相交线与平行线知识点总结
第一节相交线
一：相交线
（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
二：垂线
（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂
线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页）
1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，
那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O.
2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠
3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 .
4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个
角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°.
5.1.2垂线（详见课本第3-5页）
1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，
其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 .
2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，
有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 . 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）
画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.
相交线与平行线第一节相交线一：相交线
对顶角与邻补角
二：垂线
垂线段最短
点到直线的距离
第二节平行线及其判定
一：平行线
平行线
平行线公理及推论
二：平行线的判定
同位角、内错角同旁内角
平行线的判定
第三节平行线的性质
平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截;同位角相等．简单说成：两直线平行;同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截;同旁内角互补．．简单说成：两直线平行;同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截;内错角相等．简单说成：两直线平行;内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等
平行线的判定及性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）2应用平行线的判定和性质定理时;一定要弄清题设和结论;切莫混淆．
（3）3平行线的判定与性质的联系与区别
（4）区别：性质由形到数;用于推导角的关系并计算；判定由数到形;用于判定两直线平行．
（5）联系：性质与判定的已知和结论正好相反;都是角的关系与平行线相关．
（6）4辅助线规律;经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截
线;构造出三类角
平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
（2）从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线;垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（3）2平行线间的距离处处相等
第四节平移
生活中的平移现象
1、平移的概念
2、在平面内;把一个图形整体沿某一的方向移动;这种图形的平行移动;
叫做平移变换;简称平移．
3、2、平移是指图形的平行移动;平移时图形中所有点移动的方向一致;并
【知识重点】
1.两直线订交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。
3.对顶角
（ 1）定义：有一个公共极点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线，这样的两个角互
为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。
（ 2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线订交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线相互垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥ b”
7．平行公义及推论
（1）平行公义：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平
行。注：
（1）平行公义中的“有且只有”包括两层意思：一是存在性；二是独一性。
（2）平行拥有传达性，即假如a∥ b，b∥ c，则 a∥ c。
8．两条直线的地点关系：在同一平面内，两条直线的地点关系有订交和平行。
9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
10．平行线的判断
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（ 2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（ 4）假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条
直线也相互平行；
第五章 相交线与平行线知识点讲解
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：
A B C D
O
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。
相交线与平行线知识点总结
第一节相交线
一：相交线
（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
二：垂线
（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂
线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
相交线与平行线
第一节相交线
一：相交线
对顶角与邻补角
二：垂线
垂线段最短
点到直线的距离
第二节平行线及其判定一：平行线
平行线
平行线公理及推论
二：平行线的判定
同位角、内错角同旁内角
平行线的判定
第三节平行线的性质
平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补．．简单说成：两直线平行,同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等．简单说成：两直线平行,内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等
平行线的判定及性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）2应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆．
（3）3平行线的判定与性质的联系与区别
（4）区别：性质由形到数,用于推导角的关系并计算；判定由数到形,用于判定两直线平行．（5）联系：性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关．
（6）4辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角
平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
（2）从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（3）2平行线间的距离处处相等
第四节平移
生活中的平移现象
1、平移的概念
2、在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称
平移．
3、 2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相
第五章相交线与平行线知识点总结
一.相交线相交线：有唯一公共点的两条直线叫做相交线。
二.两条直线相交
两条直线相交：两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个
角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共的两个角叫做邻补角。
三.邻补角
邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
特征：位置相邻，角度互补。
四.对顶角
对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为邻补角。
性质：对顶角相等。
五.两直线平行的条件
判定1 同位角相等，两直线平行
判定2 内错角相等，两直线平行
判定3 同旁内角互补，两直线平行
判定4 平行于同一条直线的两条直线平行
判定5 垂直于同一条直线的两条直线平行
六.平行线的性质
性质1 两直线平行，同位角相等
性质2 两直线平行，内错角相等
性质3 两直线平行，同旁内角互补
七.平行公理
平行公理：经过直线外一点且只有一条直线与已知直线平行
