初中数学中考试题研究 《代数几何综合试题》
Ⅰ、综合问题精讲：
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1
2 BC·CE；
⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)
∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1
2 BC ，
∵∠CAE＝900，∴AC 2
＝CH·CE＝12 BC·CE
⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2
① ∵AC 2
＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②
①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2
＝17 ∵EC 2
＝AC 2
＋AE 2
，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝c ot∠AEC＝AE AC ＝13
2
点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.
【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○
。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0． 得 A （l ，0），B （0，2）． 易得△ACD ≌△BAO ，所以 AD=OB=2．
（2）因为A(1，0），B （0，2），且由（1），得C （3,l ）． 设过过B 、A 、C 三点的抛物线为2y ax bx c =++
所以560172 69312
a a
b
c c b a b c c ⎧
=⎪++=⎧⎪
⎪⎪==-⎨
⎨⎪⎪
++=⎩=⎪⎪⎩
，解得 所以2517
266
y x x =
-+ 点拨：此题的关键是证明△ACD ≌△BAO ．
【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524
个平方单位？
解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b 由题意，得b=680
k b ⎧⎨
+=⎩ 解得346
k b ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩ 所以，直线AB 的解析式为y ＝－
4
3
x ＋6． （2）由AO ＝6， BO ＝8 得AB ＝10 所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t
1° 当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB．
所以 6
t ＝10210t
- 解得 t ＝1130(秒)
2° 当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． 所以
10
t ＝6210t - 解得
t ＝13
50(秒)
（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝AB
BO ＝5
4
在Rt△AEQ 中，QE ＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t )·5
4＝8 －5
8t 所以，S △APQ ＝2
1AP·QE＝
21t ·(8－5
8t )
＝－2
54t ＋4t ＝5
24 解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．
（注：过点P 作PE 垂直AB 于点E 也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P 的运动，△APQ 的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ ＝∠AOB ＝90○
②∠APQ ＝∠ABO ．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P 作 PE ⊥AB ．
【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，对角线AC 上有一个动点P （不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ． （1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P ，⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由． 解：（1）过动点P 作PE ⊥BC 于点E ．
在Rt⊿ABC 中，AC ＝10， PC ＝AC －AP ＝10－x ． ∵ PE ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴⊿PEC ∽⊿ABC ．
故 AC
PC AB PE =，即.548,10108x PE x PE -=-=
∴⊿PBC 面积＝.512
2421
x BC PE -=⋅
