A C =∥∴且，则四边形为平行四边形，则，DE AF DE AF =ADEF AD EF 故即为直线与所成角或其补角，连接，FEB ∠AD BE BF因为三棱柱各棱长为2，则EF BE BF ==在中，由余弦定理可得，BEF △2227cos 210EF BE BF FEB EF BE ∠+-===⋅即异面直线与所成角的余弦值为.AD BE 71021．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在ABC ABD D 上）用来养一些家禽，经专业测量得到.BC 13,cos 3AB B ==(1)若的长；cos ADC ∠=AD(2)若的周长.sin 2,sin BADBD DC CAD ∠∠==ADC△【答案】(1)4(2)3+【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；ABD △AD （2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.2ABDACD S S =△△AC BC AD ADC △【详解】（1）解：在中，，且，所以ABC 1cos 3B =()0,B π∈sin B =因为，所以cos ADC ∠=()0,ADC π∠∈sin ADB ∠=在，由正弦定理可得，ABD △sin sinAD ABB ADB ∠=所以.sin 4sin AB BAD ADB∠===（2）因为，所以，2BD DC =2ABDACD S S =△△所以，即：，可得1sin 221sin 2AB AD ABD AD AC CAD∠∠⋅⋅=⋅⋅sin 3sin 2sin sin AB ABD ABD AC CAD AC CAD ∠∠∠∠⋅=⋅=⋅AC =在中，由余弦定理可得，ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+⋅⋅-所以，解得或（舍去）.22630BC BC --=9BC =7BC =-因为，所以.2BD DC =6,3BD DC ==在中，由余弦定理可得ABD △2222cos 33AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=所以的周长为ADC △3+22．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.P ABCD -ABCD ,F G ,PB AD(1)证明：AF 平面；PCG (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.BD N FN PCG 【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；PC H AGHF （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端BD CG O ⋂=OB K //FK PCG N BD B 的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，PC H ,GH FH PBC F PB .12FH BC∴∥为的中点，，G AD 1,,2AG BC AG FH AG FH∴∴= 即四边形为平行四边形，.AGHF AF GH ∴∥平面平面平面.GH ⊂ ,PCG AF ⊄,PCG AF ∴ PCG（2）设，取中点，连接，则在中，BD CG O ⋂=OB K FK POB 分别是的中点，,F K ,OB PB FK OP∴∥平面平面，OP ⊂ ,PCG FK ⊄PCG 平面.FK ∴ PCG 与相似，且相似比为，DOG BOC 1:222BO DO KB∴==为的三等分点.K ∴BD 在点位置时满足平面.N ∴K FN PCG 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.N BD B23．在中，内角的对边分别为.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos 2A a B b c -=-(1)求内角；A(2)若为锐角三角形且周长的取值范围.ABC a =ABC L 【答案】(1)π3A =(2)3L <≤【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变化公式，结合三角形内角范围化简求解即可；（2）根据正弦定理与三角恒等变换公式可得，再根据三角形内角范围求解π6L B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）在，由正弦定理得：ABC sin cos 2A a B b c -=-()sin sin cos 2sin sin 2sin sin B A A B B C B A B -=-=-+()2sin sin cos cos sin B A B A B =-+.sin 2sin cos sin B A B A B =-因为，所以，所以，()0,πB ∈sin 0B >2cos A A =-cos 2A A +=π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即.πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以.所以.()0,πA ∈ππ7πππ,,66662A A ⎛⎫+∈+=⎪⎝⎭π3A =（2）在中，由正弦定理得，所以.ABC sin sin a b A B=sin 2sin sin a B b B A ===同理，所以周长：2sin c C=π2sin 2sin 2sin 2sin 3L a b c B C B B ⎛⎫=++=+=+++ ⎪⎝⎭ππ2sin 2sin cos cossin 33B B B⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1πcos 26B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为为锐角三角形，所以，由，所以ABC ππ0,022B C <<<<2π3C B =-，ππππ2πππ2π,,62363363B B B <<<+<<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以周长的取值范围是：L 3L <≤。

2021年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题．．纸．的相应位置上．)1．已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．2．在等比数列{}中，若，，则．3．在中，，则___ ____．4．设变量满足约束条件：，则的最小值是．5．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.6．在中，已知，则的大小为 .7．等差数列中，，那么．8．数列满足则．9．不等式的解集是．10．若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．11．数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．12．若关于的不等式的解集，则的值为_________．13．在中，，则的最大值为 .14．已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；123456789 10111213141516aa a aa a a a aa a a a a a a③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．二.解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．19.（本小题满分16分）在等差数列中，，前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.xx ——xx 学年度第二学期期中考试高一数学参考答案一、填空题答案二、解答题答案16.（本小题满分12分） 解：（1）， ………………………2分，得 ………………………3分由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， …5分 所以 ……………………………………6分 （2）由余弦定理得：，所以 ………9分在中，，所以 ………………………………11分所以是等腰直角三角形； ………………………………12分 17. （本题满分12分）解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3）， ∴可设，且 ……………………2分 ∴由方程得， …………………………4分 ∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 …………………………6分⑵由∴ ……………8分∴解得或 …………11分∴实数的取值范围是． ……………12分18. （本小题满分12分）解：ΔABC 中，∠ABC ＝155o －125o ＝30o，…………1分∠BCA ＝180o －155o ＋80o ＝105o ， ………… 3分∠BAC ＝180o －30o －105o ＝45o， ………… 5分 BC ＝， ………………7分由正弦定理，得 ………………9分∴AC＝=（海里）答：船与灯塔间的距离里． ………………………………12分 19.