当前位置：文档之家 › 第六讲-扭转应力与强度条件

第六讲-扭转应力与强度条件

  • 格式：ppt
  • 大小：3.50 MB
  • 文档页数：64

下载文档原格式

  / 64

合集下载

《扭转》PPT课件

《扭转》PPT课件

T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )

工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

318Nm 955Nm
955 1910 955 N m 3-3 截面的扭矩 TCD M D 318 N m
绘出的扭矩图如图所示， 显然BA和AC段扭矩最大。故
Tmax 955 N m
3）按强度条件确定轴径
Tmax 16Tmax max [ ] 3 WP D 3 16 Tmax 3 16 955 D m 47.6 mm 6 [ ] 4510
二、圆轴扭转时的强度条件
材料的扭转 许用应力 圆轴扭转时的 强度条件
[ ]
u
n
max [ ]
max 应发生在最大扭矩 Tmax 的横截 等截面圆轴： 面上周边各点处，所以其强度条件为
等截面圆轴扭转 时的强度条件
max
Tmax [ ] WP
T ) max 的 阶梯轴等变截面圆轴： max 应发生在 ( WP
在最大切应力相同的情况下，空心轴所用 的材料是实心轴的 61.1%，自重也减轻了 38.9%。其 原因是：圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越 接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发 挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到 轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件 的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
对于空心轴，由扭转时的强度条件
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
D2
3
16T 4 [ ](1 ) 161186 m 64.2 mm 6 4 3010 (1 0.7 )
2 2 2 2
3

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6


MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax


WP
D23 1 4 16


6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

轴的扭转-应力,强度

轴的扭转-应力,强度

T
T Ip
式中 T——所求切应力点的横截面 上的扭矩
B
B' dA

R O
max

——所求切应力点到圆心的距离
Ip=A2dA——横截面对圆心O的极惯性矩
注意：切应力公式的适用范围：max ≤p
3.最大切应力
T
max
即
TR Ip
B
B' dA

R O
T max Wp
´
上述公式可得到如下结论。
0
0
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
45 max , 45 0
450
450 0 90
90 0 , 90 max
取 d = 29.7 mm。
可见：此轴的直径是由刚度条件控制的
155 N . m
圆轴扭转斜面上的应力
为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
《应力状态理论》对于
2.应力公式推导 (1) 变形几何方面 取微段dx研究
Me
p
q
Me

x A p dx
T p

B q
O

x
d (1) tg dx d ——单位长度扭转角 式中 dx
即：
q R O2 B' d B C' C q dx
T

A
O1 A'

对给定的截面，与成正比

圆轴扭转时的应力与强度条件

圆轴扭转时的应力与强度条件

圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。

工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。

通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。

本讲主要分析圆截面杆的扭转。

非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。

图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。

力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。

● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。

实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。

二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。

例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。

若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。

根据强度确定轴的直径。

解: (1) 计算力偶距m 2 。

m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。

（3）根据强度条件计算直径。

从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。

][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。

材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。

圆轴扭转时的应力与强度计算

圆轴扭转时的应力与强度计算

4)
π 32
(904
804 ) mm4
1.32 106
mm4
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
TT内AT Ipd 2
1.5103 85103 2
1.32106 1012
Pa
48.3106 Pa 48.3MP a
外
B
T Ip
D 2
1.5103 90 103 2
1.32106 1012
④ 由于各纵向线都倾斜了一个 角度 ，故各矩形 网格的直角都改变了 角，直角的改变量称为切应变。 切应变 是切应力τ引起的。
2. 圆轴扭转时横截面上的切应力
（1）切应力的计算公式
圆轴扭转时横截面上的切应力的计算公式为（推导
从略）
T
Ip
式中：T——横截面上的扭矩，以绝对
T
值代入；
——横截面上欲求应力的点处
●扭转时横截面上切应力的计算公式只适用于 圆轴。
（3）极惯性矩和扭转截面系数的计算
极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp是只与横截面形状、 尺寸有关的几何量。
直径为D的圆截面和外径为D、内径为d的圆环形截 面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为
圆截面：
πD4
Ip 32
Wp
πD3 16
圆环形截面： πD4 Ip 32
Tmax
Wp
4103 N m 1.16104 m3
34.5106 Pa
=34.5MPa<[τ]=50MPa
可见轴是安全的。
【例4.11】 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合 器连在一起，如图所示。已知轴的转速n=100r/min， 传递功率P=10kW，材料的许用切应力[τ]=20MPa。 （1）选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径 比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与 空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分

扭转强度条件

扭转强度条件
T=1990N·m,[]=70MPa.校核此轴的
强度。
d 0.945
D
解：（1）计算抗扭截面模量
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm9 （2） 强度校核
max
T Wt

1930 29 106
66.7106 Pa
§9.4 圆轴扭转时的应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
几
何

