第三章逐次逼近法

简述逐次逼近法的工作原理
逐次逼近法是一种数值计算方法，用于求解近似解的近似值。

其主要工作原理如下：
1. 初始化：选择一个初始值作为近似解的初始近似值。

2. 迭代过程：根据某种规则进行迭代，每次迭代都会产生一个较接近真实解的近似值。

3. 收敛判断：判断近似解是否足够接近真实解。

如果接近程度满足预定的收敛准则，则输出近似解；否则返回第2步进行下一次迭代。

4. 输出结果：输出满足收敛准则的近似解作为最终结果。

逐次逼近法的核心思想是不断迭代，通过每一次迭代对近似解进行修正，逐渐接近真实解。

在迭代过程中，常用的方法有不动点迭代法、Newton-Raphson迭代法等等。

这些方法在每一步迭代中通过一定的数学计算方式来更新近似解，并不断逼近真实解。

逐次逼近法的优点是易于实现和理解，适用于一些求解复杂方程或函数的数值解问题。

然而，它的收敛速度可能很慢，对于某些问题可能无法得到满意的解。

因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法，以提高计算效率和准确性。

举例：设被测电压Ux = 3.285V ，逐次逼近寄存器和D/A变换器都为6位，基准电压Uref = 10V 。

解：最后输出010101，显示3.281V
过程：
首先因为是6位的，所以先将10V分成64份(二进制数111111即为十进制64)，即10/64，接下来就可以开始计算了。

1)100000，即32，所以第一个比较电压是32*10/64=5V，显然Ux＜5V，所
以最高位为0（表示去码）；
2)010000（注意：之前确定的位要保留），即16，所以第二个比较电压是2.5V，
由于Ux>2.5V，所以第二位为1（表示留码）；
3)011000，即24，所以第三个比较电压是24*10/64=3.75V，同上，第三位取
0；
4)010100，即20，所以第四个比较电压是20*10/64=3.125V，同上，第四位
取1；
5)010110，即22，所以第五个比较电压是22*10/64=3.4375V，同上，第五位
取0；
6)010101，即21，所以第六个比较电压是21*10/64=3.28125，同上，第六位
取1。

综上可知，输出010101，显示3.281V。

由于D/A变换器输出的基准电压是量化的，因此经变换后显示的数值3.281V比实际电压值低0.004V，这就是A/D变换的量化误差。

减小量化误差的方法是增加比较次数，即增加逐次比较式A/D变换器的位数。

（正好复习时也有疑问，百度上却没有明确的解析，自己明白后就做了这个，希望对大家有帮助！
——1103子夜）。

第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。

一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件： （I ）y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,：上连续； （II ）0),(00=y x F （通常称为初始条件） （III ）对D y x ∈∀),(，恒有0),(y ≠y x F ； （IV ）在D 上),(),(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y ：即对D 上任意两点),(),(21y x y x ，，不等式212y 2x 1y 1x ),(),(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F －－≤ (1)恒成立，L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数（常数Lipchitz ）。

则在区间0),(0＝上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ϕ=，满足)(00x y ϕ＝。

这个函数在h x x ≤-0上连续可微。

其中},min{Mba h = ……（2） ),(),(maxy x ),(y x F y x F M Dy x ∈= (3)证明：若0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ϕ=，则有0))(,(＝x y x F ,方程两边对x 求导，得0·'=+y F F y X 。

由0≠y F ，得 ),(),(y x 'y x F y x F y ＝－。

因此，0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能确定唯一可导的隐函数)()(00x y x y ϕϕ＝且=，等价于初值问题),(),(0))(,(y x '00{y x F y x F y x y x F ＝－= ……（*） 在h x x ≤-0上有唯一解)()(00x y x y ϕϕ＝且=。

A/D转换器A/D转换器是用来通过一定的电路将模拟量转变为数字量。

模拟量可以是电压、电流等电信号，也可以是压力、温度、湿度、位移、声音等非电信号。

但在A/D转换前，输入到A/D 转换器的输入信号必须经各种传感器把各种物理量转换成电压信号。

A/D转换后，输出数字信号可以有8位、10位、12位和16位等。

AD转换器的工作原理主要介绍3种：逐次逼近法双积分法电压频率转化法1 逐次逼近法：逐次逼近式A/D是比较常见的一种A/D转换电路，转换的时间为微秒级。

采用逐次逼近法的A/D转换器是由一个比较器、D/A转换器、缓冲寄存器及控制逻辑电路组成，如图4.21所示。

基本原理是从高位到低位逐位试探比较，好像用天平称物体，从重到轻逐级增减砝码进行试探。

图4.21 逐次逼近式A/D转换器原理框图逐次逼近式A/D转换器原理框图逐次逼近法转换过程是：初始化时将逐次逼近寄存器各位清零；转换开始时，先将逐次逼近寄存器最高位置1，送入D/A转换器，经D/A转换后生成的模拟量送入比较器，称为Ｖo，与送入比较器的待转换的模拟量Ｖi进行比较，若Ｖ，该位1被保留，否则被清除。