（本小题满分16分）解：（1）设等差数列的公差为,由 得：，所以，且， …………………3分 所以 …………………5分…………………………7分 （2）由，得 ………………8分 所以12113252(21)2n nT n -=+⋅+⋅++-⋅， ……① ………………9分231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅， …… ② …………11分①-②得211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅ ………13分212(1222)(21)21n n n -=++++--⋅-…………15分 所以 …………16分Ac22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2，...........①c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2），….②②－①得c1c3－c22＝b1q(p2＋q2－2pq)由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，所以c1c3－c22≠0，即c22≠c1·c3. 故｛c n｝不是等比数列. ------------------------------------16分30357 7695 皕29911 74D7 瓗 25977 6579 敹28040 6D88 消28656 6FF0 濰 Z20172 4ECC 仌Z36608 8F00 輀W38756 9764 靤 21065 5249 剉。

杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。

2021年高一下学期期中测试数学试卷 Word 版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．函数的最小正周期是__________．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos2θ ＝____________．3．已知sinαcosα = 18 ，且，则cosα－sinα的值为__________．4．将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是 ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为，若成等差数列，则公比q ＝ ．6．已知E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，b ，c 分别是方程 的两个根，则a 的值为______．8．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．9．函数的最小值是 ．10．已知为第二象限角，，为第二象限角，，则的值为 ．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin C 的值为______．12．如果是方程的两根，则的值为 ． 13．已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最小正周期是，最小值是－2，且图象经过点，则__________． 14．已知都是锐角，且，则的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．(本小题14分)在△ABC中，已知，求角A的度数和△ABC的面积.16．(本小题14分)已知等差数列的各项均为正数，，前n项和为，是等比数列，，且，求数列与的通项公式．17．(本小题14分)已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sinωx cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的单调增区间及其图象的对称轴方程．18．(本小题16分)在△ABC中，已知2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．19．(本小题16分)已知数列{a n}的前n项和记为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n＋1(n≥1)．(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项为正数，前n项和为T n，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求T n.20．(本小题16分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝22ff－1，当x∈时，求函数g(x)的值域．参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数的最小正周期是__________．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝____________．3．已知sinαcosα = 18，且，则cosα－sinα的值为__________．4．将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为，若成等差数列，则公比q ＝ ． 6．已知E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，b ，c 分别是方程 的两个根，则a 的值为______．48．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．39．函数的最小值是 ．10．已知为第二象限角，，为第二象限角，，则的值为 ．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin C 的值为______．12．如果是方程的两根，则的值为 ． 13．已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最小正周期是，最小值是－2，且图象经过点，则__________． 14．已知都是锐角，且，则的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，共90分）15．(本小题14分)在△ABC 中，已知，求角A 的度数和△ABC 的面积. 【解答】16．(本小题14分)已知等差数列的各项均为正数，，前n 项和为，是等比数列，， 且，求数列与的通项公式．【解答】设的公差为d ，的公比为q ，则，解得（舍去） 所以，.1)sin()4424675sin 75sin(4530)1242ABC ABC A A A ABC A A S S ππππ∆∆-=-=∆∴-=∴=︒︒=︒+︒=∴=⋅⋅∴=为的内角17．(本小题14分)已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求f 的值；(2)求函数f (x )的单调增区间及其图象的对称轴方程． 【解答】 (1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋32sin2ωx ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－12. (2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．18．(本小题16分)在△ABC 中，已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解答】(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．19．(本小题16分)已知数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[解答] (1)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15得，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或－10. ∵等差数列{b n }的各项均为正数，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .20．(本小题16分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝22ff －1，当x ∈时，求函数g (x )的值域．【解答】 (1)由图象知T ＝4⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2. 由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ， ∴g (x )＝22f ⎝⎛⎭⎫x 2f ⎝⎛⎭⎫x 2－π8－1＝22(－cos x )⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝22cos x ⎣⎡⎦⎤22cos x ＋sin x －1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]． 25990 6586 斆,25097 6209 戉27498 6B6A 歪526074 65DA 旚37599 92DF 鋟L*M23926 5D76 嵶34920 8868 表22502 57E6 埦-1O y x1。