平行公理的推论：如果两条直线与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。
（7） 同旁内角互补；
（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行；
（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。 练习:1、下列说法正确的是( ）
Ａ、相等的角是对顶角 B 、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C 、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。 D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
1. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到B Ｃ的距离是__＿__,点Ｂ到ＡC 的距离是
_____＿＿，点Ａ、B 两点的距离是＿____,点C 到AB 的距离是_＿_____＿．
2. 设a 、b 、ｃ为平面上三条不同直线,
a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是＿________； b) 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是＿_＿_＿____； c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________． 考点二:相关推理（识记)
(1）∵a ∥c,b ∥c(已知） ∴＿__＿_＿ ∥___＿＿_() （2)∵∠1=∠２，∠2=∠3（已知） ∴______ =___＿_＿(） （3)∵∠1+∠2=1８0°，∠2=30°（已知) ∴∠1=______()
(4）∵∠１＋∠2=9０°，∠2=2２°(已知） ∴∠1=_＿＿＿__（） (5）如图(1）,∵∠AO Ｃ=55°（已知） ∴∠BOD=______() （６）如图(1)，∵∠AOC ＝５5°(已知） ∴∠BOC ＝______()
关键词:相交线 平行线 知识点 整理
相交线与平行线知识点整理
摘要:注意点:⑴对顶角就是成对出现得,对顶角就是具有特殊位置关系得两个角;⑵如果就是
对顶角,那么一定有;反之如果,那么不一定就是对顶角,⑶如果互为邻补角,则一定有;反之如果,则不一定就是邻补角。⑶两直线相交形成得四个角中,每一个角得邻补角有两个,而对顶角只有一个。
5、1相交线
１、邻补角与对顶角
两直线相交所成得四个角中存在几种不同关系得角,它们得概念及性质如下表:
注意点:⑴对顶角就是成对出现得,对顶角就是具有特殊位置关系得两个角;
⑵如果∠α与∠β就是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定就是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=1８0°,则∠α与∠β不一定就是邻补角。
⑶两直线相交形成得四个角中,每一个角得邻补角有两个,而对顶角只有一个、 2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成得四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中得一条直线叫做另一条直线得垂线,它们得交点叫做垂足。 符号语言记作:
如图所示:AB ⊥CD,垂足为O ⑵垂线性质１:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短、简称:垂线段最短。
3、垂线得画法:
⑴过直线上一点画已知直线得垂线;⑵过直线外一点画已知直线得垂线、
注意:①画一条线段或射线得垂线,就就是画它们所在直线得垂线;②过一点作线段得垂线,垂足可在线段上,也可以在线段得延长线上。
一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周）
章节
内容
课时
第五章 相交线与平行线145.1 相交线
35.2 平行线及其判定 35.3 平行线的性质 45.4 平移
2单元小结
2
二、本章有四个数学基本事实
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
4.两直线平行，同位角相等.
三、本章共有19个概念
1.对顶角
2.邻补角
3.垂直
4.垂线
5.垂足
6.垂线段
7.点到直线的距离
8.同位角
9.内错角10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题17.定理18.证明19.平移
四、转化的数学思想
遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14
五、平移1.找规律2.转化求面积3.作图
（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm ，其一个内角为60°．
（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；【解】
（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】
第19题图
相交线与平行线知识点
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点边的关系大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等即∠1=∠2
第（11）题
E D C B A 1. A
P
O B 2. A O P B
A
B
C
D
O
123
E
F
A B
120° α 25°
C
D
A
B
C a b 1 2
3 一、相交线、垂直、“三线八角”
1、对顶角，邻补角。
2、垂直→90°→垂直，垂线公理。
3、同位角，内错角，同旁内角。
例题讲解：
例1、如图，直线a ，b 相交于点O ，若∠1等于40°，则∠2等于__________。
例2、如图，当剪刀口∠AOB 增大21°时，∠COD 增大 。
例3、如图2，∠1＝20°，AO ⊥CO ，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数为___________。
例4 例6、例7 例4、如图，∠1=15０ ， ∠AOC =90０
，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数为______________。 例5、若a ⊥b ，c ⊥d 则a 与c 的关系是__________。
例6、如图，∠ADE 和∠CED 是____________________。
例7、找出图中∠B 的内错角是：____________，∠B 的同位角：_________，∠A 的同旁内角：__________。 例8、如图，过P 点，画出OA 、OB 的垂线．
例9、 如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是
_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．
10、如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O .求∠2、∠3的度数.
名师总结 优秀知识点
4
2
3
1
A B
D O 《相交线与平行线》知识点总结
一：相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.
（5）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4）
（7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（如图∠1＋∠2＝180°）
（8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图，OD ⊥AB ，垂足为O （2）、垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
平行线与相交线的知识点总结与归纳平行线与相交线是几何学中的重要概念，它们在解决直线与平面关系、求解角度、证明定理等问题中起着关键作用。以下是对平行线与相交线相关知识点的总结与归纳。
一、平行线与相交线的定义
平行线：在一个平面内，如果两条直线没有交点，且在这个平面内无论延长多长都不会相交，那么这两条直线称为平行线。
相交线：在一个平面内，如果两条直线在某一点相交，那么这两条直线称为相交线。
二、平行线的性质
1. 平行线之间的距离相等：平行线在任意两点之间的距离都相等。
2. 平行线的倾斜角相等：如果两条直线分别与一条横线交于两个平行线上的点，那么这两条平行线的倾斜角相等。
3. 平行线与平面的交点：如果一直线与两条平行线在同一平面内相交，那么它将与这两条平行线在同侧的点分别成比例。
三、平行线与角度的关系
1. 同位角：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角的对应角是相等的。即形成的对应角、内错角、同位角互相相等。
2. 内错角：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角的对应角是相等的。
3. 全等三角形与平行线：如果两个三角形的对应边相等，且它们的其中一边平行，那么这两个三角形全等。因此，对应角也相等。
四、平行线的证明方法
1. 使用基本等式：例如，利用垂直线与平行线的性质，可以通过等式推导来证明平行线的存在。
2. 利用反证法：即通过假设给定的命题不成立，然后推导出矛盾来证明平行线的存在。
五、平行线与相交线的应用
1. 证明几何定理：平行线与相交线常用于证明几何定理，如平行线分割三角形、平行线夹角定理等。
