2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综
合题
1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG
（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的
特殊四边形，并证明你的猜想：
（4）当时，请直接写出的值．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；
（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；
（4）由已知表示出的值．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△GDA，
∴DE=DG，
∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°，
∴DE⊥DG．
（2）如图．
（3）四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK、DE相交于M点，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
代数几何综合问题
一、选择题
1．如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；
②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；
③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．
其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为【】
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分
别以点M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，
b+1），则a与b的数量关系为【】
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
3．若a，b为实数，且a1b10
++-=，则（ab）2013的值是【】
A、0
B、1
C、﹣1
D、±1
4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是【】
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
5．若平行四边形的一边长为2，面积为46】
A ．3与4之间
B ．4与5之间
C ．5与6之间
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专题三 代数几何综合题
1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；
（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．
考点：
相似形综合题．
分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函
数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．
答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．
∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，
初中数学代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
第一类：与反比例函数相关
1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，D F AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ． 当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a
m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为 ．
3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2(0a b -≥，
0a b ∴-≥，a b ∴+≥a b =时，等号成立．
几何代数综合大题
一、介绍
本文将从几何和代数两个方面综合讨论一道关于几何代数的大题。我们将深入探讨几何代数这一主题，并提供详细和全面的解答。
二、几何
2.1 定义
几何是研究空间、形状和位置关系的数学学科。在几何中，我们使用点、线、面和体来描述和研究物体的几何特征。
2.2 几何大题的解答方法
在解答几何大题时，一般会使用几何定理和公式，通过推理和证明得出最终的结论。几何问题常常需要画图进行可视化，并利用图形的性质进行分析。同时，常常需要使用一些特定的几何分析方法，如相似三角形、平行线和垂直线等。
2.3 解答例题
2.3.1 题目描述
已知一个三角形的三个顶点分别为A(2, 3), B(4, 1), C(1, -2)，求这个三角形
的周长和面积。
2.3.2 解答步骤
1.根据三点坐标求线段长度：
–AB的长度= √[(4-2)² + (1-3)²] = √[4 + 4] = 2√2
–BC的长度= √[(1-4)² + (-2-1)²] = √[9 + 9] = 3√2
–AC的长度= √[(2-1)² + (3+2)²] = √[1 + 25] = √26
2.根据三边长度计算周长：周长 = AB + B C + AC = 2√2 + 3√2 + √26
3.根据海伦公式计算面积：
–p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√2 + 3√2 + √26) / 2
–面积= √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)] = √[(√2 + 3√2 + √26)(√2 + √26)(√2)(3√2 - √26)]
中考代数几何综合题
代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．
题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.
题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.
方法点拨
方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．
函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．
代数几何综合题
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,
∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90
∴∆∆BOP PAC ~
∴
=
PO AC BO
PA
，∴=+||||||x y x 22， x y x y x
<<∴
=
-002
2，，∴=-+y x x 1
2
2
（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,
当x =-1时，y =-32，∴=CA 3
2
BO a BOQ CAQ OQ AQ BO
CA
//~,，∴∴
=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2
∴
-=∴=m m m 2232
8
7
，
Q 点坐标为()8
7
0，
说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习
1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答
案
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
中考数学专题：代数几何综合问题
一、填空题
1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为
______________．
2.如图，在坐标轴上取点A
1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B
1
，
作等腰直角三角形A
1B
1
A
2
；又过点A
2
作x轴的垂线交直线y=2x交于点B
2
，作等腰
直角三角形A
2B
2
A
3
；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A
n
（n为正整数）点
时，则A
n
的坐标是______．
二，选择题
3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A
开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）
A． B．
B． D．
C．
D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）
E．?
