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第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
华工综评机试题目广州
综评机试题目广州华工
1. 在一个数组中，找出两个数的和等于目标值的所有组合。
2. 请实现一个函数，判断一个字符串是否是回文串。
3. 编写一个程序，判断一个正整数是否为素数。
4. 实现一个函数，将给定的二叉树展开为一个单链表，要求链表的顺序为二叉树的先序遍历顺序。
5. 编写一个函数，输入两个字符串，判断第二个字符串是否为第一个字符串的子串。
6. 设计一个缓存结构，满足以下要求：
- 缓存大小固定，当缓存满时，再加入新的数据时，需要删除最久没有被访问的数据；
- 每个数据项都有一个访问次数，当访问某个数据项时，需要增加其访问次数，且每次访问之后的次数会更新为最新值； - 需要支持以访问次数为排序方式的范围查询，即查询在某个范围内访问次数的数据项。
7. 设计一个多线程程序，使用互斥锁解决线程并发访问共享资源的问题。
8. 实现一个简单的迷宫求解算法，输入一个迷宫地图，求从起
点到终点的最短路径。
9. 实现一个简单的单词计数器，统计一个文本文件中每个单词出现的次数，并按照出现次数从大到小排序输出。
10. 设计一个计算器程序，支持四则运算和括号，并能处理表达式中的错误情况。
以上为华工综评机试题目的一部分，具体题目可能会根据不同年份和专业的要求变化。
应聘者可以根据自己的能力和兴趣进行选择，并在规定的时间内完成相应的编程任务。
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭 卷；2分/题，共20分）1） 信号x(n), n=0,1,2,3,…是能量有限的意思是a) x(n)有限；b) |x(n)|有界；c)()2n x n ∞=<∞∑; d)()01Nn x n N=<∞∑。
c2） 一个实信号x(t)的偶部是a) x(t)+x(-t); b) 0.5(x(t)+x(-t)); c) |x(t)|-|x(-t)|; d) x(t)-x(-t)。
b 3） LTI 连续时间系统输入为(),0ate u t a ->，冲击响应为h(t)=u(t), 则输出为a)()11at e a --; b) ()()11at e t a δ--; c) ()()11at e u t a --; d) ()()11at e t aδ---。
c 4） 设两个LTI 系统的冲击响应为h(t)和h 1(t)，则这两个系统互为逆系统的条件是 a) ()()()1h t h t t δ*=; b) ()()()1h t h t u t *=; a c) ()()()1h t h t u t *=-; d) ()()10h t h t *=。
5） 一个LTI 系统稳定指的是a) 对于周期信号输入，输出也是周期信号；b)对于有界的输入信号，输出信号趋向于零；c)对于有界输入信号，输出信号为常数信号；d)对于有界输入信号，输出信号也有界 d6） 离散信号的频谱一定是a) 有界的；b) 连续时间的；c) 非负的；d) 连续时间且周期的。
d 7） 对于系统()()()dy t y t x t dtτ+=，其阶跃响应为 a) ()/1t e u t τ-⎡⎤-⎣⎦; b) ()/1t e t τδ-⎡⎤-⎣⎦; c) ()/1t e u t τ-⎡⎤+⎣⎦; d) ()/1t e t τδ-⎡⎤+⎣⎦. a8） 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是a) 在一个圆的外部且包括无穷远点； b)一个圆环区域；c) 一个包含原点的圆盘；d) 一个去掉原点的圆盘。
应用化工考试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪种物质不属于化工原料？A. 硫酸B. 尿素C. 聚乙烯D. 铁矿石答案：D2. 化工生产中常用的催化剂是？A. 氧化铜B. 氢氧化钠C. 硫酸D. 硝酸答案：A3. 化工生产中，下列哪种设备用于分离液体混合物？A. 反应器B. 分馏塔C. 过滤器D. 蒸发器答案：B4. 化工生产中，下列哪种操作不属于单元操作？A. 混合B. 过滤C. 蒸馏D. 化学反应答案：D5. 在化工生产中，下列哪种物质常用作制冷剂？A. 氨B. 二氧化碳C. 氮气D. 氧气答案：A6. 化工生产中，下列哪种物质不属于有机化合物？A. 甲烷B. 乙醇C. 氯化钠D. 苯答案：C7. 化工生产中，下列哪种物质常用作抗氧化剂？A. 维生素CB. 硫酸亚铁C. 碳酸氢钠D. 氢氧化钠答案：B8. 在化工生产中，下列哪种设备用于加热？A. 冷凝器B. 蒸发器C. 反应器D. 热交换器答案：D9. 化工生产中，下列哪种物质常用作干燥剂？A. 氯化钙B. 硫酸铜C. 氢氧化钠D. 硫酸答案：A10. 在化工生产中，下列哪种操作用于控制反应速率？A. 增加反应物浓度B. 提高温度C. 增加催化剂D. 以上都是答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 化工生产中，常用的酸碱指示剂有________和________。
答案：酚酞、甲基橙2. 化工原料中的“三酸两碱”指的是硫酸、盐酸、________和氢氧化钠、________。
答案：硝酸、氢氧化钾3. 在化工生产中，________是一种重要的化工原料，广泛应用于合成橡胶、合成纤维和塑料等领域。
答案：乙烯种化工产品。
答案：氢气5. 化工生产中，________是一种常用的有机溶剂，广泛应用于油漆、涂料和清洁剂等领域。
答案：甲苯6. 化工生产中，________是一种常用的氧化剂，可用于制备多种化工产品。
答案：氧气7. 化工原料中的“三烯”指的是乙烯、丙烯和________。
第 1 页/共 6 页一、 填空题（每小题5分，共10题）1）在三角形ABC ∆，三个内角A 、B 、C 对应的边分离为,,a b c ，已知22222sin 5b c a bc A bc +=-+，则cos A =35-。
2）,0,2a b π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x a ax b =+关于轴2x =对称，则112a b +的取值范围是9[,)π+∞。
