代数几何综合题(含答案)

2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。

分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。

23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩，　． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。

代数几何综合问题一、选择题1．如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为【】A．0 B．1 C．2 D．32．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为【】A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=13．若a，b为实数，且a1b10++-=，则（ab）2013的值是【】A、0B、1C、﹣1D、±14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是【】A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确5．若平行四边形的一边长为2，面积为46】A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．已知()2x y 32x y 0-+++=，则x +y 的值为【 】A ．0B ．﹣1C ．1D ．57．一条直线y =kx +b ，其中k +b =﹣5、kb =6，那么该直线经过【 】A ．第二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限 8．已知实数x ，y ，m 满足x 2|3x y m |0++++=，且y 为负数，则m 的取值范围是【 】A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞﹣6D ．m ＜﹣6二、填空题9．若a 2b 30-+-=，则a b = ▲ ．10．如图，正方形ODBC 中，OC =1，OA =OB ，则数轴上点A 表示的数是 ▲ ．11．若实数a 、b 满足a 2b 40++-=，则2a b= ▲ ． 12．无论x 2x 6x m -+都有意义，则m 的取值范围为 ▲ ．13a 1a b 10-+++＝，则a b = ▲ ．14．已知点P （3，﹣1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1﹣b ），则a b 的值为 ▲ ．15．函数3x y -=x 的取值范围是 ▲ ． 16．函数y x 3=-x 的取值范围是 ▲ ；若分式2x 3x 1-+的值为0，则x = ▲ ． 17．若直角三角形的两直角边长为a 、b 2a 6a 9b 40-+-=，则该直角三角形的斜边长为 ▲ ．1822a 3a 1b 2b 10-+++=，则221a b a +-= ▲ 。

人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

代数几何综合1、〔2021年潍坊市压轴题〕如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不管k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . 〔2〕由〔1〕知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 〔3〕由〔1〕知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 那么〔1〕式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以〔t+2〕(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入〔2〕得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P 〔0,2〕，使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。

争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015届初三数学培优资料专题三 代数几何综合题1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴，即，解得：EF=10﹣t ．S △PEF =EF •DH=（10﹣t ）•2t=﹣t 2+10t=﹣（t ﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE ∥AD ，PE=DH=2t ，BP=3t ． ∵PE ∥AD ，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F 作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t ．在Rt △EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t ）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t ，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN 2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF 2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．25．（9分）（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I ）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x •x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S △ABC﹣S △BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x 2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB ﹣BF=6﹣x，设AC与EF 交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．25．（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P 1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP 2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x 轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC ，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x ﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC 并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP ﹣AP|最大．考点：圆的综合题．分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；（2）根据A，B 两点求出直线AB表达式为：y=﹣x+3，根据B，D 两点求出BD 表达式为y=x+3，进而得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线；（3）根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x 又在直线DO 上的点P的横坐标为2，所以p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．解答：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，）又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=，故C（2，﹣1）过D 作DH⊥x 轴于H，设MC 与x 轴交于K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故DH=5KC=5，HA=5KA=10，∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：故直线AB表达式为：y=﹣x+3，同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵K AB×K BD=﹣1，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴BD⊥AB ，BD为⊙M的切线；（3）解：取点A 关于直线MC 的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为y=x又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==．点评：此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识，得出直线DO，AB，BD的解析式是解题关键．23．(2014年广东深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE ，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m ﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|x G|﹣|x E|=2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|x G|﹣|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF 的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q 在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x 2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P ）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K ﹣y Q）•（x H ﹣x P）=﹣x 2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x ＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

代数几何综合问题题1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）)0(<x ，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥, ∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90 ∴∆∆B O P PAC ~∴=PO AC BO PA ，∴=+||||||x y x 22， x y x y x <<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287， ∴Q 点坐标为()870，说明：利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

题2、（2006、徐州）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB =，边1AD =，且AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．（1）当矩形ABCD 沿直线12y x b =-+折叠时（如图1），求点A '的坐标和b 的值；（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b =+折叠时，① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形， 请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是 ； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ；【分析：】1、对折是一个操作性名词，它的数学实质就是轴对称。

