华工应用随机过程试卷及参考答案

指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a > 0，其中λ是正常 数。设λ是
另一个正常数，定义：Z = λ λe−(λ−λ)X ，由下式定
义：P(A)=∫AZdP，
∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下 计算的分布函
数：P({X ≤ a})，a> 0；
2、设X0～U (0,1)，Xn+1～U (1−Xn,1)，n≥1，域流{Fn,n≥ 0}满 足：
) ≤1 X = x dx
2 +1 。
⎥⎦ ( ) = ∫01 ⎡⎢⎢⎣ 1∧ 1−x x2 ⎥ ⎤dx = ln
3、（1）由概率微元法，易知，∀x∈(0,1)， (1− x)dx
P(x < X ≤ x + dxX <Y) == 2(1− x)dx；从而，
Baidu Nhomakorabea1 1
2
<< ⎧2(1− x),0 < x <1 ; ，故 ( ) XX Y ～fXXY x = ⎨
⎪⎩ 0,其他; ⎩ V = X
而由⎧⎨u = x + y ， ∂(u,v) = −1， ∂(x, y) = −1，从而
⎩ v = x ∂(x, y) ∂(u,v)
(X +Y, X ) = (U,V )～g(u,v) = ∂(x, y) ⋅ f (v,u −v) = ⎧ ⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u > v > 0 ; ，则
E(XIA ) 忆性和E(X A) = ，求E(XX > c)；
P(A) 2、（10 分，选做一题） （1）设 X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且 X,Y 相互独立；∀c > 0，设 fX X +Y (x c)为给定 X +Y = c 时 X 的条件概率密 度，试求之并由此求
E(X X +Y = c)；
(0,1)，
Xn
E(Yn ) ≤ 2n < +∞，∀n≥1；且∀n≥0，
( ) E Yn+1 Fn = E⎛⎜Yn ⋅2⋅1− Xn+1 Fn ⎞⎟ =Yn为Fn −可测的2Yn ⋅E⎛⎜1− Xn+1 Fn ⎞⎟1− X n+1 独立于Fn
⎝ Xn ⎠ ⎝ Xn ⎠ Xn
⎛1− Xn+1 ⎞ Yn,a.s.，即有：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅 （过
⎦ ⎣ ⎦ ( ) E ⎡⎣ (Y − X )2 X = x⎤ = E ⎡ (Y − x) 2X = x ⎤ = E Y 2 X = x − 2xE(Y X = x)+ x2 = x32 ；故有：E(Y X ) = X2 ,a ，E ⎣ ⎡(Y − X )2 X ⎦⎤ = X3 2 ,a.s.。
.s.
1、（1）E(XC)为C-可测的；
， （2）∀A∈C ∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dPC ⎤⎦； 2、
独立、平稳，1−λh+o(h)，λh+o(h)；
12
， 3、 N (0,t)，{W (t),t ≥ 0}，{W2 (t)−t,t ≥ 0} ⎧⎨eσW(t)−2σ t ,t ≥
1、（1）P(Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe−(λ−λ)X dP = ∫ ( ) R λλe−(λ−λ)xdPX ⎣⎡PX ⋅
− X的概率分布⎦⎤
X～f (x)∫R λλe−(λ−λ)x f (x)dx = ∫0+∞λe−λxdx =1；
（2）∀a>0，P({X ≤ a}) = ∫{X ≤a} ZdP = ∫ )X−1 dP =
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
(
( ] ( )
, X a
e
λ λ
λ λ
− − − ∞
∫ ∫ ( ) ∫ ； (−∞,a]λ λe−(λ−λ)xdPX = (−∞,a]λλe−(λ−λ)x f x dx = 0 aλe−λxdx =1
， 2、由于 Xn+1～U (1− Xn,1)，1− Xn+1～U (0, Xn ) 1− Xn+1 ～U
⎧1
（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;， 试求 fY X (y x)及 ⎪⎩ 0,其它；
P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）
求P({X 2 +Y 2 ≤1})；
3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分 布，试基于微元法由条件密度求E(XX <Y)；（2）设 (X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观 方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y − X )2X ⎤⎦； 4、（10 分）设 X1, X2,L, Xn 独立同U [0,1]分布，Y =
(t)是鞅；c）试从对冲欧式看涨期权空头的角度（或 用组合资产复制期权）导出股价遵循几何布朗运动 的欧式看涨期权价值的 B—S 方程，并推导风险中 性测度下的定价公式。【以上三小题选做 a）、 b）或 c）】
华南理工大学 2011—2012 学年第一学期 《 应用随机过程 》A 卷参考答案
一、 填空题
________，P({N (t + h)− N (t) =1})＝_____________；
3、设{W (t),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t) ～____， 且与 Brown 运动有关的三个随 机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过
⎩ 0,其他; 13 E(XX <Y) = ∫−+∞∞ xfXX<Y (x)dx = ∫012x(1− x)dx = ；
（2）易知，∀x∈(0,1)，YX=x ～U [0, x]，从而，E(Y X = x) = x，
2
x D(YX = x) = 12 2 ，E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ⎣⎡E(Y X = x)⎤⎦2 = x32 ，
( ) ( ) ， ( ) ∫ VU=u ～fV U v u = ⎪⎨ λ−μ 1−e−(λ−μ)u ,0 < v < u; E VU = u = −+∞∞vfVU (v u)dv
⎪⎩ 0,其他;
∫ ( ) ( ) ，也即有 = 0uv 1−e−e(λ−−λμ−)μv dv 1 1−⎡⎣1+ λ−−μλ −μu⎦⎤e−(λ−μ)u
∂(u,v) ⎪⎩ 0,其他;
⎧u
有U = X +Y～fU (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ∫ ⎨⎪ 0 λμe−(λ−μ)v−μudv,u > 0 ; =
