梯子的倾斜程度与正切.1梯子的倾斜程度与正切(第1课时)

北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计一、教课目的1．经历研究刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的观点，感觉正切与现实生活的联系 .2．认识坡度、坡角等观点，并能用正切进行简单的计算．3．逐渐学会利用数形联合、从特别到一般、转变等数学思想剖析问题和解决问题.二、教课要点、难点要点：理解正切的观点 .难点：理解正切为何能够刻画梯子的倾斜程度.三、教课过程（一）联系生活，导入新课教师用多媒体展现生活中一些与梯子有关的图片后，导人新课：同学们！梯子是我们平时生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？生：倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．师：是的，在实质问题中，有时我们不方便丈量倾斜角，有时不简单正确丈量倾斜角，那我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？今日，我们对这个问题持续进行深入研究（板书课题）．活动目的：由学生熟习的梯子引入新课，紧扣课题，进而自然过渡到下边的研究活动．（二）研究问题，研究新知1．做一做教师用多媒体展现图1．图 1 中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是如何剡断的？1 / 6北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计师：请同学们独立思虑后举手回答．生：由于这两个梯子的竖直高度同样，而梯子 EF 的水平宽度比梯子 AB 的小，所以梯子 EF 更陡．师：很好．教师用多媒体展现图2．图 2 中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是如何判断的？生：由于这丽个梯子的水平宽度同样，而梯子 EF 的竖直高度比梯子 AB 的小，所以梯子 AB 更陡．教师用多媒体展现图3．图 3 中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是如何判断的？生：（七台解说）由图可知，在这两个三角形中，两边对应成比率，且夹角相等，所以这两个三角形相像，所以，梯子AB 与地面的夹角和梯子 EF 与地面的夹角相等，所以两个梯子同样陡，教师用多媒体展现图 4．图 4 中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是如何判断的？2 / 6北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计生 1：图 3 中两个梯子的竖直高度和水平宽度的比是相等的，我们获得两个梯子同样陡．所以我猜想图 4 也能够用这类方法来判断：梯子 AB 的竖直高度与水平宽度的比值大，所以我判断梯子 AB 更陡．师：这不过猜想，如何考证呢？生 2：我们把梯子 EF 依据本来的样子放在左图中，而后过点 E 作 E1F∥ AB，4由三角形相像，简单获得EF1的水平宽度是 1.5 ，所以梯子 AB 更陡．生 3：我们也能够把梯子 EF 依据本来的样子放在左图中，而后过点 F 作 E1F∥AB，由三角形相像，简单获得 E1F 的竖直高度是 4.5>4，所以梯子 AB 更陡，生 4：也能够过点 A 或 B 作 EF 的平行线．师：特别好！但是，为何要这样做呢？生 5：梯子 AB 和 EF 的竖直高度和水平宽度都不一样，我们只需能转变为竖直高度同样或水平宽度同样就能够了．这样做的前提是不改变梯子的倾斜程度，所以要作平行线 .师：讲得十分出色！下边我们回首、反省一下刻画梯子倾斜程度的方法，看看谁能够有新的发现！（用多媒体出示下列图）生：归纳各样状况，能够发现：竖直高度和水平宽度的比值越大，梯子越陡．活动目的：从图 1 到图 4，四个问题由浅入深，由简单到复杂，步步深入，3 / 6北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计环环相扣，引人人胜．学生们在用生活知识和有关知识解决问题时，特别自然地感悟了用“竖直高度和水平宽度的比值”来刻画梯子的倾斜程度．2．想想如图 9，小明想经过丈量 B1C1及 A1C1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则以为，经过丈量 B2C2及 A2C2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你赞同小亮的见解吗？生：赞同．师：为何？生 1：明显 Rt△ AB1C1和 Rt△ AB2C2相像，所以B2C2和B1C1相等．AC 2AC1师：假如改变 B2的地点呢？生 2：B2不论在什么地点， Rt△ AB1 C1和 Rt△AB2C2都相像，所以B2C2和B1C1AC2AC1相等．师：由此你能得出什么结论？生 3：当梯子的倾斜角一准时，它的竖直高度和水平宽度的比值就必定.活动目的：此环节旨在说明当倾斜角确准时，其对边与邻边的比值便随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小没关．3．讲一讲师：在 Rt△ABC 中，假如锐角 A 确立，那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠ A 的正切，记作 tanA．即A的对边tan A（教师重申锐角 A 的对边与邻边）．A的邻边师：谁来谈谈图 10 中∠ B 的正切等于什么？4 / 6北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计生： tan B B的对边AC B的邻边BC师：很好．活动目的：理解正切的观点和表示，理解 tanA 是一个抽象的符号，它代表一个“比”或“比值” ．4．议一议师：在图 9 中，梯子的倾斜程度与tanA 有什么关系？生： tanA 的值越大，梯子越陡．活动目的：旨在让学生理解梯子的倾斜程度与倾斜角的正切之间的关系．5．想想师：我们知道，能够用梯子倾斜角的正切刻画梯子的倾斜程度，那么如何刻画山坡的倾斜程度呢？生：能够用坡面和水平面所成的角来刻画，也能够用坡面的铅直高度与水平宽度的比来刻画．师：太对了，我们把前者叫做坡角，后者叫做坡度（或坡比）．活动目的：旨在让学生理解坡角和坡度．比如图 11，甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中， tan 41 82乙梯中， tan551325212由于 tan > tan，所以甲梯更陡．活动目的：例题由学生独立达成，合作沟通，校正完美，规范步骤．（三）稳固练习，形成技术随堂练习第 1，2 题；习题 1.1 第 4 题．活动目的：经过基本的练习，进一步增强学生对正切和坡度的理解，形成相5 / 6北师大版九年级数学下册： 1.1 锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切教课设计设计应的技术．（四）讲堂小结教师指引学生各抒己见地谈谈本节课的收获：1．经历了研究梯子倾斜程度的过程；2．理解了正切和坡度的观点；3．认识了 tan A 的值越大，梯子（坡）越陡；4．领会了有关的数学思想方法：从特别到一般、转变．活动目的：经过小结，回首研究新知识的过程，进一步感悟此中包含的数学思想方法，提升学生的归纳能力，培育学生优秀的回首和反省的习惯．（五）部署作业1．书面作业：习题 1.1 第 1， 2 题；2．弹性作业：习题 1.1 第 3 题．活动目的：这样部署作业，既巩同知识技术，又减少学生负担。