代数综合题一：对于实数a, b,我们用符号min{a, b}表示a, b两数中较小的数,如min{3, 5}=3 ,因此，min{ —1, — 2}=; 若min {(x+1)2,x2} = 4 ,则x=.题二：对于实数c, d,我们用符号max{c, d}表示c, d两数中较大的数，如max{3 , 5}=5 ,因此，max{—1, —1}= ;若max1x2+2x + 2,x2} = 2 ,贝U x= .2 3 ----------- -----------------------------------------------------2题三：如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y i=x2(x>)与y2=上(xA)3于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE//AC,交y2于点E,则匹=BC ----------题四：在平面直角坐标系中，点P(0, m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作2 2 平行于x轴的直线，分别交抛物线C I： y=工于点A、B,交抛物线C2： y=上49 于点C、D.(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA, OB, QC 和QD,求》OB与笈QD面积比为.(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C I于点F,在y轴上任取一点M,连接MA、ME、MD和MF, 则/IMAE与Z1MDF 面积的比值为.题五：如图，点E、F在函数y=上(k>0)的图象上，直线EF分别与x轴、y x 轴交于点A、B,且BE: BF=1: 4,过点E作EP，y轴于P,已知—EP的面积为2.⑴求反比例函数的解析式；(2)计算为EF的面积.题六：如图，点A(1, 6)和点M(m, n)都在反比例函数y" (k>0)的图象上. x⑴求反比例函数的解析式；(2)当m=3时，求直线AM的解析式，并求出BOM的面积.「2 ’“题七：设函数v=' x ,若互不相等的实数Xi, X2, X3,满足Vl=V2=/3, 3X +1, X <0求X1 + X2+X3的取值范围.题八：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求直线AC的表达式；（2）在x轴下方且垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（X1,必），Q（X2, 丫2）, 与直线AC交于点N（x3, y3）,若x1>x2>x3,结合函数的图象，求与+&+期的取值范围.参考答案题一：一2, —3或 2.详解：.. 一 2<—1,「.min{ —1, —2}=—2,: min{(x+1)2,x 2} = 4 ,当(x+1)2=x 2时，解得：x= —0.5, (x+1)2=x 2=0.25,这时不可能得出最小值为4,当 x> —0.5, (x+1)2>x 2,则 x 2=4,解得 ％=2 或 M = —2(舍去)， 当 x< —0.5, (x+1)2<x 2,则(x+1)2=4,解得 x 1二 —3 或 x 2=1(舍去)，• . x= - 3 或 x=2.题二:详解：- 3>-》「.maxL 12 : max{x 2+2x +2,x 2} = 2 ,2,当 x>—1, x 2+2x+2>x 2,则 x 2+2x+2=2,解得 x 1=0 或 x 2= —2（舍去）， 当 x<—1, x 2+2x+2<x 2,则 x 2=2,解得 x 1 二 —后或 x 2=我 （舍去），• . x=—五或 x=0.题三：V 3 .详解：设A 点坐标为（0, a ）, （a>0）,则x 2=a,解得x= a a ，.二点B （4 , a ）,2____ _.解得—，，点C （肖明」.B —公•「C D //y轴，-3｝二，当 x 2+2x+2=x 2 时,解得：x= — 1, x 2+2x+2=x 2=1,这时不可能得出最大值为•••点D的横坐标与点C的横坐标相同均为怎,• - y1=（v13a）2=3a,题五:(1)y=4, (2)15 .占 八、D 的坐标为（痣,占 八、E 的纵坐标为3a,3a), 「DE//AC,2——=3a, • . x=3 v 1 a , 3 占八、E 的坐标为（3 v,a ,3a), •.DE=3Va —痘，「 DE 3, a 7 3a1八A— AB PO,cS AOB _ 2- 4m-2••.E 点的横坐标为一2m, F 点的横坐标为 3m, .•.y E =l^-2m)2=4m99222 4m _ 5m9 ・ 9，AE=m 2，y F =1x (3m)2=也, 4 422DF=9m- - m 2=-5m-44 5m 3E(—2m,当 SA AEM =1292X 5m 2-)F(3m,耳),4SA DFM = 12① X5m= 15m 3一S DFM15m 3278详解：(1)作EC ，x 轴于C, FD ，x 轴于D, FH ，y 轴于H,如图，•••△OEP 的面积为2,：|k|=2,而k>0,k=4, •••反比例函数解析式为 y=4; x(2) 「EPLy 轴,FH ，y 轴,「.EP//FH, /. A BPE^A BHF ,即HF=4PE,设E 点坐标为(t,，)，则F 点的坐标为(4t,，)， t 4t ・ S ^OEF +S* AQFD = S AQEC +S 梯形ECDF ， 而 S AQFD =S 8EC =2 ,题六：(1)y=6; (2)y=—2x+8, 8. x・「y=x 2_4x+2(x 刃)的对称轴为 x=2, y i =y 2, ：x 2+x 3=4,・•・y=x 2—4x+2(x 冷)的顶点坐标为(2, —2),令 y= —2,代入 y=3x+1,解得：x=—1,「•—1<x 1<0, 贝U x i +x 2+x 3 的取值范围是：-1+4<x 1+x 2+x 3<0+4,3<x 1+x 2+x 3<4.题八：(1)y=x+3; (2) - 8<x 1+x 2+x 3< - 7.PE BE _ 1 =-- , IM ，详解：先作出函数y=」x2-4x '2,* * ** x -0的图象，如图，不妨设X 1VX 2VX 3,勺+…可详解:(1)由y=x2+4x+3得至U： y=(x+3)(x+1), C(0, 3),• .A(—3, 0), B(—1, 0),设直线AC 的表达式为:y=kx+b(k?・•. ：3k：b=°,解得：；k=：，所以直线AC的表达式为y=x+3, b =3 b =3(2)由y=x2+4x+3得至U：y=(x+2)2—1, ••・抛物线y=x2+4x+3的对称轴是x= —2, 顶点坐标是(一2, —1), •. y1=y2,「-2=—4,令y= —1,代入y=x+3,解得：x= — 4,: x1 >x2>x3, •二—4<x3<—3, •二一4 — 4<x1 +x2+x3< — 3 — 4,「•一8<必+垣+&< 一7.代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a?0与x轴交于A (-1, 0)、B (3, 0)两点，与y轴交于点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式及顶点M坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得APAC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a?0与x轴交于点A (-4, 0), B (1,0),与y轴交于点D (0, 4),点C (-2, n)也在此抛物线上.(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)设BC交y轴于点E,连接AE, AC请判断△ ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M, N的密距，记为d (M, N).特别地，若图形M, N有公共点，规定d (M, N) =0.(1)如图1, OO的半径为2,①点A (0, 1) , B (4, 3),则d (A, OO) =, d (B, OO) =.②已知直线l： y=3x + b与。