一、单项选择（每小题5分，共计60分）1、某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对2、执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的k=()3、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a4、在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是() A ．30°B ．150°C ．210° D ．330°5、袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个6、设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620a b b a 618.0215≈-根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定7、已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.48、样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10)内的频数为a ，样本数据落在[2，10)内的频率为b ，则a ，b 分别是()A ．32，0.4B ．8，0.1C ．32，0.1D ．8，0.49、如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概 率是()．A.34B.334C.34πD.334π10、下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等11、如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ）3πA ．（） cm2B ．（ ）cm2C ．（）cm2D ．（）cm212、容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 () A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 二、填空题（每小题5分，共计20分）13、如图是2019年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的344-9π344-3π348-3π328-3π平均数和方差分别为______________14、与1991°终边相同的最小正角是______15、半径为πcm ，圆心角为120°的扇形的弧长为_______________16、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是_______ 评卷人 得分三、解答题（共计70分）17.(本小题10分) 27.某高中有高一新生500名，分成水平相同的A ，B 两类进行教学实验．为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A 、B 两类学生中分别抽取了40人、60人进行测试．（第16题）（Ⅰ）求该学校高一新生A、B两类学生各多少人？（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：图一：75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数字)(如图)表一：100名测试学生成绩频率分布表；图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图；①先填写频率分布表(表一)中的六个空格，然后将频率分布直方图(图二)补充完整18. (本小题12分)某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：,a b（1）求的值；（2）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.19．(本小题12分) 某教研部门对本地区三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示，研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取7个班级进行调查.（Ⅰ）求这7个班级中来自三所学校的数量；（Ⅱ）若在这7个班级中随机抽取2个班级做进一步调查.（i）列出所有可能的结果；（ii）求这2个班级至少有一个来自A学校的概率.20.（本小题12分）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数．(2)这50名学生的平均成绩21．(本小题12分)已知角α＝2005°．（1）将角α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出角α是第几象限的角；（2）在区间[-5π，0)上找出与角α终边相同的角．22. (本小题12分)2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】D4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】A7、【答案】A8、【答案】A9、【答案】B10、【答案】C11、【答案】C12、【答案】B 二、填空题 13、【答案】14、【答案】 15、【答案】1,3,416、【答案】 三、解答题 17.答案及解析：（Ⅰ）由题知A 类学生有405002004060⨯=+（人）…则B 类学生有500200300-=（人） （Ⅱ）①表一： 组号 分组频数 频率 1 [55,60)5 0.05 2 [60,65) 20 0.20 3 [65,70) 25 0.25 4 [70,75) 35 0.35 5 [75,80) 10 0.106 [80,85)5 0.05 合计1001.0027()][(),31,23,-∞-⋃⋃+∞()(),32,-∞-⋃+∞图二:18、【答案】（1）；（2）；（2）【详解】（1）＝100－5－30－20－10＝35·＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30·（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，35a =0.30b =35a b 660660660所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人·设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝19、【答案】(1)(2,3),(2)a ∈(1,2]试题分析：（1）化简条件p,q ，根据p ∧q 为真,可求出； （2）化简命题，写成集合，由题意转化为(2,3](3a,a)即可求解.试题解析：(I)由,得q:2<x ≤3.当a=1时,由x2-4x+3<0,得p:1<x<3, 因为p ∧q 为真,所以p 真,q 真.由得所以实数x 的取值范围是(2,3). (II)由x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a)<0.9153522x 60{ 280x x x --≤+->23{,13x x <≤<<23,x <<①当a>0时,p:a<x<3a,由题意,得(2,3](a,3a),所以即1<a≤2;②当a<0时,p:3a<x<a,由题意,得(2,3](3a,a),所以无解.综上,可得a∈(1,2].【解析】20、【答案】（1）；（2）.试题分析：(1)本小题主要考查分式不等式的解法，将代入到目标不等式中，然后化分式不等式为整式不等式，根据一元二次不等式来求；(2)由可得，利用集合的基本关系可以分析出正数的取值范围，当然也可辅以数轴来分析求解.试题解析：（1）由，得．4分（2）．由，得，8分又，所以，所以10分【考点】1.分式不等式；2.集合的基本关系．【解析】22.【详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为， 由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为(2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)12,A A 1234,,,B B B B {}112,,A B B {}113,,A B B {}114,,A B B {}123,,A B B {}124,,A B B {}134,,A B B {}212,,A B B {}213,,A B B {}214,,A B B {}223,,A B B {}224,,A B B {}234,,A B B {}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ∴31124P ==76828285879093857x ++++++==物理69768082949698857x ++++++==历史2s <物理2s 物理。