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》这一节主要让学生了解正切函数的概念，学会用正切函数解决实际问题。

教材通过生活中的梯子问题引入正切函数，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的大部分数学知识，对于函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于正切函数的理解可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生逐步理解和掌握正切函数的概念和性质。

三. 教学目标1.让学生了解正切函数的概念，理解正切函数的性质。

2.培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。

3.培养学生独立思考、合作交流的能力。

四. 教学重难点1.正切函数的概念。

2.正切函数的性质。

3.用正切函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，通过生活中的实际问题引入正切函数，引导学生主动探究、合作交流，从而理解正切函数的概念和性质。

六. 教学准备1.准备相关的生活案例，如梯子问题、建筑工人测量问题等。

2.准备正切函数的图片、动画等教学资源。

3.分组讨论的课堂环境。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示梯子问题的生活图片，引导学生思考：如何计算梯子的倾斜程度？让学生感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师引导学生观察梯子问题，引导学生发现梯子的倾斜程度与两个边的长度有关。

然后，教师讲解正切函数的概念，并通过动画展示正切函数的图像。

3.操练（10分钟）教师给出一些具体的梯子问题，让学生运用正切函数进行计算。

教师引导学生独立思考，解答问题，并在课堂上进行分享。

4.巩固（10分钟）教师通过一些梯子问题的拓展，让学生进一步理解和掌握正切函数。

教师可以设置一些难度较高的问题，让学生进行小组讨论，共同解决问题。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：除了梯子问题，还有哪些实际问题可以用正切函数解决？让学生举例说明，并进行分享。

第一章直角三角形的边角关系1.梯子的倾斜程度与正切（一）一、学生知识状况分析本课是九年级下第一章第一节《梯子的倾斜程度与正切》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。

二、教学任务分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时。

教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。

在实验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.本节课教学目标如下：知识与技能：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.过程与方法：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节：布置作业。

第一环节创设情境（1）有一座千年古塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50米到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度。