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________两圆一中垂模型讲解【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB=AC,，则点 C 在以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若BA=BC,，则点 C 在以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若CA=CB 则点 C在线段AB 的垂直平分线PQ 上.以上简称“两圆一中垂”.“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB 中点E(共除去5个点)，需要注意细节.典例秒杀典例1如图平面直角坐标系中已知A(2 2) B(4 0) 若在x轴上取点 C 使. △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 有( ).A.1个B.2 个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵点 A B的坐标分别为(2 2) B(4 0) ∴AB=2√2.①若AC=AB 以 A为圆心 AB长为半径画弧与x 轴有2个交点(含 B点) 即(0 0) (4 0)(舍去)∴满足△ABC是等腰三角形的点C 有1个②若 BC=AB 以B为圆心 BA长为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C 有2个③若CA=CB，作线段AB的垂直平分线与x轴有 1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有1个.综上所述，满足条件的点C共有 4个.故选 D.典例2图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，P 是x 如图，已知点 A(1，2)是反比例函数y=kx轴上一动点.若△PAB是等腰三角形，则点 P的坐标是 .【答案】(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0)的图象关于原点对称【解析】∵反比例函数y=kx∴A，B两点关于点O对称∴O为AB 的中点且 B(-1 -2)∴当△PAB为等腰三角形时，只有. PA=AB或PB=AB两种情况.设点 P 的坐标为(x 0)∵A(1 2) B(-1 -2)∴AB=√[1−(−1)]2+[2−(−2)]2=2√5,PA=√(x−1)2+22,PB=√(x+1)2+(−2)2故当 PA=AB时√(x−1)2+22=2√5,解得x=--3 或x=5 此时 P点坐标为(-3 0)或(5 0);当 PB=AB 时√(x+1)2+(−2)2=2√5,解得 x=3 或x=-5 此时P点坐标为(3 0)或(-5 0).综上可知点 P的坐标为(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0).典例3如图，抛物线y=x²−2x−3与y轴交于点C，点 D的坐标为(0，-1)，抛物线在第四象限内有一点 P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为( ).A.1+√2B.1−√2C.√2−1D.1−√2或1+√2【答案】A【解析】令x=0 则y=-3∴点C的坐标为( (0,−3).∵点 D的坐标为(0 -1)×(−1−3)=−2.∴线段CD的中点的纵坐标为12∵△PCD是以CD 为底边的等腰三角形∴点 P 只能在线段CD 的垂直平分线上∴点 P 的纵坐标为-2∴x²−2x−3=−2,解得x1=1−√2,x2=1+√2.∵点 P 在第四象限∴点 P 的横坐标为1+√2.故选 A.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中AB=2OB,在坐标轴上取一点 P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点 P共有( ).A.4个B.5 个C.6个D.7个2.(★★☆☆☆)如图点 A的坐标是(2 2) 若点 P 在x 轴上且△APO是等腰三角形，则点 P的坐标不可能是( ).A.(4 0)B.(1 0)C.(−2√2,0)D.(2 0)(x−√3)2+4上则能3.(★★☆☆☆)已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A B 点 P 在抛物线y=−13使△ABP为等腰三角形的点 P 有( ).A.3个B.4个C.5个D.6 个直击中考的图象交于A(3 4) B(n -1)两点.1.如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标.(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点 A 在点B 的左边)，与y轴交于点C(0,−3),顶点 D 的坐标为( (1,−4).(1)求抛物线的解析式.(2)在y轴上找一点E，使得. △EAC为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标.两垂一圆模型讲解【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得△ABC为直角三角形.【结论】分类讨论：若∠A=90°,则点 C在过点 A 且垂直于 AB 的直线上(除点 A 外);若∠B=90°,则点 C 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上(除点 B 外);若∠C=90°,则点 C在以 AB为直径的圆上(除点 A B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.典例秒杀典例1如图已知点A(-8 0) B(2 0) 点 C在直线y=−3x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C 的个数为( ).4A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】如图所示，有三个点满足条件.典例2的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足已知抛物线y=x²−9与x轴交于A，B两点，点 P 在函数y=√3x条件的点 P 的个数为( ).A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】令x²−9=0,解得x₁=3,x₂=−3,不妨设A(-3 0) B(3 0)若AB为斜边，则以 O为圆心，OA长为半径作圆，如图1.的图象的交点即为满足条件的点，这样的点有4个，分别是P₁,P₂,P₃,P₄;圆O与y=√3x的图象于点P₆，P₅，交点即为满足条件的点，若以AB为一直角边，则分别过A，B作x轴的垂线，交y=√3x如图2，这样的点有2个.综上所述，满足条件的点 P 有 6 个.故选 D.典例3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为经过点(1，0)的直线，其图象与x轴交于点A，B，且过点 C(0，−3),，其顶点为 D，在 y轴上有一点 P(点 P 与点 C 不重合)，使得△APD是以点 P 为直角顶点的直角三角形，则点 P 的坐标为( ).A.(0 3)B.(0,−3)C.(0 -1)D.(0,−1)或(0,−3)【答案】C【解析】由题意得二次函数图象的对称轴为直线. x=1,则−b=1,b=-22又二次函数的图象过点 C(0，-3)∴--3=c 即c=-3∴二次函数的解析式为y=x²−2x−3.由y=x²−2x−3=(x−1)²−4,得顶点 D的坐标为(1 -4).令x²−2x−3=0,得x₁=3,x₂=−1,则 A(3 0).设 P(0 m)(m≠-3) 由题意得PA=√9+m2,PD=√1+(m+4)2,AD=2√5.∵∠APD=90°∴PA²+PD²=AD²,即(√9+m2)2+(√1+(m+4)2)2=(2√5)2.解得m₁=−1,m₂=−3(不合题意，舍去).∴P(0 -1).故选 C.1.(★★★☆☆)如图所示已知 A(2 6) B(8 -2) C为坐标轴上一点且△ABC是直角三角形，则满足条件的点 C 有( ).A.6 个B.7 个C.8个D.9 个2.(★★★☆☆)已知点 P 为二次函数y=x²−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A 在B 的右侧)，与y轴交于C 点，若△APC为直角三角形且 AC 为直角边，则点 P 的横坐标的值为 .