⎪⎩ 0,其他;
⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e−μu − e−λu ⎤⎦,u > 0; ；从而， λ
−μ ⎣
⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;
⎧
e−(λ−μ)v
0⎬⎫；
⎩⎭
、 ，随 4
⎪⎨⎧dX (t) = −g ⎡⎣X (t),Y (t)⎦⎤dt +Y (t)dW (t),t∈[0,T];
机微分方程处
⎪⎩ X (T) =ξ; 理问题的实质在于：尽管现在时刻投
资者无法预知将来某时刻的收益（随机变量），但 投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到 将来时刻的不确定收益！ 二、证明分析题（选做一 题）
4、易见，∀y < 0,P({Y ≤ y}) = 0；∀y >1,P({Y ≤ y}) =1；
n
∀y∈[0,1],P({Y ≤ y}) =1− P({Y > y}) =1−∏P({Xi > y}) =1−(1− y)n ； 从而，
6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准 Brown 运动，试
由 Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程d ⎡⎣S(t)⎤⎦ =
μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求
E ⎣⎡ W4 (t)⎤⎦ ，E ⎣⎡ W6 (t)⎤⎦ 。
四、应用分析题（共 12 分）
设股价遵循几何布朗运动dS(t)= μS(t)dt
程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构 为__________ ______________________________，其处理问题的 实质在于 ____________________________________________________ 二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 得分 1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变 量，并且具有
⎜ 2Yn ⋅E ⎟= ⎝ X n ⎠
程）！ 三、 计算 证明题
1、（1）由几何分布的无记忆性， X −c X >c dX ，
E(X −cX > c)= EX = 1 ，E(XX > c)= E(X −c X > c)+ E(c X > c)= 1
+c ； λλ
（2）E(XX > c)= PE(⎣⎡{XIX{>X } >cc} ⎦⎤ ) ∫ ( ) = −+∞∞ xI{x>e c−}λfcX x dx = ∫ ； c+∞λexe−λc−λxdx =λ1 +c 2、（1）易见，(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y > 0;，令⎧⎨U = X +Y ，从
X～U [0,1]；令Y X =x ～fY X (y x)，即有：0 < x <1时，
f (x, y)
fY X (y x) = =
而，
1 =
,0 ≤ y ≤ x ，即：Y X x ～U [0,x],0 < x <1；从
fX (x) x
( ) ( ) ∀x∈(0,1)，P X 2 +Y 2 ≤1 X = x = P − 1− x2 ≤ Y ≤ 1− x2 X = x =
∏ X− X Fn =σ(Xk,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2n ⋅ kn=1 1
k
， −1 k n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅！
三、计算证明题（共 60 分） 1、（12 分）假设 X～E(λ)，给定c > 0，试分得分 别由指数分布的无记
（2） _____________________________________________ ；
2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t) 具有_____ 、
_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P({N (t + h)− N (t) = 0})＝
得分
+σS(t)dW (t)，利率为常数r 。定义风险的市场价格
为：Θ = μ−r 以及 状态价格密度过程 σ
为：ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝ r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭ ⎫⎬；a）证明：
dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ；b）设 X 表示投资者采用组 合过程Δ(t) 时其资产组合的价值（自融资组合）， 即有： dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t)，证明：ζ(t) X
min{X1, X2,L, Xn}，试由条件数学期望的一般定义
求E(X1Y) = (E X1 σ(Y))；
5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过 程，S0 = 0，Sn 表示第n个事件发生（到达）的时刻， 试求：（1）
P(N (s) =kN (t) = n)（s < t,k = 0,1,L,n）；（2）E(SkN (t) = n)，k ≤ n；
华南理工大学 2011—2012 学年第一学期
《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）
院/系
题号 得分
（闭卷 时间 120 分钟）
年级 __专业
姓名
学号
一
二
三
四
总分
一、填空题得分
（每小题 4 分，共 16 分）
1、设X是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量，且EX存 在，
C 是F的子σ－域，定义E(XC)如下： （1）_______________ ；
λ−μ ( )u =λ−μ⋅ 1−e ( )u
( ) 。 1 1−⎡⎣1+ λ−−μλ −μc⎤⎦e−(λ−μ) c E(XX +Y = c)= ⋅ 1 e ( )c λ−μ −
（2）令 X～fX (x)，即有： 1x fX (x) = ∫−+∞∞ f (x, y)dy = ∫0x
dy,0 ≤ x ≤1，即：
( ) ∫ ( ) ∫ ； P 0 ≤Y ≤ 1− x2 X = x = f 0 1−x2 Y X y x dy = 0x∧ 1−x2 1x dy =1∧ 1−x x2
({ }) ( ) ( P X 2 +Y 2 ≤1 ∫ = −+∞∞ P X 2 +Y 2 ≤1 X = x fX (x)dx =∫01 P X 2 +Y 2