关 系
Me
Me
物 理
关
几何关系
系
静
从三方面考虑 物理关系
力 关
静力关系
系
观察变形 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
§9.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆
2） max p
横截面上某点的切应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于半径。 切应力的大小与其和圆心的距离 成正比。
max
16T
d13

7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3

16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
m ax

32T
Gd14
180


d1

4
32T 180
Gπ 2 [ ]
69.3103 m 69.3mm
7640N m
按刚度条件
d2

4
32T 180
Gπ 2 [ ]

4
32 4580180 80109 π 2 1

第六章 材料力学剪切与扭转

第六章 材料力学剪切与扭转
土木工程力学
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d

2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有

材料力学扭转第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

材料力学扭转第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

刚度条件


Tm a x GIP

180


[]
说明
单位长度许用扭转角[ ]的通常取值如下：
精密机器、仪器的轴：[ ] =（0.25～0.50）/m 一般传动轴：[ ] =（0.5～1.0）/m 精度要求不高的传动轴：[ ] =（2.0～4.0）/m
例4-6 传动轴如图所示，已知主动轮A输入的功率 PA=120kW；从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=60 kW，PC=40kW，PD=20kW。轴材料的剪切弹性模量
GD 4

180

[ ]
D
4
32Tmax 180
G 2[]

4
32 955180
80109 2 0.8
m
54.3 mm
若使轴同时满足强度和刚度条件，应取 D 54.3 mm
max

Tm a x WP
[ ]
• 阶横截梯面轴上等周变边截各面点圆处轴，：所m以ax应其发强生度在条件(WT为P )max的
变截面圆轴扭转 时的强度条件
max (WTP )max [ ]
扭转强度条件可以用来解决三类问题：
• 强度校核 • 设计截面尺寸 • 确定许用载荷
例4-5 如图，实心轴和空心轴通过牙嵌离合器联接
1
2
3
1-1 截面的扭矩
1
2
3
TBA M B 955 N m 955Nm
2-2 截面的扭矩
B
A
C
D
TAC M B M A
315Nm 955Nm
9551910 955 N m
3-3 截面的扭矩 TCD M D 315 N m

圆杆扭转的应力分析 · 强度条件

圆杆扭转的应力分析 · 强度条件
强度校核
(Check the intensity) 设计截面
Tmax Wt [ ] (Determine the required
dimensions)
Tmax 确定许可载荷 (Determine the allowable load)
Wt [ ]
22
例题3 图示阶梯圆轴,AB 段的直径 d1 = 120mm,BC 段的直径
铸铁压缩时的强度极限 b 比拉伸时的强度极
限大几倍。
18
铸铁压缩破坏试验
铸铁压缩破坏断口：
试样沿着与横截面 大致成50°－55°的斜截 面发生错动而破坏。
四、圆轴扭转时的强度计算
1) 有明显屈服阶段的塑性材料，如低碳钢等。
实验曲线：
m
max
p
s

扭转时最大剪应力和 扭转时扭矩和转角曲线 示意图 最大剪应变曲线示意图
式中：T — 横截面上的扭矩
2.
max的计算(Calculation of max)
Tr max T T Ip Ip Wt
dA ρ ρ r O ρ dA T
max
max
r max
Wt
Ip
r max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia &section modulus under torsion)
由剪切胡克定律
ρ
G
d r G r Gr dx
同一圆周上各点切应力 均相同, 且其值与 成正比 , 与半径垂直.
a A T
O1 ρ

第六讲-扭转应力与强度条件

第六讲-扭转应力与强度条件

例 题
例 1-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
T2 M C 0
T1 M A 76 N m T2 M C 115 N m
10
§2 圆轴扭转应力
扭转实验与假设 扭转切应力
薄壁圆管扭转切应力
极惯性矩与抗扭截面系数
第四章 扭转 本章主要研究： 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 矩形等非圆截面轴扭转 薄壁截面轴扭转
1
第4章
§1 引言 §2 圆轴扭转应力
扭转
§3 圆轴扭转强度与动力传递
§4 圆轴扭转变形与刚度计算 §5 圆轴扭转静不定问题 §6 非圆截面轴扭转 §7 薄壁杆扭转
2. 刚度校核
T1 d dx 1 GI p
T2 d dx 2 GI p
T1 T2
T d d 1 dx max dx 1 GI p
180 N m 180 d 0 . 43 / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
2
§1 引言
扭转实例
扭转及其特点
扭矩与扭矩图
例题
3
扭转实例
F F
4
Me
5
6
扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为 直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转 以扭转为主要变形的杆件－轴（圆轴） 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面

dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：

T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图


实心圆截面
π d4 Ip 32
π d3 Wp 16
20
§3 圆轴扭转强度与动力传递
圆轴扭转强度条件
轴的动力转递
圆轴合理设计 例题
21
材料的剪切性能与扭转破坏
扭转破坏
低碳钢
铸铁
22
剪切胡克定律
实验表明：
p G
s b
扭转屈服应力 扭转强度极限
例 题
例 1-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
T2 M C 0
T1 M A 76 N m T2 M C 115 N m
10
§2 圆轴扭转应力
扭转实验与假设 扭转切应力
薄壁圆管扭转切应力
极惯性矩与抗扭截面系数
2. 刚度校核
T1 d dx 1 GI p
T2 d dx 2 GI p
T1 T2
T d d 1 dx max dx 1 GI p
180 N m 180 d 0 . 43 / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
解：1. 内力分析
FS ＝F
T
FD 2
32
FS ＝F
T
FD 2
2. 应力分析
4 FS 4 F ' 2 2 d d
" max
T FD 16 8 FD 3 2 d d 3 WP
8 FD d 1 d 3 2 D
max " max '
解：1. 建立平衡方程
沿截面 B 切开,画受力图
43
M
x
0, T1 B T2 B ml
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定 2. 建立补充方程
1 B 2 B －变形协调条件
1 B
T1 ( x ) dx 0 GI p1
l
T1 ( x ) T1 B m( l x )
3. 应力修正公式
max
8FD 4m 2 d 3 4 m 3 D （当 m 10 时） d
33
§4 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形
圆轴扭转刚度条件
例题
34
圆轴扭转变形
圆轴扭转一般情况
d T dx GIp d T ( x) dx GIp ( x )
44
1 1 B d x －变形协调条件 T1 ( x ) T1 B m( l x ) 1B 2B 0 GI p1
l
T ( x)
1 B

1 ml 2 M l T T 1, B T 0 x 1 B GI p1 2 2 B
2B ml 2 B GI (a)
解：1. 扭矩分析
30
2. 强度校核
危险截面：截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] 2 2 2R0 1 2R0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2R02 2 2R02 2
A
31
例 3-3 密圈螺旋弹簧应力分析
3. 重量比较
π 2 ( do di2 ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
29
例 3-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 1 5 mm，2 4 mm，m = 3500 N.m/m，l = 1 m，
[] 50 MPa，试校核圆管强度。
dx
dj G dx
dj / dx－扭转角变化率
14
G
dj dx
静力学方面

A
dA T
应力与变形公式
dj G dx

A
dA T
2
max TR T
Ip
T max Wp
dj T dx GIp
2
T Ip
Ip R
I p dA －极惯性矩

39
§5 圆轴扭转静不定问题
扭转静不定问题分析 例题
40
扭转静不定问题分析
问题 试求图示轴两端的支反力偶矩
问题分析
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定
41
建立变形补充方程
AB AC CB 0
AC
T1a (- M A )a GI p GI p
实验现象
截面翘曲, 角点处 为零, 侧面中点处 最大
圆轴平面假设不适用于非圆截面轴
47
应力分布特点
横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
横截面周边长边中点处，切应力最大
48
弹性力学解
长边中点 最大
注意单位换算！
38
例 4-2 试计算图示圆锥形轴的总扭转角
T dx 解： l GI ( x ) p 4 d d1 d ( x ) d ( x ) d1 2 x Ip ( x ) TM l 32 32 Ml 1 1 32 M l 1 3 3 d x 4 3G( d2 - d1 ) d1 d2 G 0 d 2 d1 x d1 2
T1 M A 180 N m T2 MC 140 N m
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
11
扭转实验与假设 扭转实验
各圆周线的形状不 变,仅绕轴线作相对转 动 当变形很小时，各 圆周线的大小与间距 均不改变
扭转平面假设
各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
12
扭转切应力
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 dj
13
几何方面
物理方面
dd ' tan ad dj
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32

d Dຫໍສະໝຸດ π D3 Wp 14 16
度条件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
max
[ ]
T d 3 16
d
3
16T π [ ]
3
16(1.5 103 N m ) 0.0535 m 6 (50 10 Pa)
28
取： d 54 mm
研空心圆截面
杆件应力分布：
斜截面应力：
17
薄壁圆管扭转应力
应力公式
假设: 切应力沿壁厚均匀分布
2 T R0 R0d 2π R0
0 2π
T 2R02 δ
18
适用范围 适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹 性、各向同性与各向异性情况
公式精度
T 2R02
23
圆轴扭转强度条件
max [ ]
变截面圆轴:
T max W p max
等截面圆轴:
[ ]
u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数 塑性材料： [] =（0.5~0.577）[] 脆性材料： [] = （0.8~1.0）[t]
24
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
M Aa MBb 0
计算支反力偶矩 联立求解方程(a)与(b)
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
Mb Ma MA ， MB ab ab
42
例题
例 5-1 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶， 与矩为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G， Ip1 = 2Ip2 。试求：圆盘的转角。
T l
p2
ml T1 B T2 B 2
(b)
3. 扭矩与圆盘转角 联立求解平衡与补充方程，得
圆盘转角为
ml T1 B T2 B 2