3）随意画一个三角形，其随意两个内角之和大于第三个内角的概率为14。
4）F 是椭圆22143x y +=的一个焦点，12,,,n P P P 是此椭圆上的点，倘若{}nFP 是以150为公差的等差数列，S 是此数列的和，则S 的最大值为202。
5）三棱锥P ABC -中90APB BPC APC ︒∠=∠=∠=，2,4,6PA AB BC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的半径为。
6）已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则不等式()()212f x f x ->的解集为[1,[1)-=-。
7）已知F 是抛物线24y x =的焦点，点,,A B C 是此抛物线上的点，且有0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=6。
8）圆221x y +=与直线2y x m =+相交于,A B 两点，且,OA OB 与x 正方向所成的角为,αβ（以x 正方向为始边，逆时针旋转），()sin αβ+=45-。
9）已知函数()()22log log a a y a x ax =⋅，当[]2,4x ∈时，y 的取值范围是1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则a 的取值为12。
10）对于二次函数()2f x ax bx c =++有()00f '>，且对任给的x R ∈使得20ax bx c ++≥恒成立，则()0a b cf ++'的最小值为2。
二、 解答题（本大题共5题，每小题10分）11）数列{}n a 是正数数列，且对随意正整数n 有11n na a +≤-，试证实： 1、当1n ≥时，n a ≤ 2、当2n ≤时，()212n a n ≤+证实：1、因为11n na a +≤-所以12n n a a a +-又因为数列{}n a 是正数数列，所以数列{}n a 是递减的，因此12n n a a a +≤-=≤第 3 页/共 6 页n a ≤2、由n a ≤1≤当2n =(221111416a ⎤≤≤⇒≤⎦ 假设n k =时有()212k a k ≤+，当1n k =+时，(1112k ≤≤+ 12k a k ≤⇒+综上命题得证。
华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）院/系年级 __专业姓名学号1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )− N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )− N (t ) =1})＝_____________；3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。
二、证明分析题（共 12 分，选做一题）1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中λ是正常数。
设λ是另一个正常数，定义：Z = λλe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函数：P({X ≤ a})，a>0；2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1−X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足：F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ⋅∏kn=1 1 X−k X −1 k ，n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！三、计算证明题（共60 分）1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记E(XI A )忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；P(A)2、（10 分，选做一题）（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且X,Y 相互独立；∀c >0，设fX X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求+Y (x cE(X X +Y = c)；⎧1)及（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求fY X (y x⎪⎩0,其它；P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})；3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基（2）设于微元法由条件密度求E(XX <Y)；(X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y −X )2X ⎤⎦；[0,1]分布，Y = min{X1, X2, , 4、（10 分）设X1, X2, , X n 独立同U求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；X n}，试由条件数学期望的一般定义5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程，S0 = 0，S n 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）P(N (s) =kN (t) = n)（s <t,k = 0,1, ,n）；（2）E(S k N (t) = n)，k ≤ n；6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。
