二阶非线性微分方程的一个新的可解类型

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上海第二工业大学学报
2 v0 k sin 2 ( k 2 t + φ) + 2 1 sin 2 k 2 t k2 v0 + k 2
2003 年 第 1 期
= 1+
其中 tgφ =
k2 v0
2 v0 sin( k 2 t + φ) k2
2 特别当 k 1 << v 0 + k1 时，质点的运动规律接近于简谐振动
0 引例
一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在离原点 1m 处且速度为 v 0 （m/s） ，在 运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离的立方成反比（比例 系数 k 1 > 0 ） ，而方向与初速一致，又介质的阻力与质点到原点的距离成正比（比例系数 取该数轴为 x 轴，在时刻 t 质点关于原点 O 的位移为 x = x(t ) ，由牛顿第二定律知，本例 归结为求解如下的初值问题：
由于 x(0)=1>0，故根号前只能取“+”号，且有
C1 ⋅
1 = 1 ，故 C1 =k 2 ， 此时 k2 1 k cos k 2 t ) 2 + 1 sin 2 k 2 t k2 k2 1 k cos k 2 t )( C2 k 2 cos k 2 t − sin k 2 t ) + 1 sin k 2 t cos k 2 t k2 k2 k 2 (C 2 sin k2 t + k 1 cos k 2 t ) 2 + 1 sin 2 k 2 t k2 k2
A New Solvable Type of Second Order Non-Linear Differential Equation
ZHANG Xue-yan
（Department of Mathematics-Physics Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, Hunan, P.R.China）
求导数经整理得
1 e ( r2 − r1 )t r2 − r1
（3）
2 dx d 2x dy r2t dy r1t ( 2 r2 − r1 )t d y =e + r1 e y ； =e + (r1 + r2 )e r 2t + r12 e r1t y 2 2 dt dξ dt dξ dξ 将（4） 、 （3）代入方程（1） ，注意到 r1 + r2 = −a ，得
用降阶法[3]，易求得方程（6）的通解为
(5)
y = ± C1 (C 2 + ξ) 2 +
d C1
（C1 、C2 为任意常数）
二阶非线性微分方程的一个新的可解类型 利用变换（3）回到原来的未知函数 x 与自变量 t，即得微分方程（1）的通解为
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x = ± C1 (C 2 e r1t +
e r2t 2 d 2 r1t ) + e r2 − r1 C1 1 Cotβt ， β
摘 要 ：先从物理实例引入了一类新的二阶非线性微分方程，然后对这类方程引进特征方程的概念， 运用未知函数变换及自变量变换和初等代数的方法证明了这类非线性微分方程是可解的， 且给出了 通解的特征根的表达式，从而扩大了常微分方程的可解范围。 关键词 ：二阶非线性微分方程; 新的可解类型; 特征方程; 通解的特征根表达式 中图分类号 ： O. 175. 1 文献标识号 ： A
解 将方程改写为（1）型二阶非线性方程
y ′′ − 2 y ′ + y = 2e 4 x y −3 它的特征方程 r 2 − 2r + 1 = 0 有两相等的实根 r1 =r2 =1，故所给方程的通解为
二阶非线性微分方程的一个新的可解类型
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y = ±e x C1 (C2 + x ) +
2
1 C1
二 OO 三 第 一期
上海第二工业大学学报 JOURNAL OF SHANGHAI SECOND POLYTECHNIC UNIVERSITY
No.1 2003
文章编号: 1001-4543(2003)01-0023-05
二阶非线性微分方程的一个新的可解类型
张学元
（湖南工程学院数理系，湘潭 ４１１１０４）
1 y = − C1 (C 2 + e ) + ， C1
x 2
y′ = −
将初始条件代入上两式得确定 C1 、C2 的方程组
− C1 ( C2 + 1) 2 +
1 = −1 ， C1
−
1 C1 (C2 + 1) + C1
2
=2
解得 C1 = 5, C 2 = −
7 ；于是所求积分曲线的方程为 5 1 y=− ( 7 − 5e x ) 2 + 1 5 例 3 解方程 y 3 ( y ′′ − 2 y ′ + y ) = 2e 4 x
r 2 + ar + b = 0
e r2t 2 d 2 r1t x = ± C1 (C 2 e + ) + e r2 − r1 C1
r1t
两个相等的实根 r1 =r2 两共轭复根 r1, 2 = α ± βi ( β ≠ 0)
x = ±e r1t C1 (C2 + t ) 2 + x = ±eαt C1 (C 2 sin βt +
1 一类新二阶非线性微分方程的初等解
将引例中的模型一般化，考虑形如下的二阶非线性微分方程
收稿日期 :2003-12-12； 修回日期 :2003-05-25 作者简介： 张学元（1942— ） ，男，教授，武汉大学数学系毕业，研究方向为微分方程
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上海第二工业大学学报
2003 年 第 1 期
d 2x dx +a + bx = de −2 at x − 3 2 dt dt