直击中考1.如图 1，抛物线y=ax²+bx+6与 x轴交于点A(-2 0) B(6 0) 与y轴交于点C 顶点为 D 直线AD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)如图2 将△AOE沿直线AD 平移得到△NMP.①当点 M落在抛物线上时，求点 M的坐标②在△NMP 移动过程中，存在点 M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.胡不归模型讲解从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路.由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B(如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠近目的地的一侧全是沙砾地带)，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际不断喃喃地念叨着“胡不归? 胡不归? ……”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢?倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.【模型】由于在驿道和沙砾地带的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总用时更短呢?如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时?【解析】设在沙砾地带的行驶速度为v₁，在驿道上的行驶速度为v₂显然v₁<v₂.不妨假设从 C处进入沙砾地带.设总用时为t，则t=BCv1+ACv2=1v1(BC+v1v2AC).因为 v₁，v₂是确定的，所以只要BC+v1v2AC的值最小，用时就最少.问题就转化为求BC+v1v2AC的最小值.我们可以作一条以C为端点的线段，使其等于v1v2AC,并且与线段CB位于AM 两侧，然后根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢?由三角函数的定义，过A点，在 AM的另一侧以A 为顶点，以AM为一边作∠MAN=α,sinα=v1v2,然后作CE⊥AN 则CE=v1v2AC.故当点 B，C，E在一条直线上时，BC+CE的值最小即BC+v1v2AC的值最小，即总用时最少.【问题解决】求形如“PA+kPB”的最值问题，构造射线 AD，使得sin∠DAN=k,即CHAC=k,CH=kAC.将问题转化为求BC+CH 的最小值过 B 点作BH⊥AD交MN于点C 交 AD 于点H 此时BC+CH 取到最小值即BC+kAC的值最小.典例秒杀典例1如图菱形 ABCD中∠ABC=60° 边长为3 P是对角线BD 上的一个动点，则12BP+PC的最小值是( ).A. √3B.32√3 C.3 D.√3+32【答案】B【解析】如图作 PM⊥AB于点M CH⊥AB 于点H.∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30∘,∴PM=12PB,∴12PB+PC=PC+PM,根据垂线段最短可知CP+PM的最小值为CH 的长在 Rt△CBH中CH=BC⋅sin60∘=3√32,∴12PB+PC的最小值为3√32,故选 B.典例2如图，△ABC在平面直角坐标系内，点A(0，3 √3) C(2 0).点 B为y 轴上的动点，则12AB+BC的最小值为( ).A.2√3B.52√3C.3√3D.72√3【答案】B【解析】如图，取. D(−3,0),连接AD 作. BE⊥AD,CE′⊥AD交AD于点E′,交 y轴于点B′.∵A(0,3√3),C(2,0),D(−3,0),∴OD=3,OA=3√3,OC=2,CD=5,∴tan∠DAO=ODOA =√33,∴∠DAO=30°,∴EB=12AB,∠ADO=60∘,∴12AB+BC=EB+CB,∴当 E 与E′重合，B与B′重合时，EB+BC的值最小，即最小值为CE'的长.在 Rt△CDE'中 ( CE′=CD⋅sin60∘=5√32,∴12AB+BC的最小值为5√32.故选 B.典例3如图，△ABC中AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是( ).A.2√5B.4√5C.5√3D.10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于点H ( CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∵tanA=BEAE=2,∴设AE=a BE=2a则100=a²+4a²,∴a²=20,解得a=2√5或a=−2√5(舍去)∴BE=2a=4√5.∵AB=AC BE⊥AC CM⊥AB∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∴DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.故选 B.小试牛刀1.(★★★☆☆)如图 △ABC 在平面直角坐标系中 AB=AC A(0 2 √2) C(1 0) D 为射线AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，运动路径为A→D→C ，点 P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标为( ).A.(0 √2 )B.(0,√22)C.(0,√23)D.(0,√24)2.(★★★☆☆)如图 在△ABC 中 ∠A=90° ∠B=60° AB=2 若 D 是BC 边上的动点 则2AD+CD 的最小值为 .直击中考1.已知抛物线 y =ax²+bx +c 与 x 轴交于A(-1 0) B(5 0)两点 C 为抛物线的顶点 抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，连接 BC ，且 tan∠CBD =43,如图所示.(1)求抛物线的解析式.(2)设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点 P 作x 轴的平行线交线段BC 于点 E 过点 E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB ，FC ，求△BCF 的面积的最大值 ②连接PB 求 35PC +PB 的最小值.阿氏圆问题模型讲解“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A，B两点，点P 满足PA : PB=k(k≠1) 则点 P 的轨迹为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型】如图所示⊙O的半径为R 点A B都在⊙O外 P为⊙O上一动点，已知K=25OB,连接PA PB 则当102:25/4B的值最小时，P点的位置如何确定?【解析】如图，在线段OB上截取OC 使OC=25R,连接PO PC 则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC.故本题求PA+25PB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C 为定点，P 为动点，故当A，P，C 三点共线时，PA+PC的值最小.典例秒杀典例1如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P 为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于( ).A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图，在 BC上截取BE=1,连接BP PE DE.∵正方形ABCD的边长为4 ⊙B的半径为2∴BC=CD=4,BP=2,∴EC=3,∴BPBC =BEBP=12,又∠PBE=∠PBE,∴PBECBP,∴PEPC =BEBP=12,∴PE=12PC,∴PD+12PC=PD+PE,∴当D P E三点共线时 PD+PE取得最小值即PD+12PC取得最小值∴PD+12PC的最小值为DE=√DC2+CE2=5.故选 C.典例2问题提出:如图1 在 Rt△ABC中∠ACB=90° CB=4 CA=6 ⊙C的半径为2 P 为圆上一动点连接AP BP 求AP+12BP的最小值.