随机前沿生产函数

1977 年， Aigner ， Lovell ， Schmidt 和 Meeusen ， Van den Broeck分别独立提出了随机前沿生产函数， 之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许 技术无效率的存在，并将全要素生产率的变化分 解为生产可能性边界的移动和技术效率的变化， 这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经 济增长的实际情况。能够将影响TFP 的因素从TFP 的变化率中分离出来，从而更加深入地研究经济 增长的根源。 利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli （1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和产 出的影响做了大量的实证研究。
Aigner，Lovell和Schmidt(1977)以及Meeusen和 Broeck(1977)都分别提出了如下形式的随机前沿 面生产函数： (1) 式中， 代表第i家公司的产出； 是包含投入对 数的K*1向量；β是待估参数的列向量； 是与 技术无效率相关的非负随机变量； 为观测误差 及其他随机因素


而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一 个包含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中 非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最 大产出, 或以最小的投入生产出一定的产出。 但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍 弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。 因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数 的计算。


其中令 且 。如 果 ，则不会有技术无效率效应，并且所有与 前沿面的偏差都是由噪声造成的。利用这种参数 定义法，对数似然函数为
I i I 2 1 ln L ln I ln ln ( ) 2 2 2 i 1

i 1
I
2 i
式中， 是复合误差； 是标准正态分布变量在x评价的累积分布函数。 最后对似然函数求最大值，通常要对未知参量 求一阶倒数，然后把它们设定为0。

在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项 的确立, 又分为随机性和确定性两种方法。 首先, 确定性前沿生产函数不考虑随机因素的 影响, 直接采用线性规划方法计算前沿面, 确定性 前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部 误差统归入单侧的一个误差项中, 并将其称为生产 非效率。

确定性前沿生产函数模型如下：

由式（1）确定的模式被称为随机前面生产函 数，产出值的上界是随机变量 。,随机误 差 可以是正值也可以是负值，因此随机前沿面 的产出对于前沿面模型的确定部分, 是有 偏差的。随机前沿面模型的这些重要特点可以通 过图示说明。为了方便说明，首先要限定只有唯 一的投入 获得产出 。在这个前提下的科布· 道 格拉斯随机前沿生产函数如下
2.3 随机前沿生产函数


传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均 产出之间的关系, 称之为平均生产函数。测算全要 素生产率的传统方法是索洛余值法(SRA) ,其关键 是假定所有生产者都能实现最优的生产效率,从而 将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结 为技术进步( technological progress) 的结果,这部 分索洛剩余后来被称为全要素生产率。 但是1957年,Farrell 在研究生产有效性问题时 开创性地提出了前沿生产函数(Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入因素进行最佳组 合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经济学中所 说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。


1.生产率（Productivity）：是指厂商所生产的产 出与所需投入的比值。当生产过程只有单投入、 单产出的时候，计算是相当简单的。当投入多于 一个时，为了获得生产率，必须将这些多投入汇 成一个单一的指数。当我们提及生产率的时候， 生产率就是指全要素生产率 (Total Factor Productivity)，它是一种包括所有生产要素的生产 率测量。 2.技术效率（Technical Efficiency）：首先由 Farrell（1957）提出的，具体定义如下:产出规模 不变以及市场价格不变的条件下，按照既定的要 素投入比例，生产一定量产品所需的最小成本与 实际成本的百分比 。当技术效率等于1时我们称 之为技术有效。
图1 随机生产前沿面
Y
确定性前沿面
噪声影响 无效率 影响
噪声影响
无效率 影响
0
X XA XB

从图1中可以很清楚的看到，公司A前沿面产出 在生产前沿面的确定值的上方，这是因为噪声效 应为正值，而公司B的前沿面产出在生产前沿面得 确定值的下方，因为噪声效应为负值。同样可以 看到，公司A的观测产出在前沿面得确定值的下方， 这是因为噪声效应和技术无效率效应的总和为负 值。
函数类型
线性函数 科布道格拉斯函 数 二次函数
函数式
标准化二次 函数 超对数函数
广义列昂惕 夫（Leontief） 固定替代弹 性函数(CES)
2. 随机前沿生产函数
2.1 相关理论知识 2.2 发展进程 2.3 随机前沿生产函数 2.4 估计参量 2.5 假设检验

2.1相关理论知识
1.正态——半正态模型的ML估计
Aigner、Lovell和Schmidt(1977)基于以下假设得到 了最大似然估计： 2 （1） vi iidN (0, v ) 2 （2）u i iid N (0, u ) 式1表明 v 是独立同分布（ independently and i identically distributed ）的正态随机变量，服从期望 2 vi iidN (0, v。式 ) 2表明u i 为 0,方差为 2 是独立同分布的半正态 u i iid N (0, u ) 随机变量，服从参数为 。



前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映 了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企 业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通 过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差 距可以反映出企业的综合效率。 前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参 方法。两者都可以用来测量效率水平。 参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想, 主 要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算。 参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形 式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算。
Y f ( X ) exp(u )
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间， 反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出 与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形 式后，可以计算或估计其参数。


