线性代数第四章齐次线性方程组

齐次线性方程组

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解

1 a 0 0 1 练习. 设A0 0 a1 0 0a 1 00 a 1, b1 0 0(1) 求|A|；（2）已知Ａｘ＝ｂ有无穷多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.三、小结（一）、齐

线性代数第四章齐次线性方程组

齐次方程组AX 0有非零解（无穷多解） R( A) r n2.解向量的概念 设有齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a2

§8 求解齐次线性方程组8.1 引言给定一个矩阵( 阶), 可以结合两个子空间.1.列空间(column space) 是的子空间. 的列向量( 维)的全部线性组合2.零空间(null space) 是的子空间.的“某些”解向量的全体线性组合8.1 引言性质：(1) 有解(2)设的一个特解为则的解集为一般地，含无穷个向量. 但是这些向量可以只用有限个“特殊”

向量的(I)线性表出，故线性相关。(3) 若1 ,2 ,,nr (III )是AX = 0的线性无关 的解，是AX = 0的任一解，1 ,2 ,,nr ,线性 相关。因而可由(II

18§4.3 齐次线性方程组解的结构第 四 章令自由未知量x3 x5分别1 , 00 , 6得到方程组的一个基础解系为 线性 方 程 组1111, 7 520.020 6 故原方程

证明 Ak1 kA1 k0 0.证毕.由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax

解线性方程组的方法可以分为2类： ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 ②迭代法：速度快，但有误差（第二节附录给出Jacobi迭代法） 本章讲解直接法的理论基础！4.1齐次

其中k1 , k2 ,, knr是任意常数.定 理4.1.1设A是m n矩 阵 ，r（A） r,则 （1）Ax 0的 基 础 解 系 中 的 解 向 量个 数 为n r; （2）A

收稿日期:2003-03-03作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02谈齐次线性方程组的基础解系的求法孙

产出 投入消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600最终产品 总产出 320 20

方程组的一个解. 再作 1 ,2 , ,nr 的线性组合 ,r11 r22 nnr由于 1 ,2 , ,nr 是Ax 0 的解,故 也是Ax 0的解.下面来证明 .r11 r22

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r (1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。其中k 1,k 2,…, k n-r 为

证明 Ak1 kA1 k0 0.证毕.由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax

第 16 卷第 4 期 2000 年 8 月工 科 数 学JOURN AL OF MAT HEM AT ICS F OR T ECHNOL OGYVol. 16, № . 4 Au

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