(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2 连接CP 在CB 上取点D 使CD=1 连接 PD 则有CDCP =CPCB=12.又∵∠PCD=∠BCP ∴△PCD∽△BCP.∴PDBP =PCBC=12,∴PD=12BP,∴AP +12BP =AP +PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP +12BP 的最小值为(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP +BP 的最小值为 .(3)拓展延伸:如图3 已知扇形 COD 中 ∠COD =90°,OC =6, OA =3,OB =5,点 P 是 ⌢CD 上一点，求2 2PA +PB 的最小值.【解析】(1)如图 连接AD. ∵AP +12BP =AP +PD,∴要使 AP +12BP 最小，即AP+PD 最小 则点A P D 在同一条直线上 ∴AP +12BP 的最小值为AD 的长，在 Rt △ACD 中 CD=1 AC=6 ∴AD =√AC 2+CD 2=√37, ∴AP +12BP 的最小值为 √37.(2)如图 在 CA 上取点 D 连接 BD 使 CD =23, ∴CD CP=CP CA=13.∵∠PCD=∠ACP ∴△PCD ∽△ACP ∴PD AP =CP CA=13,∴PD =13AP,∴13AP +BP =PD +BP,同(1)的方法得 13AP +BP 的最小值为 BD =√BC 2+CD 2= 23√37.(3)如图 延长OC 到点E 使CE=6 则OE=OC+CE=12 连接 PE OP∵OA =3,∴OAOP =OPOE =12. ∵∠AOP =∠EOP,∴△OAPO △OPE, ∴APEP =OAOP =12,∴EP =2PA,∴2PA +PB =EP +PB,∴当E P B 三点共线时 2PA +PB 取得最小值，为 BE = √OB 2+OE 2=13.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在Rt△ABC中∠ACB=90°,CB=7,AC=9,，以C为圆心 3为半径作⊙C，P 为⊙C上一动点，连接AP BP 则1AP+BP的最小值为( ).3A.7B.5√2C.4+√10D.2√132.(★★☆☆☆)如图所示已知正方形 ABCD 的边长为4 ⊙B的半径为2，点 P是⊙B上的一个动点，则PD−1PC的最大值为( ).2A.3B.4C.5D.6PA+PB的3.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中点A(4 0) B(4 4) 点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则12最小值是 .直击中考1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴 y轴分别交于A C两点抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点 M运动到某一位置时，四边形AMBC的面积最大，求此时点 M的坐标及四边形AMBC的面积PA的值最小，(3)如图2 若 P点是半径为2的⊙B上一动点连接PC PA 当点 P 运动到某一位置时，PC+12请求出这个最小值，并说明理由.等分面积模型讲解【模型】三角形中的中线等分面积很常见，如图，在△ABC中，取BC的中点D，连接AD，由于左右两个三角形等底同高，故它们的面积相等，即S ABD=AGD,如果在AC边上取一点P，那么如何作线平分面积呢?¯【作法】因为 D 是 BC 的中点S ABD=S ACD,所以要想平分三角形的面积，可作. AE‖PD,连接PE 如图.比较S ABD=S ACD,AED可等量替换为△AEP,因此，得S=S EPC,即完成了面积平分.四边形ABEP典例秒杀典例1已知平面上点O(0 0) A(3 2) B(4 0) 直线. y=mx−3m+2将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为( ).A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=mx--3m+2=m(x-3)+2当x=3时 y=2则直线y=mx--3m+2一定过点A(3 2)因为直线 y=mx--3m+2 将△OAB分成面积相等的两部分所以直线y=mx-3m+2一定过OB的中点(2 0)把x=2 y=0代入y=mx-3m+2得0=2m--3m+2解得m=2.故选 B.典例2如图 AB∥DC ED∥BC AE∥BD 那么图中与△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ).A.1个B.2个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】∵AB∥DC∴△ABC与△ABD的面积相等.∵AE∥BD∴△BED 与△ABD的面积相等.∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形∴与△ABD面积相等的三角形有△ABC △BED 共2个.故选 B.典例3(1)如图1 梯形 ABCD的对角线交于点O AB∥CD 请写出图中面积相等的三角形(2)如图 2，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A(—2，3) B(2 1).①求点 C的坐标及三角形 AOC 和三角形BOC 的面积②请利用(1)的结论解决如下问题：D 是边OA 上一点，过点 D 作直线DE 平分三角形ABO的面积，并交AB 于点E(要有适当的作图说明).【解析】(1)∵AB∥DC∴S ABD=S ABC,S ADC=S BDC,∴S AOD=S BOC.(2)①∵点 A(-2 3) B(2 1)∴直线AB的解析式为y=−12x+2,∴C(0 2)∴S AOC=12×2×2=2,S Bx=12×2×2=2.②由①可知点 C是线段AB 的中点，则S CA=S OBC.连接CD 过点O作( OE‖CD交AB 于点E 连接DE 则直线DE就是所求作的直线.小试牛刀1.(★★★☆☆)操作体验.(1)如图 1 已知△ABC,请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD面积的大小关系.(2)如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的边 BC 在 x 轴上已知点A(2 4) B(-1 0) C(3 0) 试确定过点 A 的一条直线l 平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式.(3)如图3 在平面直角坐标系中若A(1 4) B(3 2) 则在直线y=−4x+20上是否存在一点C，使直线OC 恰好平分四边形OACB 的面积?若存在，请计算点 C的坐标若不存在，请说明理由.2.(★★★☆☆)已知在梯形ABCD中AB‖CD.(1)如图1 若点 E 为AD 的中点 BE 的延长线交 CD 的延长线于点F，求证：(2)如图2，请过点 B画一条直线将梯形ABCD 的面积平分，并简单说出画法.x+m的图象与x 轴交于点A(−6,0),交 y轴于点 B.3.(★★★☆☆)如图已知一次函数y=43(1)求m的值与点 B 的坐标.(2)在x轴上是否存在点C，使得. △ABC的面积为 16?若存在，求出点C的坐标若不存在，说明理由.(3)一条经过点 D(0，2)和直线AB上一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式.直击中考1.在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分.进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形分为面积相等的两部分?他画出了如下示意图(如图1)，得到了符合要求的直线AF.小明的作图步骤如下：第一步，连接AC第二步过点 B作BE∥AC交DC 的延长线于点E;第三步，取ED的中点F，作直线AF则直线 AF即为所求.请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2 五边形 ABOCD各顶点坐标为A(3 4) B(0 2) O(0 0) C(4 0) D(4 2).请你构造一条经过顶点 A 的直线将五边形 ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.第 21 页共 21 页。