然后再置逐次逼近寄存器次高位为1，将寄存器中新的数字量送D/A转换器，输出的Ｖo再与Ｖi比较，若ＶoＶi，该位1被保留，否则被清除。

重复此过程，直至逼近寄存器最低位。

转换结束后，将逐次逼近寄存器中的数字量送入缓冲寄存器，得到数字量的输出。

逐次逼近的操作过程是在一个控制电路的控制下进行的。

2双积分法：采用双积分法的A/D转换器由电子开关、积分器、比较器和控制逻辑等部件组成。

如图4.22所示。

基本原理是将输入电压变换成与其平均值成正比的时间间隔，再把此时间间隔转换成数字量，属于间接转换。

图4.22 双积分式A/D转换的原理框图双积分法A/D转换的过程是：先将开关接通待转换的模拟量Ｖi，Ｖi采样输入到积分器，积分器从零开始进行固定时间Ｔ的正向积分，时间Ｔ到后，开关再接通与Ｖi极性相反的基准电压ＶＲＥF，将ＶＲＥF输入到积分器，进行反向积分，直到输出为0V时停止积分。

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bxb Dx U L Dx nn n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bxb L D x U D L D xkk k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

用逐次逼近法近似三等分任意角作者：刘京用尺规作图法三等分任意角，在数学上已经被证明是不可能的。

但这种不可能是针对将任意角精确地三等分而言的。

如果针对小于180°的任意角，限定仅用尺规作图的方法，在满足一定精度要求的前提下，对该角进行近似三等分，这还是可以实现的。

本文拟采用逐次逼近的方法，通过有限次的迭代，做到对上述任意角的近似三等分。

实际上，该方法可以进一步推广到对小于180°的任意角近似N等分的情况（N为正整数）。

一、画主圆得到弦AB及短弧线AB弧1、对于任意角∠AOB，以O为圆心，以OA为半径画圆，注意OA长度尽可能大。

该圆与角的另一边相交于B点。

2、连接A、B两点，做弦AB。

二、获得截弦长将弦AB三等分，得线段AC。

设截弦长d=AC=AB/3；1、从A点任意引一条直线AH;2、任选一长度为r的线段，以A为圆心，以r为半径画圆，交AH于X1点；3、以X1为圆心，以r为半径，画圆交AH于X2点；4、以X2为圆心，以r为半径，画圆交AH于K点；5、连接BK6、将X1点改称为M点，并擦除辅助圆7、过M点做BK的平行线，交AB弦于C点由《几何原本》第六章“相似”的命题2可知，AM/AK=AC/AB=1/3，即AC是AB的三分之一。

将线段AC的长度定义为d。

即d=AC=AB/3；实际上本章节的作图法完全来自于《几何原本》第六章“相似”的命题9。

8、擦除辅助线三、获得剩余弦长以d为基准长度，连续3次截取短弧线AB，最终得到剩余弦长y；1、以A为圆心，以d为半径画圆，交短弧线AB于G2、以G为圆心，以d为半径画圆，交短弧线AB于J3、以J为圆心，以d为半径画圆，交短弧线AB于T4、连接BT，BT为剩余弦长。

令y=BT；5、擦除辅助圆四、获得修正值将剩余弦长y=BT三等分，找到D点。

设修正值x使得x=DT=BT/3。

1、从T点任引一条直线TH2、以T为圆心，以任意长度r为半径画圆，交TH于点K3、以K为圆心，以长度r为半径画圆，交TH于点M4、以M为圆心，以长度r为半径画圆，交TH于点N5、连接BN6、过K点做BN的平行线，交BT于D由《几何原本》第六章“相似”的命题2和命题9可知，DT/BT=TK/TN=1/3；故x=DT=BT/3；7、擦除辅助线五、更新截弦长更新截弦长d的值，使d=d+x=AC+DT；1、以C为圆心，以DT为半径画圆，交AB于点E2、擦除线段BT及辅助圆设AE的长度为d，d=AE；即原有的截弦长d的值获得更新。

计算方法逐次逼近法逐次逼近法是一种用来求解方程近似解的方法。

它基于一个简单的思想，即通过不断逼近的过程，逐步接近方程的解。

假设我们要解一个方程f(x)=0，而我们对方程的解一无所知。

我们可以通过选定一个初始值x0，并使用逐次逼近法进行迭代计算，直到找到一个满足精度要求的近似解。

具体的迭代公式可以分为如下两种形式：1.不动点迭代法：设x1为方程f(x)=0的近似解，那么我们可以将等式两边进行一定的变形，得到x1与x0之间的关系式：x1=g(x0)其中g(x0)称为迭代函数。

