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2020最新全国各地中考数学常考试题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B 相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证：E点在y轴上；
(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO
DO EO BO AB DB CD DB
''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO
EO AB DC
''
+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2
又∵DO EO DB AB ''=，∴2
316
EO DO DB AB ''=⨯=⨯=
∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①
再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2
图①
②
联立①②得0
2x y =⎧⎨=-⎩
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），
C （1，-3）
E （0，-2）三点，得方程组426
3
2a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点
E ′作E ′
F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：1E F E F AB
DC
''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB
DB
'⇒=，∴13
DF DB =
S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122
2
2
3
DC DB DC DF DC DB •-•=•
=13
DC DB •=DB=3+k
S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232
2
BD E F k k '=•=+⨯=+
∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同
理
：
S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又
∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()22139
92
AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+•=+梯形
∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交
于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的
距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt△AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ，
∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即
b ＝1 ∴y＝x ＋1
令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， AB ＝
2112222=+=+AO BO
在△ABM 中，AB ＝
2，AM ＝2，BM ＝2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB ＝2，AC ＝22，
∴BC＝
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，
∴πππ25)210()2(221=•=•=BC S
而π
ππ2)2
22()2(222=•=•=AC S