代数几何综合题1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长.3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0<x 2． (1)求m 的取值范围；(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.4.一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx=-+上，求k 的值；③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。

1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。

（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

专题71 代数与几何综合（1）【典例分析】例1、如图，四边形OABC为长方形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B 点的坐标是(4,6)，将长方形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是(52,6)．(1)求F点的坐标；(2)如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；(3)若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．【答案】解：(1)∵点D坐标是(52,6)，B点的坐标是(4,6)，四边形OABC为矩形，∴BC=AO=4，OC=AB=6，CD=52，BD=BC−CD=32，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF=CD=52，∴BF=√DF2−DB2=√254−94=2，∴AF=6−2=4，∴点F(4,4)；(2)如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C(0,6)，F(4,4)，∴直线CF的解析式为y=−12x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y=2x+1，∴E(0,1)，D(52,6)，∵DJ=JE，∴J(54,72 )，∵PJ=JF，∴P(−32,3)；(3)如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N(m,2m+1)，则K(m+42,2m+52)，M(7−m2,3m+12)，M′(3m+12,m+92)，当点M落在x轴上时，3m+12=0，解得m=−13，当点M′落在X轴上时，m+92=0，解得m=−9，∴满足条件的点N的坐标为(−13,13)或(−9,−17)．【解析】【试题解析】(1)由折叠的性质可得DF=CD=5，由勾股定理可求BF的长，即可求解；2(2)如图2中，连接PF交DE于J.当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，构建一次函数求出点E，点D坐标，求出点J的坐标即可解决问题．(3)如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K.用m的代数式表示出点M，M′的坐标，根据点M，M′在x轴上时，纵坐标为0构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．【好题演练】一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(a,0)，C(m,n)，其中m>a，a<1，n>0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，则m的取值范围是A. 0<m<2B. 2<m<3C. m<3D. m>3【答案】B【解析】【分析】本题考查了坐标于图形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，不等式(组)的解集等有关知识，关键是知识的综合，利用数形结合思想解决问题．先由已知条件判定ΔAOB≌ΔBDC，故得OB=CD，OA=BD，再结合已知和点的坐标，得到不等式m−2<1和m−2>0，最后解不等式(组)即可求解．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠BDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∵∠AOB=∠BDC=90°，AB=BC，∴ΔAOB≌ΔBDC(AAS)，∴OB=CD，OA=BD，即a=n，m−a=2，∴a=n=m−2，∵a<1，∴m−2<1，即m<3;∵n>0，∴m−2>0，即m>2;∴m的取值范围是2<m<3．故答案为B．二、填空题2.如图A,E为反比例函数y=2x (x>0)上的两点，B、D为反比例函数y=kx(x>0)上的两点，AB//DE//y轴，连结DA并延长交y轴于点C且CD轴，若SΔABC−SΔADE=19，则k=__________．【答案】94【解析】【分析】本题主要考查的是反比例函数与几何综合，解题的关键是根据题意写出各点坐标．设点A(a,2a)，根据反比例函数及其图象的特点依次表示出B、C、D的坐标，再根据SΔABC−SΔADE=19即可得出结果．【解答】解：∵点A在反比例函数y=2x(x>0)上，设点A(a,2a)，∵AB//DE//y轴，∴B点的横坐标为a，C、D点纵坐标为2a，∴B(a,ka )，C(0,2a)，D(ak2,2a)，∴E点的横坐标为ak2，∵点E在反比例函数y=2x(x>0)上，∴E(ak2,4ak)，∵SΔABC−SΔADE=19，∴12⋅AC⋅AB−12AD⋅DE=19，∴12×a×(ka−2a)−12×(ak2−a)×(2kak−4ak)=19，∴k=94．故答案为：94．3.如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，点E为AB的中点，AB=24，BC=5.当OD最大时，直线OD的表达式为________．【答案】y=5x【解析】【分析】本题主要考查代数与几何的综合.待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识．求直线OD解析式.需要先求出D点坐标，用到相似三角形的判定与性质求D点的横坐标，纵坐标，代入计算即可．【解答】解：如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD =BC =5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD =DE +OE =13+12=25， 设DF =x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB =90∘， ∵∠DFA =∠AOB =90°，∴∠DAF +∠ADF =∠DAF +∠OAB ， ∴ADF =∠OAB ，又Rt △OAB 中，E 为AB 中点， ∴EO =EA =EB ，∴∠OAE =∠AOE ， ∴∠ADF =FOD ， 又∠AFD =∠OFD ， ∴△FOD∽△FDA ， ∴OD AD =OFDF ， 即255=√252−x 2x，解得x =25√2626，或x =−25√2626(舍去)， ∴OF =125√2626，∴D(25√2626,125√2626).令直线OD的表达式：y=kx，把点D坐标代入得k=5，∴y=5x．故答案为：y=5x．三、解答题4.如图，直线l：y=x−2分别交x，y轴于A、B两点，C、D是直线l上的两个动点，点C在第一象限，点D在第三象限．且始终有∠COD=135∘．(1)求证：ΔOAC∽△DBO；(2)若点C、D都在反比例函数y=kx的图象上，求k的值；(3)记▵OBD的面积为S1，▵AOC的面积为S2，且S1S2=12，二次函数y=ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当S1≤x≤S2时，y有最大值2，求a的值．【答案】解：(1)证明：∵∠DOC=135°，∴∠BOD+∠AOC=45°，∵A，B分别是直线y=x−2与x轴，y轴的交点，∴OA=OB=2，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AOC +∠ACO =45°， ∴∠BOD =∠ACO ， ∵∠OBD =∠OAC ， ∴▵OAC ∽▵DBO ；(2)由(1)得▵OAC ∽▵DBO ， ∴ACBO =AOBD ， ∴AC ·BD =4， 设C(x C ,y C )，D(x D ,y D )，过点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，则BD =√2DF =−√2x D ，AC =√2CE =√2y C ． ∴−√2x D ·√2y C =4， ∴x D ·y C =−2， 即k·x D x C=−2，联立{y =x −2y =k x，消去y 得x 2−2x −k =0，∴x D ·x C =−k ，∴x D 2=2，∴x D =−√2， ∴y D =2−√2， ∴k =2√2+2；(3)由(1)知▵OAC ∽▵DBO ，∴S 1S 2=(OB AC )2=(BD OA )2=12，∴AC =2√2，BD =√2， ∴C(4,2)，D(−1,−3)， ∴S 1=1,S 2=2，把C ，D 代入二次函数解析式得： {16a +4b +c =2a −b +c =−3, 解得{b =1−3ac =−2−4a, ∴y =ax 2+(1−3a)x +(−2−4a)， 对称轴为x =−1−3a 2a=32−12a，①当a >0时， ∵x =32−12a <32，∴2到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，∴当x =2时，二次函数取最大值为4a +2−6a −2−4a =2． ∴a =−13(舍去)，这种情况，不存在a 的值使二次函数的最大值为2； ②当−1≤a <0时，x =32−12a ≥2，∴二次函数y =ax 2+(1−3a)x +(−2−4a)在1≤x ≤2上是随着x 的增大而增大的， ∴当x =2时，二次函数取最大值为4a +2−6a −2−4a =2， 解得：a =−13； ③当a <−1时，32<x =32−12a <2，∴当x =32−12a 时，二次函数取最大值为−(3a−1)24a−2−4a =2，解得a =−15(舍去)， 综上可得a 的值为−13．