专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.
【典型例题】
类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数
．若g （x ）存在2个零
点，则a 的取值范围是
A. [–1，0）
B. [0，+∞）
C. [–1，+∞）
D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数．
（1）若，证明：当时，
；
（2）若
在
只有一个零点，求．
类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数．
（1）若，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式
例4.【2017课标II ，理】已知函数()2
ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.
(1)求a ；
(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
202e
f x --<<.
类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系
例5.【2016高考新课标1理】已知函数2
()(2)e (1)x
f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；
（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 类型五 借助导函数零点，解答综合性问题
例6.【2016高考新课标2文】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 例7.【2016高考新课标Ⅲ文】设函数()ln 1f x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，1
1ln x x x
-<
<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x
c x c +->. 例8.【2018年理数天津】已知函数，
，其中a >1.
（I ）求函数的单调区间；
（II ）若曲线
在点处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
（III ）证明当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线.
【规律与方法】
1.研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．
2. 利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
3. 导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln 1x
e x x x ≥+≤-等；（3）如
果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.
4. 对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要通过论坛和联系多加体会.
5. 函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出()/f x ,然后令()/0f x =,移项,转化为判断两个
函数图象的交点个数.
【提升训练】
1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数
恰有三个零点，则的取值范围为( )
A ．
B ．（）
C ．
D ．（）
2.【2017课标3，理11】已知函数21
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，则a =
A ．1
2
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
3.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2
个互异的实数解，则的取值范围是______________. 4．【2018年江苏卷】若函数
在
内有且只有一个零点，则
在
上
的最大值与最小值的和为________． 5.【2018年天津卷文】设函数，其中
,且
是公差为的等差
数列. （I ）若 求曲线在点
处的切线方程；
（II ）若，求
的极值； （III ）若曲线
与直线
有三个互异的公共点，求d 的取值范围.
6.【江西省南昌市2019届高三一模】已知函数（为自然对数的底数），
，
直线
是曲线
在
处的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在
，使得
在
上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理