随机前沿生产函数(Stochastic Frontier Production Function)在确定性生产函数的基础上 提出了具有复合扰动项的随机边界模型。 其主要思想为随机扰动项ε应由v 和u 组成, 其 中v 是随机误差项, 是企业不能控制的影响因素, 具有随机性, 用以计算系统非效率; u是技术损失误 差项, 是企业可以控制的影响因素, 可用来计算技 术非效率。很明显, 参数型随机前沿生产函数体现 了样本的统计特性, 也反映了样本计算的真实性。
2.2 发展进程


20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯 （P· Douglas）与数学家柯布（C· Cobb）合作提出了 生产函数理论，开始了生产率在经济增长中作用的定 量研究。 1957年，美国经济学家罗伯特· 索洛（R· Solow）在 《经济学与统计学评论》上发表了《技术变化与总量 生产函数》一文，第一次将技术进步因素纳入经济增 长模型。在定量研究中，索洛将人均产出增长扣除资 本集约程度增长后的未被解释部分归为技术进步的结 果称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称 为“增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生 产率（TFP）的增长率。

生产函数研究的主要成果：
1928年 Cobb,Doyglas C-D生产函数 1937年 Dylaner C-D生产函数的改进 1953年 Shephard 距离函数 1957年 Solow C-D生产函数的改进 1960年 Solow 体现型技术进步生产函数 1961年 Arrow等 两要素CES生产函数

这个前沿面模型的特点可以推广到公司具有多 个投入的情形。特别是（未观测的）前沿面产出 均匀分布在前沿面确定部分的上方和下方。技术 效率可以用计算观测产出与相应的随机前沿面产 出的比值：

按照这种方法的技术效率取值为0~1.很明显可 以看出，技术效率预测的第一步是估计随机前沿 生产函数的参数。
2.4估计参量



3.生产前沿面（Production Frontier）：表示的是 对于不同水平的投入可以获得的最大产出水平。 也称生产边界，它可以用来定义投入和产出的关 系。 4.规模效率(Scale Efficiency):是指资源投入规模对 生产效能的影响，即衡量企业是否能够得当的要 素投入比例。 5.配置效率（Allocative Efficiency）：反映了一个 公司合理划分投入成份，并合理安排对应价格和 生产技术的能力。
1967年 Sato 二级CES生产函数 1968年 Sato,Hoffman VES生产函数 1968年 Aigner,Chy 确定性前沿生产函数 1971年 Christensen,Jorgenson 超越对数生产函数 1971年 Diewert 广义列昂惕夫生产函数 1979年 Brown,Caves,Christensen 多产出超越对数函数 1980年 Greene 最大可能前沿生产函数
1.2 常用生产函数的具体形式

把生产函数 F(X) 具体化，可以得到多种常用生产 函数的具体形式。其中较为常用的有柯布道格拉斯 生产函数（C-D生产函数）、线性生产函数、列昂惕 夫生产函数、固定替代弹性生产函数（CES生产函数） 和超越对数生产函数(Translog生产函数).
一般常见的函数形式
或 或
确定部分
噪声
无效率
图1表示的就是这样一个前沿生产函数，其中表 示了两个公司A和B的投入和产出，同时也图示 了随机前沿生产函数模型的确定成分，由此来反 映其规模报酬递减的特性。横轴表示投入，纵轴 表示产出值。公司A在投入水平 的下得到产 出 。而公司B在投入水平 下得到产出 。 如果没有技术无效率效应（例如如果 和 都 等于0），则A和B两个公司的前沿生产函数产出 分别为：
随机前沿生产函数
1. 生产函数概述 2. 随机前沿生产函数 3. SFA与其他方法的比较 4. Frontier4.1

1. 生产函数概述
1.1 发展进程 1.2 常用生产函数的具体形式

1.1 发展进程


任何生产行为都是在特定的生产技术条件下 进行的，这种特定的生产技术关系决定了一个生 产过程投入和产出的数量上的对应关系，描述这 种对应关系的工具就是生产函数。 从20世纪20年代末,美国经济学Cobb和Doyglas 提出生产函数这一名词，并用1899—1922年生产 情况资料导出著名的 Cobb-Doyglas 生产函数以来， 不断有新的研究成果出现。使生产函数的研究与 应用呈现常盛不衰的局面。
u 通常假设每个 v与 互相独立分布，并且这两种误 i i 差与 x i中的解释变量是不相关的。此外： （期望为0） （同方差） （不相关） （c为常数，同方差） （不相关）

基于这些假设，可以使用最大似然法（ML）或 者修正的普通最小二乘法（COLS）估计参数和随机 变量，进而得到技术效率 TEi ,由于最大似然估计量 具有很大令人满意的大样本特征（例如渐进性）， 它通常要优于其他估计，如COLS。