【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，一次函数的图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，二次函数的应用的有关知识．(1)根据∠DOC=135°，得到∠BOD+∠AOC=45°，根据A，B分别是直线y=x−2与x轴，y轴的交点，得到OA=OB=2，进而得到∠OAB=∠OBA=45°，从而有∠BOD=∠ACO，根据∠OBD=∠OAC，得到▵OAC∽▵DBO；(2)由相似三角形的性质得到AC·BD=4，设C(x C,y C)，D(x D,y D)，过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则BD=√2DF=−√2x D，AC=√2CE=√2y C.进而求出k·x Dx C=−2，联立{y=x−2y=kx，消去y得x2−2x−k=0，求出x D=−√2，y D=2−√2，进而求出k；(3)利用相似三角形的性质得到S1S2=(OBAC)2=(BDOA)2=12，求出点C，D的坐标，再代入二次函数的解析式求出y=ax2+(1−3a)x+(−2−4a)，求出对称轴为x=−1−3a2a =32−12a，再分①当a>0时，②当−1≤a<0时，③当a<−1时，讨论求解即可．5.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，点D的坐标为(4,3)．(1)求k的值．(2)设点M在反比例函数图像上，连接AM，DM，若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，求点M的坐标．【答案】解：(1)延长AD交x轴于E，∵点D的坐标为(4,3)，∴OE=4，DE=3，由勾股定理得，OD=5，则AE=8，∴点A的坐标为(4,8)，∴k=4×8=32，答：k的值为32;(2)菱形ABCD的面积为5×4=20，∵△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，∴点M到AD的距离为20×25=8，∴点M的横坐标为4+8=12，y=3212=83，点M的坐标为(12,83).【解析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、求反比例函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的图象上点的坐标特征的有关知识，菱形的性质，掌握菱形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键．(1)延长AD交的轴于E，根据勾股定理求出菱形的边长，确定A的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值;(2)根据题意求出菱形的面积，根据题意求出点M到AD的距离，求出点M的横坐标，代入求值即可．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+1与双曲y=kx(k>0)相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D(1,−2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形．(1)求k和m的值；(2)根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；(3)设点P是y轴上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．【答案】解：(1)∵四边形AODC是菱形，O、C在x轴上，∴A、D关于x轴对称，∵D(1,−2)，∴A(1,2)，将A(1,2)代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，将A(1,2)代入反比例函数y=kx，可求得k=2．(2)∵当x=1时，反比例函数的值为2，∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，此时x的取值范围为：x<0或x>1；(3)连接AD交x轴于E，∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，∴S菱形OACD =12OC⋅AD=4，S△OAP=S菱形OACD，∴S△OAP=4，设P点坐标为(0,y)，则OP=|y|，∴12×|y|×1=4，即|y|=8，解得y=8或y=−8，∴P点坐标为(0,8)或(0,−8)【解析】本题考查的是反比例函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积有关知识．(1)由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数函数解析式可求得k和m值；(2)由(1)可知A点坐标为(1,2)，结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；(3)根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为(0,y)，根据条件可得到关于y的方程，可求得P点坐标．7.抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，交y轴负半轴于点C且OC=OA．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在第四象限内的抛物线上是否存在一点P，连接AP，直线AP将四边形ACPB的面积分为1：2的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以AB为直径向x轴上方画半圆，交y轴正半轴于点D，点Q是弧BD上的动点，M是弧DQ的中点，连接AQ、DQ，AM，设∠CDQ的角平分线交AM于点N，当点Q沿半圆从点D运动至点B时，求N点的运动路径长．【答案】解：(1)∵抛物线图象经过点A(−1,0)、点B(3,0)且OC=OA∴点C(0,−1)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，把点C(0,−1)代入，得a =13，∴设抛物线解析式为y =13(x +1)(x −3)， 即y =13x 2−23x −1；(2)连接BC 交AP 于点E ，过点C 作CG ⊥AP 垂足为点G 、过点B 作BH ⊥AP 交AP 的延长线于点H ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ， 如图 ①若S △APC ：S △APB =1:2，则CG:BH =1:2，∵△CGE∽△BHE ， ∴CE:BE =CG:BH =1:2， 易证△BEF∽△BOC ， ∴BF BO=BE BC=EF OC =23， ∴E(1,−23)，∴AE 的解析式为y =−13(x +1)，令，解得{x 1=−1y 1=0(舍);{x 2=2y 2=−1，∴点P(2,−1) ；②如图若S △APC ：S △APB =2:1，则CG:BH =2:1，∵△CGE∽△BHE ∴CE:BE =CG:BH =2:1， 易证△BEF∽△BCO ， ∴，∴E(2,−13)，∴AE 的解析式为y =−19(x +1)， 令{y =−19(x +1),y =13(x +1)(x −3).解得∴点P(83,−1127)，综上所述点P(2,−1)或(83,−1127).(3)如图连接AD ，易知AB =4，OD =√3，∠AQD =∠ABD =30°，∴∠DAO =60°，∠ADO =30°，不妨设∠QAO=x，∴∠DAQ=60°−x，∵点M是弧DQ的中点，∴∠DAM=∠MAQ=12(60°−x)，∵∠QAO+∠DOA=∠ODQ+∠AQD，∴∠ODQ=x+90°−30°=60°+x，∵DN平分∠ODQ，∴∠ODN=12∠ODQ=12(60°+x)，∴∠ADN=∠ADO+∠ODN=30°+12(60°+x)=60°+12x，∴∠AND=180°−(∠DAN+∠ADN)=90°，如图∴点N在以AD为直径的圆上运动，起点为点D，终点为N′，取AD的中点S，连接SN′，当点Q运动到点B时，即∠QAO=x=0°，∴∠DAN=30°，则∠DSN=60°，∵AD=2∴SD=1，∴点N运动的路径长为60⋅π⋅12180=π3．【解析】本题考查二次函数与相似三角形和圆的有关知识的综合，并要具备分类讨论的思想、数形结合思想，需要很强的逻辑推理能力；要有很强的计算能力，熟记计算公式是关键；本道题是一道比较困难的综合题。