我们通过反复使用这个关系式，将x0代入g(x0)，得到x1的近似值。

然后再将x1代入g(x0)得到x2的近似值，以此类推。

在这种方法中，重点在于找到一个合适的迭代函数g(x)，使得迭代过程在不断逼近方程的解。

2.牛顿迭代法：牛顿迭代法是逐次逼近法的一种特殊形式，也是最为常用的一种形式。

它的迭代公式为：x1=x0-f(x0)/f'(x0)其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数。

这个迭代公式的思路是，通过不断计算函数f(x)与其斜率f'(x)的交点，来逼近方程的解。

牛顿迭代法相较于不动点迭代法有一个显著的优势，就是能够更快地逼近方程的解。

然而，也有一些限制，比如需要求解导数，有时可能会出现迭代过程不收敛的情况。

无论是不动点迭代法还是牛顿迭代法，它们的迭代过程都会不断逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。

需要注意的是，逐次逼近法只是一种数值近似解法，并不一定能够找到方程的精确解。

因此，在使用逐次逼近法时，我们需要根据具体问题来设定精度要求，以及选择合适的迭代函数。

逐次逼近法在科学计算中有着广泛的应用。

它能够用于求解非线性方程、求解线性代数方程组、求解微分方程等。

通过不断迭代，我们可以获得方程的近似解，进而解决实际的问题。

总结一下，逐次逼近法是一种近似解方程的方法，通过不断迭代的过程，逐步接近方程的解。

它包括了不动点迭代法和牛顿迭代法，它们都有各自的特点和应用场景。

逼近法的相关分析一、二分逼近法二分逼近法是微积分学中的重要工具，适用于绝大部分的基本定理证明问题当中，是逼近法中最简单明了的一种形式。

二分逼近法在定理或者问题论证中的应用应当遵循一个思想：想要找到一个具有某性质p的实数，可以兴义个具有相应性质p*的闭区间出发，然后主次进行二等分，进而得到一个始终保持p*的闭区间列，将这个闭区间列的两个端点值进行分类，形成左右两个夹逼数列，这样就可以将具有性质p的实数“夹逼”出来，这个实数是否存在可以根据对实数连续性的判断进行分析，避免出现“逼”空的状况。

简单的来说，就是先取一区间【x，x】，若函数在此区间单调变化，可根据f（x），f（x）是否同号来判断方程在此区间是否有根。

若在此区间有根，可采取二分法蒋区间【x，x】一分为二重复上述过程判断哪一个小区间有根。

若没有，则可改变x1，x2的值，即区间范围。

如此下来，则不断接近方程的根。

二、逐次逼近法逐次逼近法也是逼近法中的一种重要论证方法，在各个学科领域中具有广泛的应用，它的数值计算是从一个较为粗糙的近似解开始的，利用某个固定的公式对近似解进行逐次加工，不断进行精化，进而得到一个安祖精度要求的近似解。

通常用于微分方程解存在的唯一想定理论证及二项分布的计算方法当中，除此之外，在破解技术难题当中也发挥着重要作用。

在微分方程的研究过程中，发现需要求得方程的精确解很难，只有少部分的微分方程可以求得，所以，求得微分方程的近似解对于微分方程的研究发展具有重要意义。

由于微分方程中含有一阶或者高阶、显性和隐性几种不同的方程组，在求解过程中所采用的具体求解方法会有所不同，但是，解的存在和唯一是求近似解的前提和理论基础，这一原则是不会改变的，在实际应用过程中，可以根据论证方法提供的求近似解途径进行求解。

三、一次同余式组的逐步逼近解法求解一次同余式组的传统方法是剩余定理求解法，这种方法随着技术的发展不断被淘汰，在求解过程中的兼容性较差，需要计算的计算量比较大，且当出现一次同余式组中增加了一个式子的状况，利用剩余定理求解需要对式子进行重新计算，原来的计算结构将作废，这样严重浪费时间和精力，兼容性太差。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。

解 函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。

因为逐次逼近函数序列为⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10，此时，2200),(,0,0y x y x f y x +===，所以0)(0=x y ，⎰=+=xx dx x y x x y 0320213)]([)(，633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=⎰，⎰⎰+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。

现在求h 的最大值。

因为 ),,min(22ba ba h += 对任给的正数b a ,，ab b a 222≥+，上式中，当 b a = 时，22b a b+取得最大值aab b 212=。

此时，)21,min()2,min(a a ab b a h ==，当且仅当aa 21=，即22==b a 时，h 取得最大值为22。

评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。

特别地，对其中的by a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。

《常微分方程》（第三版）教案 汕尾职院数学与应用系 何永金§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理与逐次逼近法 第 1 页 共 13 页 1§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法一、教学目的：讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。

逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。

二、教学要求：熟练掌握Picard 逼近法，逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，会用Picard 逼近法求近似解。

三、教学重点：Picard 存在唯一性定理及其证明。

四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。

解的存在唯一性定理的证明。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程：3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程2dyy dx= 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x c y x c x ££ì=í-£î 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ££上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。