F．
G．三、解答题
H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作
数学代数与几何复习题集及答案
<数学代数与几何复习题集及答案>
一、代数复习题
1. 解方程：求解以下方程组
(1) 2x + y = 5
x - y = 1
(2) 3x + 2y = 8
4x - y = 2
(3) x^2 + 4y^2 = 9
2x + 3y = 6
(答案略)
2. 因式分解：将下列多项式进行因式分解
(1) x^2 + 5x + 6
(2) 2x^2 + 3x - 2
(3) x^3 - 8
(答案略)
3. 等比数列：求解等比数列问题
(1) 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第6项为多少？
(2) 一个等比数列的首项为3，前5项的和为242。求该等比数列
的公比。
(3) 若一个等比数列的前n项和为S_n，其中首项为a，公比为r。
证明：S_n = a * (1 - r^n)/(1 - r)
(答案略)
二、几何复习题
1. 三角函数：计算下列问题
(1) 计算 sin(45°) - cos(30°)
(2) 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为3/5，求该锐角的余弦值。
(3) 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10。求另一条
直角边的长。
(答案略)
2. 平面向量：解决平面向量问题
(1) 已知平面向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，计算 a + b 和 a - b。
(2) 若平面向量a = (x, y)满足 a · (3, 1) = 4，求a的坐标。
(3) 已知平面向量a = (2, 1)，b = (3, 4)。计算 a · b 和 |a × b|。
(答案略)
代数与几何综合专题
代数、几何综合题是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样. 代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了运用数学思想方法分析与解决问题的能力.
例1. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表
示纸条的反面)，如图1-1.
图1-1
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26 cm ，宽为x cm ，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P )，试求x 的取值范围．
(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离(用x 表示)．
分析：将图④中的纸条分别沿PM 、PQ 折叠，把折好的纸条打开，则得到如图1-2所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）. 我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽的2倍，PM ′等于5倍的纸条宽，从而可列方程求解.
图1-2
解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点P ，则必须满足AB PM
， ∴2650<
26
0<
A P M
B
M ′
Q
（2）∵图④是轴对称图形，由纸条两端超出点P 的长度相等，
也即2
526/
x
BM AP -=
=，折叠时起点M 与点A 的距离为PM AP +，而x PM =， ∴x x x PM AP AM 23132526-=+-=
+=. 点M 与点A 的距离是（x 2
3
13-）cm. 点评：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性. 既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力.
代数⼏何综合题（含答案）
代数⼏何综合题
代数⼏何综合题是初中数学中覆盖⾯最⼴、综合笥最强的题型，近⼏年的中考试题很多以代数⼏何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是⽅程与⼏何、函数与⼏何等，解代数⼏何综合题最常⽤的数学⽅法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平⾯直⾓坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 取最⼤整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥,
∴∠+∠=?∠+∠
∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90,
A （2，0），C （2，y ）在直线a 上∴∠=∠=?
B O P P A
C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴
=P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2
2
， x y x y x
<<∴=
-002
2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x
的最⼤整数值为-1 , 当x =-1时，y =-
32，∴=CA 3
2
B O a B O Q
C A Q O Q A Q B O
C A //~,，∴∴=??
设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m
=-2 ∴-=∴=m m m 2232
8
7
，∴Q 点坐标为()8
7
0，
说明:利⽤数形结合起来的思想，考查了相似三⾓形的判定及应⽤。关键是搞清楚⽤坐标表⽰的数与线段的长度的关系。
初中数学代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、 函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、 图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等 问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐 标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问 题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条 件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个 击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进 一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的 思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效 地解决问题。
第一类：与反比例函数相关
1. （09北京）如图，点 C 为O O 直径AB 上一点，过点 C 的直线交O O 于点
D 、
E 两点，且/ ACD=45°，D
F _AB 于点 F ，E
G _ AB 于点G .当点C 在AB 上运动时，设 AF =x ， DE = y ，下列
-a -2、、ab b > 0， a b > 2、、ab ，只有当 a = b 时，等号成立.
图象中，能表示 y 与x 的函数关系的图象大致是（
经过正方形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C
3. （09延庆）阅读理解：对于任意正实数 a ，
2.如图，在平面直角坐标系中
y
结论：在a b > 2 ab ( a , b 均为正实数)中，若 ab 为定值p ，则a b > 2 p ,
中考代数几何综合题
代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．
题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.
题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.
方法点拨
方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．
函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．
代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
第一类：与反比例函数相关
1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ． 当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a
m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为 ．
3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2()0a b -≥，
20a ab b ∴-+≥，2a b ab ∴+≥，只有当a b =时，等号成立．