代数几何综合课后练习题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△AC E的形状，并说明理由.C的横坐标)（代数几何综合课后练习参考答案题一： （1）y=214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx+c （a≠0）过A （-1，0）、B （3，0）， C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.[来源:Zxx k.Com]故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ， 题二： （1）y=-x 2-3x+4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y=-x 2-3x+4，∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n=-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC 2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.详解：（1）①连接OB，过点B作轴的交点，），．详解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O ∴∠OE R=30°，的关联点，则需点H=60°，可得点2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°2．小明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小明上学途中下坡路的长为1800米;②小明上学途中上坡速度为150米/分，下坡速度为200米/分;③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟;④如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍，则返回时上坡速度是160米/分其中正确的有（）A.①④B.②③C.②③④D.②④3．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l与山高h间的函数关系用图形表示是（）A. B.C. D.4．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）A．34 B．35 C．36 D．375．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.6．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．C ．8cmD ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为( )A ．22B ．24C ．D ． 8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M-P-N 上移动，它们的坐标分别为(1,4)M -、(3,4)P 、(3,1)N .若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为-3，则a b c -+的最小值是（ ）A ．-15B ．-12C ．-4D ．-29．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1010．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为点O ，顺次连接四边形ABCD 各边中点E ，F ，G ，H ，则所得四边形EFGH 的形状为（ ）A.对角线不相等的平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数()2y x h =-+（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，其对应对的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为（ ） A.3-或6- B.1-或6-C.1-或3-D.4-或6-二、填空题13．如图，AB ∥CD ．若∠ACD=82°，∠CED=29°，则∠ABD 的大小为______度．14．一次函数y=ax+b 和反比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象如上图所示，则a___0，b___0.15．如图，AB 、BC 是⊙O 的弦，OM ∥BC 交AB 于点M ，若∠AOC=100°，则∠AMO=___.16．36的算术平方根是 ．17．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为______．18．某校抽查50名九年级学生对艾滋病三种主要传授途径的知晓情况，结果如表估计该校九年级600名学生中，三种传播途径都知道的有_____人．三、解答题19．如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．（1）求证：△ADE≌△BCF．（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，sin∠ABE＝23，BF＝4，求BE的长．20．如图，点P是AB所对弦AB上一动点，点Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为cm．21．为丰富学生的课余生活，学校准备购买部分体育器材，以满足学生们的需求．学校对“我最喜爱的体育运动”进行了抽样调查（每个学生只选一次），根据调查结果绘成如图所示的两幅不完整统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题．（1）求m、n的值；（2）若该校有2000名学生，请你根据样本数据，估算该校喜欢踢足球的学生人数是多少？22．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为( )A．13B．49C．59D．2323．一只不透明的袋子中装有1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有1次摸到红球的概率．24．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．25．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于260件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3490元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．5314．< >15．5016．17．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩18．300三、解答题19．（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）想证明四边形ABFE是平行四边形，得出AE=BF=4，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE=90°，再由三角函数定义即可求出BE的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CF∥DB，∴∠BCF＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCF在△ADE与△BCF中，DE CFADE CBF AD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）解：∵CF∥DB，且CF＝DE，∴四边形CFED是平行四边形，∴CD＝EF，CD∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF＝4，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，∵∠BFC﹣∠ABE＝90°，∴∠AED﹣∠ABE＝90°，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∴∠BAE＝90°，∵sin∠ABE＝AEBE＝23，∴BE＝32BE＝6．【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数等知识；熟练掌握平行四边形的性质和判定，和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．20．（1）3；（2）详见解析；（3）1.2或1.6或3.0．【解析】【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找PB长关于x的函数：直线y=-x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可.【详解】解：（1）（1）∵PA＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，∴AB2＝PC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）如图；（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．故答案为1.2或1.6或3.0．【点睛】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．21．（1）m＝40，n＝60；（2）该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数÷其所占的百分比得到总人数，再由总人数乘以喜爱排球的人数所占百分比得到n，用总人数-喜爱篮球人数-喜爱排球的人数-喜爱其他人数，即可确定出m的值；（2）求出喜欢踢足球的学生人数所占的百分比，乘以2000即可得到结果．【详解】（1）70÷35%＝200（人）n＝200×30%＝60，m＝200﹣70﹣60﹣40＝40；（2）2000×40200＝400 （人）答：该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．C【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝59．故选C．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．23．(1)13;(2)89.【解析】【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种．∴P（摸到蓝球）=13，故答案为：13；（2）将2个红球编号为红球1，红球2，用树状图表示出所有可能出现的结果，由树状图知，共有9种等可能结果，其中至少有一次摸到红球可能的结果有8种．∴P （至少有1次摸到红球）=89． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 24．（1）见解析；（2）⊙O 的直径为9． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A ，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案； （2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED ∽△FAC ，进而求出即可． 【详解】（1）证明：∵∠A+∠DEC ＝180°，∠FED+∠DEC ＝180°， ∴∠FED ＝∠A ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠BCA ＝90°， ∴∠B+∠A ＝90°， ∴∠B+∠FED ＝90°；（2）解：∵∠CFA ＝∠DFE ，∠FED ＝∠A ， ∴△FED ∽△FAC ，∴DE DFAC FC =， ∴326AC =， 解得：AC ＝9，即⊙O 的直径为9． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，得出△FED ∽△FAC 是解题关键．25．（1）10700y x =-+；（2）销售单价为44元时，每天获取的利润最大，3640W =最大元；（3）4456x ≤≤.【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3490元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围． 【详解】（1）设y kx b =+y=k x+b ∴ 经过点(40,300),(55,150)4030055150k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得10700k b =-⎧⎨=⎩故y 与x 的关系式为：10700y x =-+ （2）30＜44x ≤设利润为(30)(30)(10700)w x y x x =-⋅=--+221010002100010(50)4000w x x x =-+-=--+100-<∴x<50时，w 随x 的增大而增大， ∴当44x =时，3640W =最大 （2）由题意，得 -10x+700≥260， 解得x≤44， ∴30＜x≤44，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=44时，w 最大=-10（44-50）2+4000=3640，答：当销售单价为44元时，每天获取的利润最大，最大利润是3640元； （3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3490， -10（x-50）2=-360， x-50=±6， x 1=56，x 2=44， 如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，捐款后每天剩余利润不低于3490元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A.5B.﹣5C.3D.﹣32．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形3．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A.小青B.小何C.小夏D.小雨5．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④6．已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣1（a为常数，且a≠0），（）A．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大B．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小C．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大D．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小7．已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8 （ ） A ．16的平方根B ．16的算术平方根C ．±4D ．±29．下列运算正确的是( ) A ．3x 2•4x 2＝12x 2B ．x 3+x 5＝x 8C ．x 4÷x＝x 3D ．(x 5)2＝x 710．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上DE ∥BC ，点B 、C 、F 在一条直线上，若∠ACF ＝140°，∠ADE ＝105°，则∠A 的大小为（ ）A ．75°B ．50°C ．35°D ．30°11．在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线2k y x=没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A.k 1+k 2＝0B.k 1•k 2＜0C.k 1•k 2＞0D.k 1＝k 212．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sin θ=13，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．24πC ．16πD ．12π二、填空题 13．反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx+m 的图象有一个交点是（﹣2，1），则它们的另一个交点的坐标是_____．14．从1,2,3,4四个数中任取一个数作为AC的长度，又从4,5中任取一个数作为BC的长度，6AB ，则AB AC BC、、能构成三角形的概率是_____．15．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．16﹣|﹣2|＝_____．17．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_____cm．18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．三、解答题19．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（1）将上面表格补充完整；（2）某天王先生和李女士从甲地到乙地，试用树状图或列表法求在早高峰期间刚好都坐同一条线路的概率；（3）小张从甲地到乙地，早高峰期间用时不超过45分钟，请问小张应该选择哪条线路？请说明理由．20．(1)阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为_____；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为_____，综上可得∠BPC的度数为_____；(2)类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB，PC＝1，求∠APC的度数；(3)拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝12AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．21．计算：020194sin60|2|(1)--+-．22．解不等组533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩并求出其整数解．23．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车，上周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元；本周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，两周的销售额为184万元.（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；（2）某公司拟向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元.则有哪几种购车方案？24．已知O的直径为10，点A，B，C在O上，CAB∠的平分线交O于点D.（I）如图①，当BC为OO的直径时，求BD的长；（Ⅱ）如图②，当BD=5时，求∠CDB的度数。