常系数线性微分方程复习 一、常系数线性微分方程的形式和名词解释 1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为： ) (1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L 其中 a 1，a 2，L ，a n 是

目录 上页 下页 返回 结束Q(x)(2pq)Q (x)Pm(x)(2) 若 是特征方程的单根 , 即为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 即2p0,则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y*x2Q m (

解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,例4. 特征方程 r 2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为代入方程得(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x比较系

把它代入所给方程 得2b0x2b0b1=x比较系数得b0=1 2b1=1故 y*= x( 1 x 1)e2x 2提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x 特解形式例2 求微分方程y5y6y=x

例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方

常 广东广州 华南师范大学 （郑海珍20052201323 李璇20052201333） 『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它 在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包

整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 82代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)g92、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为f (x)

f ( x) ex[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x]难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、 f ( x) ex Pm ( x)型y py qy f ( x)设非

yY(x)+y*(x)一、 f(x)Pm(x)ex 型设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得Q(x)+(2+p

等式两边取共轭 : y1 p y1 q y1 Pm ( x) e ( i ) x 这说明 y1 为方程3/2/2017③ 的特解 .第三步 求原方程的特解 ~ x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们

( p, q 为常数 ) i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:y* x e其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.k x~ Rm cos x Rm sin x目录上页下页返回结束例1. 的一个特解

根据解的结构定理 , 其通解为y Y y*齐次方程通解 非齐次方程特解求特解的方法 — 待定系数法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

非齐次线性方程的 一个特解对应齐次线性方程 的通解对应齐次线性方程 的通解为y′′ + py′ + qy = 0Y = C1 y1 + C 2 y2通解Y = C1e r1 x + C 2 e r2 xY = ( C1 + C 2 x )

eix 2Pne i xeix 2i]( Pl Pn )e(i)x ( Pl Pn )e(i)x2 2i2 2iP( x)e(i) x P( x)e(i) x ,设 y py qy

A x2ex2是特征方程的重根苍松优选5例1.求方程的一个特解解: 本题 0 , 而特征方程为0 不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得 于是所求特解为b01 ,b11 3苍松优选6例２ 求方程 y 3 y 2 y xe

特解形式 首页 上页 返回 下页 结束 铃二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy

首页上页返回下页结束铃例1 求微分方程y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解. 解 齐次方程y′′−2y′−3y=0的特征方程为r2−2r−3=0. 因为f(x)=Pm(x)eλx=3x+1, λ=0不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特

3 4C31 4于是所求解为y 3 ex 1 e2x 1 x442二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式e x [ P

特解形式例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60其根为r12 r23因为f(x)Pm(x)exxe