Abstract: In this paper, a new type of second order non-linear differential equation is first led from physics example, and then the concept of characteristic equation is led into it, then it is proved to that this kind of non-linear differential equation is solvable with the methods of the transformation of unknown function, the transformation of independent, and elementary algebraic. The characteristic root expression formula of its general solution was given, thus the solvable range of ordinary differential equation was extended. Key words : Second order non-linear differential equation; new solvable type; characteristic equation; characteristic root expression formula of the general solution
rt 对 于 情 形 ⅱ ） 当 r1 = r2 时 ， 只 需 作 未 知 函 数 变 换 x = e 1 y ； 对 于 情 形 ⅲ ） 当
r1, 2 = α ± βi ( β ≠ 0) ， 则作未知函数变换和自变量变换 x = e αt sin β ty(ξ) ， ξ = −
仿情形ⅰ）的证明可得表中相应的通解公式。 证毕。 作为例证，当 ｄ＝０ 时，二阶非线性方程（１）退化为二阶常系数线性齐次微分方程，从而 得到熟知的二阶常系数线性齐次微分方程的求解公式［３］ ，因此二阶非线性微分方程（１）是二 阶常系数线性齐次方程求解公式的推广，且是实质性的。
它的特征方程 r 2 − r = 0 的两根为 r1 =0, r2 =1，所以方程的通解为
y = ± C1 ( C2 + e x ) 2 +
注意到 y (0) = −1 < 0 ，故根号前应取“－”号，从而
1 C1 C (C 2 + e x ) ⋅ e x C1 (C 2 + e x ) 2 + C1 (C 2 + 1) 1 C1
2 实例分析
例 １ 求解引例中的初值问题 解 将引例中的方程改写成
d 2x + k 2 x = k1 x −3 (k 1 >0, k 2 >0) 2 dt 2 它的特征方程 r + k 2 = 0 有一对共轭虚根 r1, 2 = ± k 2 i ，所以方程的通解为 x = ± C1 ( C2 sin k2 t + 1 k cos k 2 t ) 2 + 1 sin 2 k 2 t C1 k2
k2 > 0 ） ，试求反映这质点运动规律的函数。
d 2 x k1 2 = 3 − k2 x x dt x (0) = 1, x ′(0) = v 0
这是一个二阶非线性微分方程的初值问题，对于非线性微分方程，一般说来是不存在初 等解析解的[1-2]，因此人们把注意力放在非线性微分方程的定性研究上，对二阶非线性微分方 程的精确求解至今尚未见到有效的研究成果，本文受引例的启迪，提出了一类新二阶非线性 微分方程，有意义的是：这类微分方程可以像求解二阶常系数线性齐次微分方程那样求得它 的初等解。
x ≈ 1+
例 2 确定微分方程 y 3 (
d 2 y dy − ) = e 2 x 的一条积分曲线， 使此积分曲线通过点 （0， -1） ， 2 dx dx d 2 y dy = e −2 x y − 3 2 − dx dx y (0) = −1, y ′( 0) = 2
且以直线 y=2x-1 为切线。 解 问题归结为求解二阶非线性微分方程的初值问题：
其中 a 、 b 、 d 均为任意给的常数。 为求解方程（1） ，引进 定义 称一元二次代数方程
（1）
（2） 为微分方程（1）的特征方程 ，它的根叫做特征根 。 定理 二阶非线性微分方程（ 1）是可解的，其通解可根据特征方程（ 2）的根的不同情况 由下表给出： 表：方程（1）的通解 Table: The general solution of equation (1) 特征方程（2）的根 微分方程（1）的通解 两个不相等的实根 r1 ≠r2
x = k 2 (C2 sin k 2 t + k 22 (C2 sin k 2 t + x′ =
由 x′( 0) = v0 得 C2 =
v0 ，故所求质点的运动规律的函数为 k 22 1 x= ( v0wk.baidu.comsin k 2 t + k 2 cos k 2 t ) 2 + k1 sin 2 k 2 t k2
（4）
d2y + ( r12 + ar1 + b) e r1t y = de ( 2 r2 −r1 ) t y − 3 dξ 2 由于 r1 是特征方程(2)的根，故 r12 + ar1 + b = 0 ，于是上式成为不显含自变量ξ的二阶微分方 e ( 2 r2 −r1 )
程
d2y = dy −3 dξ 2
其中 C1 、C2 为任意常数。 参考文献：
[1]秦元勋. 常微分方程青年论文专辑. [M].北京：科学出版社，1-5. [2]张学元. Riccat 方程的一个新的可积定理. [J].上海第二工业大学学报，2002（2）. [3]同济大学应用数学系编. 微积分（上册）. [M]. 北京：高等教育出版社，1999：315-319.
d C1 1 d cos βt ) 2 + sin 2 βt β C1
其中 C1 、C2 为任意常数。 证明 特征方程（2）总有两个根 r1 , r2 ，有三种情形： ⅰ）当 r1 ≠r2 是两不等的实根时，对微分方程（1）作未知函数与自变量变换：
x (t ) = e r1t y (ξ) ， ξ =